Поняття математичної моделі. Класифікація математичних моделей.

Математична модель — це наближений опис об'єкта за допомогою математичної символіки. Математична модель — це функціональна залеж­ність між характеристиками досліджуваного об'єкта, виражена у вигляді фор­мули чи алгоритму.

Їх можна систематизувати (класифікувати) за різними ознаками.

1. Класифікація за галузями наук: математичні моделі у фізиці, біології, соціології і т. п.

2. Класифікація за математичним апаратом: моделі, засновані на засто­суванні звичайних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь у част­кових похідних, стохастичних методів, дискретних алгебраїчних перетворень і т. д. Це — класифікація математика, що займається апаратом математичного моделювання.

3. Класифікація за метою (цілями) моделювання.

3.1. Дескриптивні моделі (від лат. «descriptivus» — опис) — це моделі для опису різних процесів, об'єктів. Наприклад, закони класичної фізики Ньютона.

3.2. Оптимізаційні моделі. Це моделі для керування об'єктами та при­йняття рішень.

Наприклад, змінюючи тепловий режим у зерносховищі, ми можемо піді­брати його таким чином, щоб досягнути максимального збереження зерна, тобто оптимізувати процес.

3.3. Багатокритеріальні моделі. Це моделі для розв'язування задач,в яких є не одна, а декілька цільових функцій.

Наприклад, знаючи ціни на продукти і потребу людини в їжі, треба орга­нізувати харчування великих груп людей (в армії, будинку відпочинку і т. д.) найкорисніше і найдешевше. Зрозуміло, що такі цілі не співпадають, тобто при моделюванні буде декілька

 

3.4. Ігрові моделі. Це моделі для опису і дослідження так званих кон­фліктних ситуацій, в яких різні учасники мають інтереси, що не співпадають.Наприклад, два воєначальники перед боєм в умовах наявності непевної

інформації про супротивника повинні розробити план: в якому порядку вводити в бій ті чи інші частини і т. д., враховуючи і можливу реакцію ворога.

3.5. Імітаційні моделі. Це моделі для дослідження складних систем. Тутпроцес функціонування складної системи подається у вигляді певного ал­горитму, який реалізується комп'ютером.

Імітаційні моделі широко використовуються в сучасній фізиці, зокрема, для дослідження термоядерних процесів.

Властивості математичних моделей:

1) математична модель повинна бути адекватною (відповідною) досліджу­ваному об'єкту з точки зору тих властивостей (характеристик), які цікавлять дослідника;

2) математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом;

3) математична модель лише наближено описує досліджуваний об'єкт; для одного і того ж об'єкта можна побудувати різні математичні моделі з різним ступенем наближення;

4) математична модель універсальна в тому плані, що одну і ту ж матема­тичну модель можна використовувати для досліджень у різних галузях людської діяльності.

 

Комп’ютерне моделювання. Обчислювальний експеримент.

Найважливішою функцією комп'ютера є моделювання. Комп'ютерне моделювання — це реалізація на машині комп'ютерної моделі. Комп 'ютерна модель досліджуваного об'єкта чи процесу створюється апа­ратно-програмним способом — подається на екрані відеодисплею за допомгою відповідної програми, заснованої на математичній (інформаційній) моделі.

Є різні комп'ютерні моделі: цифрові, графічні, текстові, змішані.

Процес комп'ютерного моделювання пов'язаний з відтворенням (імітацією) поведінки об'єкта, яка цікавить дослідника.

Комп'ютерна модель дає відповідь на запитання: А що буде, якщо...?

Ще раз підкреслимо, що комп'ютерна модель будується на основі математичної моделі.

Комп'ютерний напрям моделювання в науці отримав назву обчислювального експерименту.

Обчислювальний експеримент — це методологія дослідження, засновані на вивченні математичної (інформаційної) моделі за допомогою логіко-мате матичних алгоритмів на комп'ютері.

Комп'ютерне моделювання (обчислювальний експеримент) має істотні переваги перед натурним експериментом.

По-перше, непотрібно проводити експеримент на реальних фізичних, еко­номічних чи інших об'єктах, тому затрати на різні комп'ютерні експерименти набагато менші, ніж на натурні експерименти. Масштаби експериментів мож­на вибрати на свій розсуд, при цьому є можливість проведення багатократних дослідів із поступовими змінами вхідних даних задачі.

По-друге, проведення реальних експериментів у деяких галузях науки не­безпечне (екологія, ядерна фізика) або неможливе (астрофізика). Тут абсолют­но незамінним є обчислювальний експеримент.

По-третє, у процесі побудови математичних моделей для проведення обчис­лювального експерименту і під час її дослідження можна проаналізувати і зро­зуміти характеристики досліджуваного об'єкта.

Проведення обчислювального експерименту здійснюється за такими етапами:

1) побудова математичної моделі;

2) обрання методу реалізації математичної моделі та побудова відповідного алгоритму;

3) запис алгоритму (кодування) однією з мов програмування високого рівня (побудова інформаційної моделі у вузькому розумінні);

4) тестування програми виявленням та усуненням логічних і синтаксичних помилок;

5) проведення обчислювального експерименту на комп'ютері за складеною і налагодженою програмою.

 

 

25Алгоритмізація. Поняття алгоритму. Властивості алгоритму. Способи опису алгоритмів. Навчальна алгоритмічна мова. Базові структури алгоритмів. Технологія побудови алгоритму “згори до низу” та структурний підхід до розробки алгоритмів. Технологія структурного програмування.

Поняття алгоритму.

Алгоритм – це чітко визначена для конкр.виконавця послідовність дій, які спрямовані на досягн.поставленої мети або розв’яз.задачі певного типу (описове означення, оскільки поняття алг.відноситься до первісних, неозначуваних). Сам термін “алгоритм” утворився в результаті перекладу на європейські мови імені арабського математика Аль-Хорезмі, який описав правила (алгоритми) виконання основних арифметичних операцій в десятковій системі числення.

Пр.алг.: приготування кулінар-ної страви згідно з рецептом, пошук слова у словнику, розв-ня квадр. рівн.

Властивості алгоритму

Власт. алг.:

1. Скінченність. Виконання кожного алг. повинно завершуватись за скінчене число кроків.

2. Результативність. Виконання алг.завжди повинно приводити до певного результату.

3. Формальність. Виконавець відповідно до алгоритму повинен одержати результат, не вникаючи в його суть.

4. Визначеність. Будь-який алг.повинен бути описаний так, щоб при його розшифруванні у виконавця не виникало двозначних вказівок. Тобто різні виконавці згідно з алг. повинні діяти однаково та прийти до одного й того ж результату.

5. Масовість. За допомогою складеного алг. повинен розв’язуватись цілий клас задач.

6. Зрозумілість. В алг.повинні бути лише операції, які знайомі виконавцеві. При цьому виконавцем алгоритму може бути: людина, комп’ютер, робот тощо.

Способи опису алгоритмів.

Способи опису алг.:

1. Словесно-формульний (опис здійснюється в словесній формі з використанням математичних чи інших формул);

2. Графічний (за допомогою блок-схем);

3. З використанням спеціальних алгоритмічних мов (таких як навчальна алгоритмічна мова);

4. У вигляді програм, написаних певною мовою програмування.

Навчальна алгоритмічна мова.

Навчальна алгоритмічна мова

Мета вивч.: показати ідею ручного перекладання алг., записаних н.а.м., на одну з мов програмування.

Близька до природної мови; містить правила опису лише чотирьох вказівок: надання значення, розгалуження, повторення і вказівку про вико-ня алг.; дає можливість перевірити правильність написання алг.людиною; має свої службові слова і описи вказівок.

Базові структури алгоритмів.

При конструюванні викор.такі базові алгор-ні структури:

1. Слідування. Команда с.подається у вигляді послідовності двох (або більше) простих команд, що виконуються одна за одною. Якщо алгоритм можна подати у вигляді послідовності команд, то його називають лінійним алгоритмом.

Пр.: Скласти алг.обч-ня значення виразу y=(Ax+B)(Cx+D).

2. Розгалуження (вибір). Команда розг. – це вказівка виконати одну з двох команд: команду 1 або 2 залежно від іст. чи хибності деякого твердж. Р. На цьому виконання команди розгалуження закінчується.

 

 

– +

Пр. Скласти алг. розв’яз.квадр. рівн.

3. Повторення (цикл). Розрізняють два типи циклів – поки і до.

Поки До

+

 

Порівняняльна характеристика

Поки	До
Перевірка умови
до	після
К-ть повторень команд в циклі
Може не повтор. жодного разу	Повтор. хоч один раз
Умова виходу з циклу
Якщо умова є хибною	Якщо умова є істинною

Пр.Скла.алг.обч.суми цілих чисел від 1 до 100.

структурне програмування є технологією програмування, яка об’єднує способи складання добре структурованих надійних програм, зручних для читання і розуміння їх людиною, слідкування за логікою їх роботи, внесення до них виправлень та інших змін. Згідно з думкою Н.Вірта “структурізація є принциповим інструментом, яке допомагає програмісту систематично синтезувати складні програми, зберігаючи про них повне уявлення” [1].

Реалізація цих ідей заснована на таких принципах:

1) аналітичне (згори донизу) програмування;

2) структурне кодування, тобто використання лише базових елементів програми;

3) принцип модульності.

З точки зору структурного програмування, правильна програма – це програма, структура якої включає тільки базові елементи, і жоден з цих базових елементів не є недоступним і не допускає зациклювання. Правильна програма має тільки один вхід і тільки один вихід. В правильній програмі не повинно бути таких частин, які ніколи не виконуються.

Технологія побудови алгоритму “згори до низу” та структурний підхід до розробки алгоритмів.

Метод побудови алг.“зверху вниз”:

На кожному етапі розв’яз.в разі необхідності задачу поділяють на простіші задачі – підзадачі, кожну підзадачу можна поділ.на ще прост. і так доти, поки не будуть одержані такі підзадачі, які легко програмуються. При цьому на кожному кроці побудови алг. розв’яз.задачі якщо треба, уточнюється (покрокова деталізація). Поділ кожної вказівки на простіші здійснюється за допомогою тільки трьох базових алг-их структур: слідування, розгалуження, повторення.

Важливою особливістю цих структур є те, що кожна з них має єдиний вхід і єдиний вихід. При конструюванні алгоритмів вихід кожної базової структури приєднується до входу іншої. При цьому весь алгоритм матиме вигляд лінійної послідовності базових алг-их структур. Така послідовність може складатися з єдиної базової алг-ої структури. В одні базові алгоритмічні структури можуть вкладатися інші. Таким чином, у процесі побудови алгоритмів їх можна розвивати як “у ширину” так і в “глибину”.

Кожний алг. можна подати у вигляді комбінації 3 базових алг-их структур, що є їх основною власт. Викор-ня цього принц. лежить в основі структурного підходу до побудови алгоритмів.