Оценка точности результатов измерении по

ИСТИННЫМ ПОГРЕШНОСТЯМ

 

Для оценки точности результатов измерений применяют формулу Гаусса

, (3.1)

где – сумма квадратов погрешностей измерений;

n – число измерений.

Истинная погрешность результата измерения вычисляется по формуле:

, (3.2)

где l –результат измерения;

a – истинное значение измеряемой величины.

Оценка точности определения самой погрешности m (СКП самого СКП)

, (3.3)

Предельную погрешность измерения вычисляют по формуле

, (3.4)

где – коэффициент, принимающий значения в соответствии с выбранной доверительной вероят­ностью. Для вероятности Р = 0,997 коэффициент = 3, поэто­му следует применять формулу в виде .

 

Решение задач

Пример 1.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. При этом получены результаты: 217,24; 217,31; 217,28; 217,23; 217,20 м. Эта же линия измерена светодальномером, что дало результат 217,236 м. Найти СКП измерения линии мерной лентой, если результат измерения линии светодальномером принят за точное (истинное) значение длины линии.

Решение.

Результаты расчетов сведены в таблицу 3.1 (табличная форма).

Табл. 3.1

№ п/п	Результаты измерений м	Погрешности измерений , см
	217,24	+0,4	0,2
	217,31	+7,4	54,8
	217,28	+4,4	19,4
	217,23	-0,6	0,4
	217,20	-3,6	13,0

=87,8

СКП равна

см.

СКП самой СКП

см.

Следовательно,

см.

Предельная погрешность равна

.

Погрешности всех пяти измерений меньше предельной погрешности, следовательно, нет оснований предполагать, что измерения имеют грубые погрешности.

Пример 2.

Площадь теодолитного полигона была измерена 8 раз планиметром (см. табл. 3.2). Та же площадь была вычислена аналитическим методом и получен результат 124,32га. Приняв этот результат за точное значение площади полигона a, вычислить СКП и предельную погрешности измерения площади планиметром.

Решение.

Табл. 3.2

№ п/п	Результаты измерений P, га	Погрешности измерений , га	Δ^2
	124,48	+0,16	0,025
		-0,14	0,020
		-0,20	0,040
		-0,10	0,010
		+0,22	0,048
		+0,24	0,058
		-0,26	0,068
		+0,08	0,006

=0,275

;

;

;

.

 

Задача 1.

Для исследования точности измерения горизонтального угла полным приемом теодолитом 3Т5КП, им был многократно измерен угол. Результаты оказались следующими: 39°17,4′; 39º 16,8′; 39°16,6′; З9º16,2′; 39°15,5′; 39°15,8′; 39°16,3′; 39°16,2′. Тот же угол был измерен высокоточным теодолитом 3Т2КП, что дало результат (см. приложение табл. 2). Приняв это значение за точное, вычислить:

- СКП измерений угла;

- определить СКП самого СКП;

- найти предельную погрешность.

Задача 2.

Дана совокупность угловых невязок в треугольниках объемом 50 единиц. На данной совокупности проверить свойства случайных погрешностей. Считая невязки истинными погрешностя­ми, вычислить СКП и про­извести оценку точности СКП, вычислить предельную погрешность.

№		№		№		№		№
	+1,02		-1,72		-0,90		+2,80		-0,44
	+0,41		+1,29		+1,22		-0,81		-0,28
	+0,02		-1,81		-1,84		+1,04		-0,75
	- 1,88		-0,08		-0.44		+0.42		-0.80
	-1,44		-0,50		+0,18		+0.68		-0,95
	-0,25		-1,89		-0.08		+0,55		-0.58
	+0,12		+0,72		-1.11		+0,22		+1,60
	+0,22		+0,24		+2,51		+1.67		+1,85
	-1,05		-0,13		-1,16		+0,11		+2.22
	+0,56		+0,59		+1,65		+2,08		-2,59

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

 

На содержание этого раздела следует обратить особое внимание и учесть порядок определения СКП функции, вычисляемой по измеренным величинам (аргументам) с СКП, связанными с искомой величиной функционально.

Функция задана в общем виде:

, (3.5)

где – аргументы, полученные из измерений с СКП .

СКП функции вычисляется по формуле:

, (3.6)

где – частные производные функции по каждому аргументу.

Порядок вычисления СКП функции общего вида следующий:

1) составляем функцию, связывающую оцениваемую величину с измеренными величинами, например (объем цилиндра):

,

где – радиус основания цилиндра;

– высота цилиндра.

Объем цилиндра является функцией двух аргументов – радиуса и вы­соты, а – постоянная;

2) применяя формулу (3.6), записываем СКП V в общем виде:

;

3) находим частные производные:

, ;

4) полученные выражения частных производных подставляем в фор­мулу СКП функции:

;

5) в соответствии с условием задачи в полученную фор­мулу подставляем числовые значения аргумен­тов и их СКП и вычисляем ве­личину .

 

Решение задач

Пример 3.

Пусть проложен висячий теодолитный ход. Горизонтальные углы хода измерялись независимо друг от друга в оди­наковых условиях с СКП . Найти СКП дирекционного угла последней линии рассматриваемого хода. При этом будем считать величиной безошибочной.

Решение.

Для определения погрешности дирекционного угла последней линии,прежде всего, необходимо представить этот дирекционный угол как функцию исходных и измеренных величин. Так как были измерены правые по ходу углы, искомый дирекционный угол может быть вычислен по формуле

На основании формулы (3.6) для СКП дирекционного угла последней линии хода можно записать

.

Получим

,

или

Окончательно можно сделать вывод, что при передаче дирекционных углов случайные погрешности накапливаются пропорционально корню квадратному из числа измеренных горизонтальных углов.

Пример 4.

Для получения горизонтального проложения линии на плане определены координаты концов этой линии, что дало результаты , и , . Эти величины получены со СКП и , и . Необходимо вычислить горизонтальное проложение между этими точками и его СКП.

Решение

Горизонтальное проложение между точками определяют по формуле:

Применим формулу (3.6) и вычислим частные производные по всем координатам:

.

Аналогично:

.

Тогда СКП горизонтального проложения определяется формулой

.

При условии, что , будем иметь:

,

или

Пример 5.

Для получения дирекционного угла направления между точками на плане определены координаты концов отрезка, соединяющие эти точки (, ; , ). Эти величины получены с СКП и , и . Необходимо вычислить дирекционный угол направления и его СКП.

Решение.

Дирекционный угол направления вычисляют по формуле:

,

где , , , – координаты концов отрезка.

Согласно (3.6) необходимо вычислить частные производные по всем координатам:

.

Окончательно:

Аналогично найдем частные производные по остальным координатам:

.

.

.

.

СКП дирекционного угла определяется формулой

,

где - радианная мера угла в секундах, равная 206265".

При условии, что , будем иметь:

.

Пример 6.

Вычислить приращения координат и их СКП по линии длиной 250,17 м, имеющей дирекционный угол 63°27,0', если и ,0'.

Решение.

Известно, что приращения координат , рассчитывают по формулам и , что дает результаты и . СКП приращений координат могут быть получены из соотношений

,

.

 

Найдем :

Тогда

;

.

При вычислениях величина должна быть представлена в радианной мере, но в условии задачи она задается в градусной мере. С учетом этого предыдущие формулы примут вид

;

.

Подставив соответствующие значения величин, получаем

Окончательно

Задача 3.

Найти СКП превышения, полученного из геометрического нивелирования методом из середины по черным сторонам реек, принимая СКП отсчета по рейке равной 1 мм.

Задача 4.

Линия теодолитного хода измерена частями с СКП м, м, м. Определить СКП длины линии .

Задача 5.

Определить СКП превышения, вычисленного на станции геометрического нивелирования методом из середины по черным и красным сторо­нам реек, если СКП отсчета по рейке =1 мм.

Задача 6.

Вычислить превышение, полученное тригонометрическим нивелированием, и его предельную погрешность, если расстояние, измеренное нитяным дальномером D =210,5 м с СКП м; угол наклона визирной оси при визировании на верх рейки ν = ……(см. приложение табл. 2) с СКП ; высота прибора i = 1,30 м с СКП м; длина рейки V = 3,00 м с СКП м.

Задача 7.

При определении расстояния АВ, недоступного для изме­рения лентой, в треугольнике AВС были измерены: базис AС =84,55 м с СКП базиса м; углы A=56°27,0' и С=35°14,0' со СКП, равной =0,5'.

Вычислить расстояние АВ и ее СКП.

Задача 9.

В треугольнике измерены основание и высота с погрешностями, соответственно равными и . Найти СКП площади треугольника.

Задача 10.

В треугольнике измерены две стороны и и угол между ними с СКП, соответственно равными , и . Найти СКП площади треугольника.