Математические модели линейных автоматических систем управления

 

Типовые (регулярные) сигналы используются в теории управления для экспериментального определения математической модели элементов (объектов), а также для сравнительной оценки качества систем.

САУ можно представить структурной схемой, — которая показывает, какие типовые звенья входят в состав системы, и их соединение. По структурной схеме можно записать передаточную функцию системы, а, следовательно, уравнение динамики системы. Передаточная функция – отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов элемента (системы) при нулевых начальных условиях. Каждое типовое звено имеет свою передаточную функцию и, следовательно, уравнение связи между входным и выходным сигналом, т.е. динамические характеристики.

На систему автоматического управления практически всегда действуют случайные сигналы, передаточная функция системы может быть определена через спектральную плотность сигналов на входе и выходе.

Устойчивость линейных систем

 

Система считается устойчивой, если после снятия возмущения она приходит в первоначальное состояние – до действия возмущение, если возмущение не снято, то устойчивая система приходит в новое установившееся состояние. Устойчивость системы определяется положением корней характеристического уравнения системы (уравнения свободного движения). Если корни характеристического уравнения лежат на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то система устойчива. Определить положение корней, а следовательно, и устойчивость, можно по критериям устойчивости, не вычисляя сами корни. Для минимально-фазовых систем устойчивость легко определяется по ЛАЧХ разомкнутой системы. Для систем с запаздыванием необходимо строить и фазочастотную характеристику. Запаздывание снижает устойчивость системы и ухудшает ее качественные показатели.

 

Качество переходных процессов

 

Качество различных систем оценивают по их реакции на ступенчатый входной сигнал, т.е. по переходной характеристике. Эти оценки называют прямыми показателями качества, которые оценивают точность системы, ее быстродействие и динамику. В переходном режиме точность системы зависит от порядка астатизма системы. Системы с астатизмом 1-го порядка не дают установившейся ошибки (по положению), а с астатизмом 2-го порядка – не дают и скоростной ошибки. Статические системы имеют все составляющие ошибки: по положению, скоростную, по ускорению. Астатизм системы определяется астатизмом регулятора (наличием в законе регулирования интегральной составляющей). Коэффициенты ошибок могут быть определены через передаточную функцию системы по ошибке и через добротность системы по скорости и ускорению. Качество системы можно оценить косвенно, не строя сам переходной процесс: по расположению корней на комплексной плоскости (степень устойчивости и колебательности), по величине запасов устойчивости по модулю и по фазе, по показателю колебательности, по вещественной частотной характеристике. Интегральные критерии – обобщенная оценка качества системы – позволяющая судить о быстродействии и точности. Наибольшее распространение получили квадратитчные интегральные оценки.

Методы расчета линейных САР

Закон регулирования – это уравнение связи между входным сигналом регулятора (ошибкой e(t)) и выходным сигналом (управляющим воздействием u(t)). При определении оптимальных настроек регуляторов технологических процессов в качестве показателя оптимальности объекта обычно принимают минимум того или иного интегрального критерия качества при действии на объект наиболее тяжелого вида возмущения или изменения заданного значения регулируемой величины, с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы и учетом ограничения на скорость изменения некоторых регулируемых величин. При оптимальной настройке регулятора переходные процессы при обработке задающих воздействий должны удовлетворять следующим требованиям: максимальное отклонение регулируемой величины не должно превышать 10 % от величины нового установившегося значения; максимальная относительная величина регулирующего воздействия не должна превышать величины 1,5; время регулирования t_p не должно превышать пяти-семи значений времени изодрома, т.е. t_p £ (5¸7) T_и.

Адаптивные настройки САР используются при непредвиденном изменении характеристик объекта или воздействии внешней среды, и заключаются в изменении алгоритма управления в соответствии с уточненной моделью объекта. В каскадных или двухконтурных системах регулирования (рис.1) методика определения параметров динамической настройки регулятора базируется на предположении о возможности расчета одного контура независимо от другого. Сначала определяют настройку стабилизирующего регулятора W_p1(p), а затем параметры корректирующего регулятора, в контур которого входит регулятор W_p1(p).

 

 

W_oп(p) – передаточная функция опережающего участка ОУ

W_ин(p) – передаточная функция инерционного участка ОУ

При настройке стабилизирующего регулятора перерегулирование во внутреннем контуре может достигать 18 % при отработке задания. Настройку корректирующего регулятора целесообразно проводить по методу полной компенсации и частичной компенсации наибольшей постоянной времени ОУ, т.е. Т_о=Т_и,где Т_и – время изодрома.