Условия возрастания и убывания функций. Экстремумы.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. возрастающие, как и убывающие функции, называются монотонными. Возрастание и убывание функции y = f{x) определяется знаком ее производной: если в некотором интервале f'(x) > 0, то функция возрастает, а если f'(x) < 0, то функция убывает в этом интервале.

Первое правило нахождения экстремумов функции f(x) (по первой производной):

· Находим область определения функции D(f)•

· Ищем первую производную функции f '(x).

· Находим критические точки первой производной.

· Определяем знак производной f '(x). слева и справа от крити­ческой точки, в которой функция непрерывна. Если знак изменяется с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то - минимум. Если же знак производной не изме­няется, то в данной точке экстремума нет.

 

Второе правило нахождения точек экстремума (по второй производной):

· Находим область определения функции D(f).

· Ищем первую производную функции f '(x)

· Находим точки, в которых f '(x) = 0, а функция f(х) непре­рывна.

· Ищем вторую производную f "(x)

· Во вторую производную f "(x) подставляем каждое из значе­ний, полученных в п. 3. Если f "(х_о)>0; то в точке х₀ функция име­ет минимум, если f "(х_о)<0, то - максимум. Если f ”(х_о) = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым (можно воспользо­ваться первым правилом).

 

Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие существования точек перегиба

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x).Характеризуется знаком второй производной f“(x) > 0, а именно: если в некотором про­межутке f “(х)>О, то кривая вогнута, если f “(х)<0, то кривая выпуклая в этом промежутке. Следовательно, нахождение промежутков выпуклости и вогнуто­сти сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее второй производной f ‘’(х).

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отде­ляет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функции y = f(х) могут быть только точки, в которых вторая производная изменяет свой знак, т.е. точки, находящиеся внутри области определения функции f(x)в которых вторая производнаяf ‘’(х) обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками второй производной.

Точками перегиба графика функции у= f(х) будут лишь те критические точки второй производной, при переходе через которые f ‘’(x) меняет знак.

Отсюда получаем правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции:

1) Находим область определении функцииD(f).

2) Ищем 2-ую производную функцииf f (x).

3) Определяем точки, в которых вторая производная f ‘’(x) обращается в нуль или терпит разрыв (критические точки 2-ой производной)| 4) Находим промежутки, на которые разбивают области определенияD(f) критические точки. 5) Определяем знак f ‘’(x) на каждом из полученных промежутков: если f‘’(x)> о, то это промежуток вогнутости; если же f’’(x)< О, то это промежуток выпуклости.

6) Те из граничных точек промежутков, в которых функции f(x) непрерывна, а вторая производная f’’(x) изменяет свой знак при переходе через них, являются точками перегиба:

При нахождении интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба удобно результаты исследования записывать и таблицу из­менения знаков второй производной.

Асимптоты графика функции.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая X=a является вертикальной асимптотой графики функции y=f(x), если, по крайней мере, один из односторонних пределов в точке x=a равен бесконечности т.е.

или

Прямая y=k1x+b1 является наклонной асимптотой при x->+∞ если существуют оба предела

и b1=

Аналогично, если существуют пределы

K1= и b1=

То прямая y=k2x+b2 является наклонной асимптотой приx->-∞

Если k=0 и существует , то получаем горизонтальную асимптоту y=b как частный случай наклонной.

Если вертикальных асимптот может быть любое число, то наклонных асимптот не может быть более 2-ух.