Лекция 11. Игры порядка 2 х 2. Графический метод решения игр 2 х n и m x 2.

 

В общем случае игра 2 2 определяется матрицей

(36)

Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например 1) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой – только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией игрока 1 является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее, по свойству 1 следует, что а₁₁ = а₁₂ = u и матрица имеет вид

(37)

Легко видеть, что для матриц такого вида одна из стратегий игрока 2 является доминируемой. Следовательно, по свойству 4 этот игрок имеет чистую стратегию, что противоречит предположению.

Пусть Х = (x, 1 - x) – оптимальная стратегия игрока 1. Так как игрок 2 имеет смешанную оптимальную стратегию, из свойства 1 получим, что (см. также свойство 7)

(38)

Отсюда следует, что при u ¹ 0 столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид

(39)

и игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью 1 ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если u ¹ 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим

;

(40)

.

Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что оптимальная стратегия игрока 2 Y = (h, 1 - h) удовлетворяет системе уравнений

откуда

. (41)

 

Поясним графический метод решения матричных игр на примерах.

Пример 1.

Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А₁, А₂, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А₁ (0;0) отвечает стратегия А₁, точке А₂ (1;0) – стратегия А₂ и т.д.

x

 

В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А₁,а на втором – при стратегии А₂. Если игрок 1 применит стратегию А₁,то выиграет при стратегии В₁ игрока 2 – 2, при стратегии В₂– 3, а при стратегии В₃– 11. Числам 2,3,11 на оси 0х соответствуют точки В₁,В₂ и В₃.

Если же игрок 1 применит стратегию А₂,то его выигрыш при стратегии В₁ равен 7,при В₂– 5,а при В₃– 2.Эти числа определяют точки В¢₁,В₂¢,В₃¢на перпендикуляре, восстановленном в точке А₂.Соединяя между собой точки В₁ и В¢₁,В₂ и В¢₂,В₃ и В¢₃ получим три прямые,расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.Например,расстояние от любой точки отрезка В₁В¢₁ до оси 0х определяет средний выигрыш u₁ при любом сочетании стратегий А₁ А₂ (с частотами х и 1– х) и стратегией В₁ игрока 2. Это расстояние равно

2 х₁ + 6(1 - х₂) = u₁

(Вспомните планиметрию и рассмотрите трапецию А₁ B₁ B¢₁ A₂).Таким образом,ординаты точек, принадлежащих ломанной В₁ M NВ¢₃ определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий.Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* =(х,1- х),а её ордината равна цене игры u. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В₂ B¢₂ и В₃ B¢₃.

Соответствующие два уравнения имеют вид

.

Следовательно Х = ( ; ), при цене игры u = . Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, Y = (0; ; ). (Из рисунка видно, что стратегия B₁ не войдёт в оптимальную стратегию.

 

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

 

Решение. Матрица имеет размерность 2 ^х 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная А₁ K А¢₄ соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок NK–цене игры. Решение игры таково

U = ( ; ); Х = ( ; 0; 0; ); u = .