Определение искомых параметров по результатам измерений

Очень часто цель экспериментов заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле. Так, на Земле падение тел описывается формулой S = gt ² / 2, но величина g меняется от одного участка земной поверхности к другому и подлежит экспериментальному определению. Радиоактивный распад подчиняется формуле

N=N₀ e^-λt,

где N – количество атомов вещества в момент t, N₀ – начальное число атомов, а λ – постоянная распада. Закон распада имеет один и тот же вид для всех ядер, но постоянная λ у каждого из них своя. Параметр λ определяется экспериментально.

Растяжение тел описывается формулой

,

где L – длина образца, Δ L – его удлинение под действием силы F, S – площадь образца, Е – константа (модуль упругости). Написанная формула – при небольших силах – описывает растяжение всех твердых тел, но величина модуля упругости зависит от материала, его обработки и т. д. Эта величина находится экспериментально.

Пусть опыт состоит в определении модуля упругости. Экспериментатор измеряет L и S и записывает формулу в виде

.

Затем тело растягивают и составляют таблицу зависимости удлинения от приложенной силы:

F	F 1	F 2	F 3	…	F n
Δ L	Δ L 1	Δ L 2	Δ L 3	…	Δ L n

Как найти Е по данным, указанным в этой таблице? Можно попытаться записать цепь равенств:

, , …, .

Каждое из этих данных определяет свое значение Е. Эти значения из-за погрешностей опыта несколько отличаются друг от друга.

Нередко приходится наблюдать, что при обработке результатов студенты усредняют найденные таким образом значения модуля упругости. Это плохой, математически некорректный метод. Поясним наше утверждение. На рис. 6 точками изображены результаты 11 опытов (разброс точек для наглядности увеличен). Первое из равенств соответствует прямой, проведенной из начала координат через точку 1. В самом деле, из этого равенства имеем . С точностью до постоянного для всех точек коэффициента пропорциональности L/S значение модуля упругости Е равно котангенсу угла, образованного осью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат в эту точку. Второе из равенств соответствует прямой, проведенной через точку 2, и т. д. Усреднение величии Е, полученных во всех опытах, означает усреднение котангенсов указанных углов.

Рис. 6 показывает, однако, что усредняемые величины определяются из опыта с разной достоверностью. Точка 8 отстоит от наилучшей прямой (которая проведена жирной линией) не ближе, чем точка 2, но погрешность в определении угла для нее в несколько раз меньше. Обсуждаемый способ определения Е заключается, таким образом, в том, чтобы взять среднее из хороших и плохих результатов. Такая процедура, конечно, математически некорректна.

Иногда пытаются найти Е из прироста длины и силы на каждом шаге растяжения:

, и т. д.

При этом возникает много вычислительной работы и получается новый ряд значений Е, которые также чаще всего усредняют. Покажем, что и этот способ неправилен. Пусть, для примера, опыт ставится в условиях, когда все приращения длины равны друг другу. Тогда

, и т. д.

При усреднении получим

.

Таким образом, все найденные на опыте значения силы при усреднении сокращаются, и результат зависит только от первого и последнего опытов. Значит, при такой обработке мы на самом деле не усреднили результаты, полученные в разных опытах, а просто исключили из рассмотрения почти все полученные на опыте данные. Ясно, что такой метод нельзя признать разумным. Математическая причина ошибки очевидна: разумно усреднять результаты только в том случае, если они являются равноточными и независимыми. В первом примере результаты обладали различной точностью, а во втором они не являются независимыми: одно и то же значение силы входит в два соседние равенства. Число примеров при желании можно было бы существенно увеличить.

Правильным и удобным методом обработки результатов является графический метод. Изобразим удлинения и силы на графике, как это сделано на рис. 6. На этом рисунке проведена «наилучшая прямая», удовлетворяющая всем требованиям, которые обсуждались ранее. Наклон этой прямой соответствует изменению длины 5,7 · 10^–4 см при увеличении силы на 1 Н. Эта цифра может быть прямо подставлена в формулу для вычисления модуля упругости.

При рекомендуемом методе графической обработки результатов – при проведении прямой на глаз – учитываются все точки графика. При этом точки, лежащие по его краям, оказываются более существенными, как это и должно быть. Математически этот способ эквивалентен методу «наименьших квадратов», о котором шла речь в начале § 9. Большим преимуществом графического метода является его простота.

Сделаем еще одно замечание о построении таких графиков. Часто случается, что начальная точка искомой зависимости хорошо известна и лежит в начале координат. Как бы ни была сложна зависимость тока, проходящего, через проводник, от приложенного к нему напряжения, можно быть уверенным, что при отсутствии напряжения нет и тока (мы предполагаем, что в цени не возникает термо-э. д. с.). При отсутствии силы нет удлинений. Если чайник не нагревать и не охлаждать, то изменение его температуры равно пулю, и т. д. Во всех этих случаях нулевая точка не просто известна,– она является самой надежной из всех, которые используются при обработке результатов. Задача о проведении наилучшей прямой сводится в этом случае к подбору параметра в формуле

y =kx. (19)

В общем случае нужно найти параметры а и b в формуле

y=a+bx (20)

Приведем правила для определения погрешностей, которые следует приписывать графически найденным параметрам прямой линии. Пусть прямая описывается формулой (20).

Чтобы найти погрешность в определении параметра а, нужно смещать прямую вниз параллельно самой себе, пока выше нее не окажется вдвое больше точек, чем снизу. Затем следует сместить ее вверх, пока снизу не окажется вдво е больше точек, чем сверху. Пусть смещение между этими прямыми равно Δ а (см. рис. 7). Погрешность в определении а равна

, (21)

где п – полное число точек на графике.

Погрешность в определении параметра b находится аналогичным образом (рис. 8). «Рабочий участок» оси абсцисс (участок, на котором расположены экспериментальные точки) делится на три равные части. Средний участок в дальнейшей работе не участвует. Для определения σ _b прямая поворачивается так, чтобы на левом участке выше нее оказалось вдвое больше точек, чем под ней, а на правом участке – наоборот. Затем кривая поворачивается так, чтобы на левом участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а на правом – выше нее. Обозначим разницу в угловых коэффициентах этих прямых через Δ b. Тогда

, (22)

где п – полное число точек на графике.

В заключение приведем правило для нахождения стандартной погрешности при определении параметра k в формуле (19), т. е. при определении наклона прямой, проходящей через начало координат. «Рабочим» участком в этом случае является весь диапазон по оси X от нуля до последней точки. Его следует разбить на три части и самую левую – ближнюю к началу координат – часть во внимание не принимать. Затем нужно провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной из них лежало 2/3 точек, а выше другой – 1/3. Различие в и между этими прямыми определяет Δ k. Стандартная погрешность находится по формуле

,

где п – полное число точек на графике.