Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

Если функция ƒ(х) имеем предел, равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х), т.е. , то ƒ(х)=b+α(х), где α(х)- бесконечно малая величина.

Док-во:

Пусть тогда

, значит , – бесконечно малая величина.

 

Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства.

Бесконечно малая функция:

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Например, последовательность чисел — бесконечно малая. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если . Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Бесконечно большая функция:

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки х ₀, если

. Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства:

1) Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

3) Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

4) Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

 

 

Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства.

Общим у всех бесконечно малых функций явл. их стремление к нулю, однако «скорость» стремления к нулю может быть различной.

Пусть α(х) и β(х)- бесконечно малые, при х→х₀ функции, если , то говорят, что α(х) и β(х)- одного порядка малости. Если же , то говорят, что α(х)-бесконечно малая более высокого порядка малости, чем β(х) и пишут α(х)=0(β(х)).

Бесконечно малые функцииα(x) иβ(x) называются эквивалентными при x a, если
. Если α(х) – бесконечно малая функция, то справедливы основные эквивалентности: sinα(x)~α(x); tgα(x)~α(x);arcsinα(x)~ α(x); arctgα(x)~α(x); e^α(x) ~α(x); ln(1+α(x))~α(x); a^α(x) ~α(x)*lnα; . При вычислении пределов используются следующие теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях:

Т1) Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения функций, им эквивалентных,

Т2) Сумма нескольких бесконечно малых функций различных порядков малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

 

 

Первый и второй замечательный предел функции.

Первый и второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей, содержащих тригонометрические функции

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Док-во первого:

Рассм. Окружность единичного радиуса и < х? (0; )

Из рис. следует, что:

1<

Значит (перейдём к обратным):

1< >

Если х? (- , то – х? (0; , тогда:

1 >

Таким образом неравенство справедливы для любого х? (- отличного от нуля. Т.к. , , то

Док-во второго:

Сделав во втором замечательном пределе замену = t, получим = е.

 

Непрерывность функций. Точки разрыва функции, их классификация.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена некоторой окрестностью этой точки и предел . C геометрической точки зрения непрерывность функции означает, что график функции не имеет «разрывов».

Точка х₀ наз. точкой разрыва функции f(x), если в этой точке нарушается условие непрерывности, т.е. либо , либо .

Точки разрыва можно разбить на 2 класса:

а)1-го рода, для которых и существуют, но не равны f(x₀);

б) 2-го рода, для которых хотя бы один из пределов или не существует или бесконечен или оба предела существуют.

Точки разрыва 1-го рода наз. также точками устранимого разрыва или конечного скачка, а 2-го рода точками бесконечного разрыва.

Если конечны, но не равны, то их разность – наз. скачком функции.

Среди точек разрыва 1-го рода выделяют точки устранимого разрыва – точки для которых = но они ≠ f(x₀). Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию

f(x₀)= = .

 

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Пример:

y =

y= x₁x > 0

-x₁x ≤ 0;

Этот пример показывает, что из непрерывности функции в точке, не следует её дифференцируемость.

Асимптоты графика функции.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая X=a является вертикальной асимптотой графики функции y=f(x), если, по крайней мере, один из односторонних пределов в точке x=a равен бесконечности т.е.

или

Прямая y=k1x+b1 является наклонной асимптотой при x->+∞ если существуют оба предела

и b1=

Аналогично, если существуют пределы

K1= и b1=

То прямая y=k2x+b2 является наклонной асимптотой приx->-∞

Если k=0 и существует , то получаем горизонтальную асимптоту y=b как частный случай наклонной.

Если вертикальных асимптот может быть любое число, то наклонных асимптот не может быть более 2-ух.

Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

Если функция ƒ(х) имеем предел, равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х), т.е. , то ƒ(х)=b+α(х), где α(х)- бесконечно малая величина.

Док-во:

Пусть тогда

, значит , – бесконечно малая величина.