Коэффициенты первого столбца таблицы должны быть положительны.

 

100р⁵+270р⁴+151 р³+ 22,5р⁴+ р+288=0

Таблица №7

№ п/п	Значение вспомогательного коэффициента	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
	----------------
	----------------

Ответ: Т.к. с₁₅<0, то система неустойчива.

3. Критерий Михайлова.

 

Уравнение характеристического вектора получим из характеристического уравнения заменой оператора р®jw.

D(p)= 100р⁵+270р⁴+151 р³+ 22,5р²+ р+288=0;

D(jw)=100(jw)⁵+270 (jw)⁴+151(jw)³+22,5(jw)²+jw+288 = 100jw⁵+270jw⁴-151jw³- -22,5jw²+jw+288 = (288-22.5w²+270w⁴)+jw(1-151w²+100w⁴)=Re(w)+Im(w).

Изменяя w в интервале 0<w<¥, рассчитываем Re(w) и Im(w) и заносим в таблицу №8.

Таблица №8

w		0.1	0.5				¥
Re		287.9		535.5			¥
Im		-0.05	-15.3	-50			¥

 

Т.к. годограф начинается на положительном отрезке вещественной оси (рис.9), но не обходит 5 квадрантов, то система неустойчива.

Рис. 9

 

4. Критерий Найквиста.

 

Определяем устойчивость по АФЧХ системы, разомкнутой по главной обратной связи.

W_раз(p)= W₁(P)* W₂(P)* W₃(P) * W₄(P)= .

Комплексный коэффициент передачи САУ получим, заменяя p®jw

W_раз(jw)= .

Выведем действительную и мнимую части домножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженные множители.

;

Re= ;
Im= .

Задаваясь значениями w из промежутка 0 £ w < ¥, рассчитываем Re(w) и Im(w).

 

 

Таблица №9

w		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9		¥
Re	-6336	-1334	-115	3,72	12,4	9,1	5,95	3,8	2,5	1,65	0,056
Im	-¥					12,2	5,33	2,43	1,13	0,52	-0,026

 

По данным таблицы строим АФЧХ системы (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

Система неустойчива т.к. при дополнении годографа дугой с бесконечным радиусом до положительного отрезка вещественной оси АФЧХ охватывает критическую точку с координатами (–1; 0j).

Определим устойчивость, используя ЛАЧХ и ФЧХ системы.

 

Уравнение для построения ЛАЧХ системы:

 

20 lg|W(jw)| = 20 lgК_э – 20 lgw – 10 lg(1+T₂²w²) – 20 lg(1+T₃²w²) – 10 lg(1+T₄²w²)

 

20 lg K_э = 20 lg 288 = 49,19

 

Асимптотическую ЛАЧХ легко построить по ЛАЧХ типовых звеньев, суммируя их. Для этого рассчитывают частоты излома .

Уравнение для построения ФЧХ системы

j(w) = – 90 – arctg(wT₂) – 2 arctg(wT₃) – arctg(wT₄) =
= 90 – arctg(0,5w) – 2 arctg(10w) – arctg(2w).

Построим ФЧХ системы.

 

w		0.1	0.5		¥
j(w)	-90	-194	-306	-385	-450

 

САУ будет устойчива в замкнутом состоянии, если ЛАЧХ пересекает ось частот раньше, чем ФЧХ пересекает линию -180° (рис. 11.).

Значит система неустойчива.

 

 

Рис. 11

 

 

5. Метод D-разбиений по коэффициенту усиления.

 

100р⁵+270р⁴+151р³+22,5р²+р+288 = 0, К_сис= 288.

 

Выражаем коэффициент усиления системы из характеристического уравнения системы:

К_сис= -100р⁵-270р⁴-151 р³- 22,5р²- р.

Заменим p®jw

 

К_сис= -100(jw)⁵-270 (jw)⁴-151(jw)³-22,5(jw)²-jw =
-j100w⁵-270w⁴+j151w³+j22,5w²-jw = (-270w⁴ + 22.5w²)+j(-100w⁵ + 151w³ – w).

 

По этому выражению, изменяя 0<w<¥, строим кривую, которая затем дополняется зеркальным отображением относительно оси Х,и заштриховываем (рис. 12.) в соответствии с правилами.

 

 

Таблица №10

w		0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07
Re		0,002	0,009	0,02	0,035	0,055	0,078	0,104
Im		-0,01	-0,02	-0,03	-0,03	-0,03	-0,03	-0,02
w	0,08	0,09	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
Re	0,133	0,165	0,198	0,468	-0,16	-3,31	-11,3	-26,9
Im	-0	0,019	0,05	0,976	3,534	8,24	15,25	24,24
w	0,7	0,8	0,9		1,1	1,2	1,3	¥
Re	-53,8	-96,2	-159	-248	-368	-527	-733	-¥
Im	34,29	43,74	50,13		38,83	10,9	-40,8	-¥

 

Рис. 12

Претендентом на область устойчивости является область 1.

Определим корни характеристического уравнения (определим устойчивость) при К, взятом из этой области, по критерию Гурвица.

 

100 р⁵ + 270 р⁴ +151 р³ + 22,5 р² + р + К=0

 

К=0.1 – получим все отрицательные корни.

 

Таким образом, САУ будет устойчива, если 0<K<0,14.

 

Критический коэффициент усиления системы можно определить, используя любой из критериев. D-разбиение позволяет выделить области с различным расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра (в нашем случае К).

 

Литература

1. Уразаков К.Р., Андреев В.В., Жулаев В.П. Нефтепромысловое оборудование для кустовых скважин.- М.: Недра, 1999.- С. 80-81.

2. Пат. 2145414 РФ, МПК G 01 L 1/22. Тензорезисторный датчик силы / УППО / Свирский В.В., Мамлеев Р.Ф. // Опубл. 2000.02.10.

3. Хакимьянов М.И., Штанев С.Л. Оценка погрешности датчика усилия

ДДС-04 при смещении направления и точки приложения нагрузки // МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ В СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ: Труды международной научно-технической конференции (Россия, Пенза, 9-10 сентября 2002 г.) / Под ред. М.А. Щербакова.- Пенза: Информационно-издательский центр Пенз. гос. ун-та, 2002.- С. 165-167.

4 Хакимьянов М.И., Ковшов В.Д., Штанев С.Л. Анализ упругих элементов атчиков усилия систем динамометрирования ШГН. «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления». Сборник материалов XIV Научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов. Под редакцией профессора В.Н. Азарова. М.: МГИЭМ, 2002.- С.: 132-133.

5. Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин (Измерительные преобразователи): Учеб. пособие для вузов.- Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1983.- С. 92-106.

6. Cистема динамометрирования стационарная ДДС-04 (динамограф) // http://www.grant-ufa.ru/dds-04.shtml.

7. Чаронов В.Я. Автоматизация работы основного оборудования и проблемы энергосбережения на объектах нефтегазодобычи.- Альметьевск: Изд-во АО «Татнефть», 1998.- 330 с.

8. Жук Е., Шимчак П. Система Lufkin Automation контролирует работу скважин в Беларуси // Нефть и газ Евразия.- 2006.- № 8. С.: 16-27.

9. Ковшов В.Д., Емец С.В., Хакимьянов М.И., Светлакова С.В. Датчики усилия для систем динамометрирования штанговых глубинных насосов добычи нефти // Электронный журнал "Нефтегазовое дело", Уфа, 2007.

10. http://www.ogbus.ru/authors/Kovshov/Kovshov_1.pdf. 16 с.

11. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем: учебник для вузов / под ред. Н. Н. Иващенко – 3-е изд. – Москва: Машиностроение, 1973. – 606 с.

12. Анхимюк, В. Л. Теория автоматического управления: учебное пособие для вузов / В. Л. Анхимюк, О. Ф. Опейко, Н. Н. Михеев. – Минск: Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.

13. Анхимюк, В. Л. Теория автоматического управления: учеб. пособие для электротехн. спец. вузов / В. Л. Анхимюк, О. Ф. Опейко, Н. Н. Михеев. – 3-е изд., перераб. и доп. – Минск: Высшая школа, 1979. – 352 с.

14. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – Москва: Наука, 1966. – 992 с.