Применение модифицированного критерия Колмогорова

1. Используя упорядоченные массивы х_i~N(5,1) и F_n(х_i) = , вычислите значения функции распределения вероятностей F(х_i, , ):

· Вычислите значения оценки СКО и среднего арифметического для исходной выборки в отдельных ячейках, используя стандартные статистические функции (см. работу № 1).

· z_i для распределения, характеризуемого средним и стандартным отклонением по формуле (3.2).

· Значения функции распределения вероятностей F вычислите с помощью функции НОРМРАСП (x;среднее;СКО;1), которая возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и СКО. Последний аргумент определяет вид функции: 1 означает, что функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; 0 –возвращается функция плотности распределения. Уравнение для плотности нормального распределения имеет вид:

 

.

· Вычислите абсолютные значения отклонений эмпирической функции распределения от теоретической в отдельном столбце (диапазон N4:N28) и найдите максимальное из них (3.3), используя функцию МАКС (N4:N28).

2. Вычислите для выбранного уровня значимости приближенным выражением

.

 

3. Наконец найдите значение модифицированного критерия Колмогорова (3.5). Если выполняется условие гипотеза о нормальности отвергается, в противном случае гипотеза принимается.

Использование критерия согласия

1. Для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона постройте данные в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

Номер инт-ла	Границы инт-лов	Число значений в инт-ле	Нормиров. граница инт-ла	Теор. вероятность

 

2. Заполните столбец 1, автоматическим заполнением ячеек.

3. В ячейки столбца 2 внесите ссылки на ячейки столбца значений границ интервалов, расположенных на листе построения гистограммы относительных частот. Число значений в интервале равно соответствующей частоте попадания значений вариационного ряда в интервал[7].

4. Вычислите значения теоретической вероятности (столбец 5):

· Вычислите для каждой границы интервала ее нормированное значение по формуле (3.2). Для этого воспользуйтесь функцией НОРМАЛИЗАЦИЯ (х;среднее;СКО) (столбец 4 табл. 3.2).

· Используя полученные значения в качестве аргумента, вычислите теоретическую интегральную функцию нормированного нормального распределения . Функция Excel НОРМРАСП. Значения аргументов: среднего = 0, оценка СКО = 1, так как значения границ уже нормированы.

· Далее по формуле (3.8) вычислите значения теоретической вероятности .

5. Заполните столбец 6, предварительно вычислив объем выборки (функция СЧЕТ). Для контроля правильности вычислений выполните суммирование значений ячеек столбца 6 – результат должен быть немного меньше 1 (см. раздел 3, п. «Построение гистограммы» лабораторной работы № 2).

· Постройте график зависимости от значений середин интервалов. Результатом является теоретическая кривая нормального распределения. Сравните с графиком гистограммы, полученной в работе № 2.

6. Отдельно вычислите значение статистики критерия согласия Пирсона по формуле (3.7), предварительно заполнив ячейки столбца 7. Вычисленное значение сравнивается с табличным (критическим) при выбранном одностороннем уровне значимости . Если , то гипотеза о виде распределения принимается. Критическое значение статистики критерия можно вычислить с помощью функции ХИ2РАСП (x;степени_свободы), которая возвращает одностороннюю вероятность распределения . х – это значение, для которого требуется вычислить распределение. В нашем случае это значение статистики критерия согласия Пирсона, вычисленное по формуле (3.7). Степени_свободы – это число степеней свободы.

7. Для вычисления уровня значимости наблюденного значения статистики , т.е. такого значения , при котором значение критерия становится критическим, можно воспользоваться методом интерполяции табличных значений -распределения или приближенным выражением [6]:

 

,

где .

Решите обе задачи использования критерия Пирсона: п.6 и п.7. Сравните результаты вычислений.

 

5. Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод линеаризации интегральной функции распределения проверки гипотезы о виде закона распределения?

2. Что такое статистические критерии?

3. Что показывает уровень значимости статистического критерия?

4. Как используется критерий Колмогорова?

5. Как используется критерий согласия Пирсона?

6. Что делать если при объеме выборки 20 критерий Колмогорова и Пирсона дают противоречивые результаты?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ОБЪЕДИНЕНИЕ РАВНОТОЧНЫХ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ /двухвыборочный t-тест для средних/

Цель работы

Изучить основные особенности и методы объединения результатов разных серий измерений в общий массив значений.

 

Задание

Выполнить объединение двух выборок разного объема из одной генеральной совокупности при отсутствии систематических ошибок и нормальном законе распределения случайных ошибок измерений, используя двухвыборочный t-критерий.

 

Краткая теория

Предположим, что измерительную информацию о некоторой физической величине постоянного размера получают сериями – в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно было бы получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако такое объединение возможно только при условии, что вид закона распределения (например, нормальный) обеих выборок один и тот же и математические ожидания у них равны (дисперсии могут быть различны).

В математической статистике однородными называются серии (выборки), взятые из одной генеральной совокупности, то есть имеющие одинаковый вид закона распределения, одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии. В метрологии однородные серии могут иметь различные дисперсии [2].

Если дисперсии в сериях одинаковы (не выборочные их оценки, а сами дисперсии), то в простейшем случае для двух серий измерений критерий однородности (t-критерий) имеет вид [4, 5, 7, 8, 11]:

, (4.1)

 

где и – средние арифметические в сериях; и – объемы серий; – табличное значение t-статистики; – объединенная оценка дисперсии :

, (4.2)

 

где и – выборочные оценки дисперсии в сериях; – число степеней свободы оценки и табличного значения t-статистики .

Прежде чем воспользоваться критерием (4.1), необходимо убедиться, что и есть оценки одной и той же дисперсии . Только в этом случае может быть использована объединенная оценка дисперсии в виде выражения (4.2). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в сериях при нормальном распределении осуществляется с помощью F-критерия (критерия дисперсионного отношения) [4, 5, 7, 8, 11]:

 

, (4.3)

 

где – максимальная из двух оценок и ; – число степеней свободы числителя (); – минимальная из двух оценок, – число степеней свободы знаменателя. Значение берется из таблиц F-распределения при одностороннем уровне значимости и числах степеней свободы числителя и знаменателя .

Если условие (4.3) выполняется, гипотеза о равенстве дисперсий принимается на уровне значимости . В противном случае она отвергается.

Если условия (4.3) и (4.1) выполняются, делается вывод о равноточности и однородности серий. В этом случае все экспериментальные данные объединяются и обрабатываются как единый массив, для которого вычисляются оценки основных статистических параметров:

. (4.4)

 

Поскольку для серий оценки и обычно бывают уже вычислены, то удобнее пользоваться другими формулами. Для двух серий они имеют вид

 

, (4.5)

где – общее число данных объединенного массива.

Критериями (4.1) и (4.3) можно пользоваться и тогда, когда число серий больше двух, но в сериях приблизительно одинаковы. Если серии с максимально различающимися и не будут отвергнуты критериями, тогда и остальные серии принимаются к объединению.

При построении t-интервала для истинного значения в случае объединения равноточных серий берут число степеней свободы .

 

Ход работы

1. Получите n1_i и n2_i из N(5;1), – две серии случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1 (для этого выполните шаги п.2 или п.3, лабораторной работы № 1). Размерность серий может быть произвольной, необязательно одинаковой.

2. Выполните расчет двухвыборочного F-теста для дисперсий, используя одноименный инструмент надстройки Анализ данных (см. рис. 4.1).

Примерный вид результатов работы надстройки «Двухвыборочный
F-тест для дисперсий» представлен на рис. 4.2.

 

Рис. 4.1. Двухвыборочный F-тест для дисперсий

 

3. Проверьте гипотезу = о равенстве дисперсий в сериях n1 и n2 по таблице значений параметров надстройки «Двухвыборочный
F-тест для дисперсий» (рис. 4.2).

 

 

Рис. 4.2. Примерный результат расчета F-теста

 

· Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейках В35 и С35 по формулам =В34-1 и =С34-1 соответственно.

· Значение критерия F вычисляется в ячейке В36 по формуле =В33/С33, где в ячейках В33 и С33 рассчитываются оценки дисперсии с помощью функции ДИСП (сведения о функции ДИСП см. в лаб. работе № 1). Это соответствует формуле (4.3). В случае, когда при расчете двухвыборочного F-теста для дисперсий в качестве интервала переменной 1 (рис. 4.1) выбирается выборка с меньшей дисперсией, то для соответствия с формулой (4.3) необходимо найти значение F, обратное вычисленному в ячейке В36.

· Значение Р(F<=f) показывает уровень значимости, при котором значение F становится критическим.

· Значение показателя F критическое одностороннее определяется в ячейке В38 по формуле = FРАСПОБР (1-0,05;В35;С35), которая рассчитывает обратное F-распределение. Функция используется в ситуациях, когда известен уровень надежности (или уровень значимости) и необходимо рассчитать значение F-критерия. Первый аргумент – вероятность, соответствующая двустороннему F-распределению (уровень значимости . Второй аргумент – число степеней свободы для первой выборки n1. Третий аргумент – число степеней свободы для второй выборки n2. Замечания: если вероятность < 0 или вероятность > 1, то функция FРАСПОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!; если степени_свободы1 или степени_свободы2 не целое число, то оно усекается; функция FРАСПОБР использует метод итераций для вычисления значения и производит вычисления, пока не получит результат с точностью ± 3×10^-7. Если результат не сходится после 100 итераций, то функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

· Можно получить двустороннюю оценку F_кр., используя функцию FРАСПОБР при уровне значимости 0,025. Тогда формула = FРАСПОБР
(1-0,025; В35; С35) рассчитает значение левосторонней критической точки = 0,43555736, а формула = FРАСПОБР (0,025; В35; С35) – значение правосторонней критической точки = 2,331503879. Таким образом, при двусторонней оценке получим критическую область как объединение двух интервалов . Однако и в случае двусторонних оценок значение критерия F не принадлежит ни одному критическому интервалу, следовательно, гипотеза принимается.

· Сравните расчетное значение F с параметром F критическое одностороннее по формуле (4.3), если F£ F_кр., гипотеза также принимается.

· Для расчета значения параметра Р(F<=f) одностороннее в ячейке В37 (рис.4.2) можно использовать следующие функции, родственные режиму «Двухвыборочный F-тест для дисперсий».

Функция FРАСП

Синтаксис:

FРАСП (х; степени_свободы1; степени_свободы2)

Рассчитывает значение вероятности F-распределения (распределения Фишера). Х – значение, для которого вычисляется F-распределение. Степени_свободы1 – число степеней свободы для первой выборки n1. Степени_свободы2 – число степеней свободы для второй выборки n2.

Замечания:

· если какой-либо аргумент не является числом, то функция FРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!;

· если аргумент степени_свободы1 или степени_свободы2 не целое число, то оно усекается;

· если аргумент степени_свободы1 или степени_свободы2 меньше 1 или больше 10¹⁰, то функция FРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Распределение Фишера (оно иногда называется распределением Снедеко­ра, Снедекора–Фишера, Фишера–Снедекора или распределением дисперсионного отношения) – это распределение случайной величины в виде отношения двух независимых случайных величин , каждая из которых имеет распре­деление , где – число степеней свободы. Связь между -распре­де­лением и распределением , таким образом, дается формулой:

 

.

 

распределение Фишера со степенями свободы и . На практике чаще применяется функция FРАСПОБР.

Функция ФТЕСТ

Синтаксис:

ФТЕСТ (массив1; массив2)

Рассчитывает для двух выборочных массивов данных двустороннее -значение F-теста. Массив1 – первая выборка данных. Массив2 – вторая выборка данных.

Замечания:

· аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа;

· если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текстовые значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями учитываются;

· если количество точек данных в аргументе массив1 или массив2 меньше 2 или если дисперсия аргумента массив1 или массив2 равна 0, то функция ФТЕСТ возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

Для наших данных (рис. 5.2) Р(F<=f) одностороннее в ячейке В77 рассчитывается по формуле = ФТЕСТ (A43:B62;C43:C67)/2[8], которая оказывается адекватна формуле = FРАСП (F49;F48;G48)[9].

4. Если дисперсии в сериях одинаковы, проверим однородность серий по формуле (4.1). Для этого воспользуемся режимом «Двухвыборочный
t-тест с одинаковыми дисперсиями» надстройки Ана л из данных… Microsoft Excel (рис. 4.3).

 

Рис. 4.3. Двухвыборочный t-тест c одинаковыми дисперсиями

 

Таблица значений, рассчитанных с использованием надстройки «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» представлена на рис. 4.4.

 

 

Рис. 4.4. Таблица расчетных значений двухвыборочного t-теста

 

5. Проверьте однородность (гипотезу о равенстве математических ожиданий) серий измерений по таблице значений параметров надстройки «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (рис. 4.4).

· Значения Среднего (ячейки В47 и С47), Дисперсии (ячейки В48 и С48) рассчитываются с помощью соответствующих функций, описанных в лаб. работе № 1.

· Объединенная оценка дисперсии (ячейка В50) рассчитывается по формуле (4.2). В синтаксисе Excel формула примет следующий вид: =((B49-1)*B48+(C49-1)*C48)/(B49+C49-2).

· Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейке В52 по формуле =B49+C49-2 как и полагается для .

· Основной показатель данной надстройки t-статистика вычисляется согласно формуле (4.1). В синтаксисе Excel формула примет следующий вид:

= ABS (B47-C47)/ КОРЕНЬ (B50*(1/ СЧЁТ (A3:A27)+1/ СЧЁТ (B3:B25)))

Здесь значения функций, применяемых в формуле интуитивно понятны. В случае сомнений см. Справочную систему Excel. Диапазоны A3:A27 и B3:B25 содержат значения первой и второй выборок соответственно.

· Модуль значения t критического двустороннего вычисляется в ячейке В57 по формуле = СТЬЮДРАСПОБР (0,05;B52). Сведения по функции СТЬЮДРАСПОБР можно найти в лаб. работе № 2.

· Для расчета значения одностороннего (ячейка В54) и двустороннего (ячейка В56) -значения t-теста можно использовать функцию ТТЕСТ, родственную режиму «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (рис. 4.4).

Функция ТТЕСТ

Синтаксис:

ТТЕСТ (массив1; массив2; хвосты; тип)

Возвращает вероятность, соответствующую критерию Стьюдента. Функция ТТЕСТ используется, чтобы определить, насколько вероятно, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, которые имеют одно и то же среднее. Массив1 – первое множество данных. Массив2 – второе множество данных. Хвосты – число хвостов распределения. Если хвосты = 1, то функция ТТЕСТ использует одностороннее распределение. Если хвосты = 2, то функция ТТЕСТ использует двустороннее распределение. Тип – вид исполняемого t-теста.

Тип	Выполняемый тест
	Двухвыборочный парный[10]
	Двухвыборочный с равными дисперсиями
	Двухвыборочный с неравными дисперсиями

 

Замечания:

· Если массив1 и массив2 имеют различное число точек данных, а тип = 1 (парный), то функция ТТЕСТ возвращает значение ошибки #Н/Д.

· Аргументы хвосты и тип усекаются до целых.

· Если хвосты или тип не является числом, то функция ТТЕСТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если хвосты имеет значение, отличное от 1 и 2, то функция ТТЕСТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Для случая равных дисперсий P(T<=t) одностороннее (ячейка В54
рис. 4.4) вычисляется по формуле

= ТТЕСТ (A3:A27;B3:B25;1;2),

которая адекватна формуле

= СТЬЮДРАСП (B53;B52;1),

а P(T<=t) двустороннее (ячейка В56 рис. 4.4) вычисляется по формуле

= ТТЕСТ (A3:A27;B3:B25;2;2),

которая адекватна формуле

= СТЬЮДРАСП (B53;B52;2).

Функция СТЬЮДРАСП возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента, а численное значение (аргумент В53) – это вычисленное значение, для которого должны быть вычислены вероятности. Данную функцию можно использовать вместо таблицы критических значений t-распределения.

· Сравните значение t-статистики = 0,455858321612874 с t критическим односторонним или двусторонним. Для выполнения гипотезы критическая область образуется объединением интервалов . Так как условие (4.1) выполняется, т.е. значение t-статистики не попадает ни в один критический интервал, то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем.

6. После объединения однородных серий результатов измерений выполните расчет основных статистических параметров, используя, например, режим «Описательная статистика» (см. лаб. работу № 1).

7. Постройте доверительный интервал для оценки математического ожидания объединенной выборки. Сравнить со значениями, вычисленными в лабораторной работе № 1.

 

5. Контрольные вопросы

1. Какие выборки называются однородными?

2. Какие значения основных статистических параметров должны иметь однородные выборки?

3. Как выполняется проверка гипотезы о равенстве дисперсий?

4. Как выполняется проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий?

5. В каком случае можно объединять две выборки?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ОБЪЕДИНЕНИЕ СЕРИЙ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
/двухвыборочный t-тест для средних/

Цель работы

Изучить основные особенности и методы объединения результатов разных серий измерений в общий массив значений.

 

Задание

Выполнить объединение двух выборок разного объема из разных нормальных совокупностей с одинаковым математическим ожиданием и разной дисперсией, используя приближенный двухвыборочный t-критерий.

 

Краткая теория

В предыдущей работе была рассмотрена процедура проверки гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с неизвестными дисперсиями. При этом делалось предположение о равенстве дисперсий между собой.

Если при анализе результатов измерений была обнаружена неравноточность серий (условие (4.3) работы № 4 не выполнено), то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно проверить по приближенному критерию:

, (5.1)

где

. (5.2)

 

Статистика t в выражении (5.1) подчиняется распределению Беренса-Фишера, пользование которым весьма затруднительно из-за отсутствия нужных таблиц и сложности процедуры пользования имеющимися. Приближенное выражение (5.2) позволяет пользоваться таблицами t-распре­деления.

 

Если обнаружена неравноточность измерений в сериях, но серии однородны по условию (5.1), при совместной их обработке неравноточность учитывается при расчете среднего арифметического введением весов , а вычисления выполняются по формулам:

 

(5.3)

 

где выборочные средние, общее среднее (среднее арифметическое объединенных серий), выборочные оценки дисперсии.

Из курса теории вероятностей известно, что случайная величина в виде суммы двух случайных нормальных величин имеет также нормальное распределение. Однако в данном случае нельзя говорить о сумме случайных величин. Мы имеем дело со смесью двух распределений, нормальных, но с разными параметрами. Закон распределения такой смеси идентифицировать нельзя – он зависит от объемов выборок и от параметров обоих распределений. Чтобы убедиться в этом, можно построить гистограмму для объединенного массива для заметно различающихся объемов выборок, дисперсий или математических ожиданий (последнее наиболее наглядно покажет правильность нашего утверждения).

По этой причине оценивание математического ожидания доверительным интервалом Стьюдента будет весьма приближенным. По этой же причине мы не рекомендуем вычислять оценку СКО для объединенного массива как не имеющую смысла при неизвестном законе распределения. Наконец, по этой же причине в метрологии при объединении неравноточных результатов обычно ограничиваются указанием значения . Можно воспользоваться интервалом Чебышева, хотя скорее всего он будет излишне широким.

Интервал Чебышева – интервал вероятности для случайной величины, распределенной по любому закону, но с конечными математическим ожиданием и дисперсией, имеет вид (в качестве случайной величины используем общее среднее):

Поскольку неизвестна, воспользуемся ее оценкой по последней формуле из (5.3). Задавшись вероятностью, например, 0.90, мы приближенно получим откуда приближенный доверительный интервал Чебышева примет вид:

(5.4)

при доверительной вероятности 0.90 (напомним, что для конкретного численного доверительного интервала следует говорить «при надежности 0.90»).

 

Ход работы

1. Получите n1_i~N(5;4) и n2_i~N(5;1), – две серии случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсиями равными 4 и 1 соответственно (для этого выполните шаги п.2, лабораторной работы № 1). Размерность серий может быть произвольной, необязательно одинаковой.

2. Выполните расчет двухвыборочного F-теста для дисперсий, используя одноименный инструмент надстройки Анализ данных (см. рис. 4.1 лаб. работы № 4).

Таблица результатов работы надстройки «Двухвыборочный F-тест для дисперсий» для данной работы представлена на рис. 5.1.

 

 

Рис. 5.1. Таблица результатов расчета F-теста

 

Обратите внимание, что в качестве Интервала переменной1 выбрана серия с большим значением оценки дисперсии, а в качестве Интервала переменной2 – с меньшей.

3. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий в сериях n1 и n2 по таблице значений параметров надстройки «Двухвыборочный F-тест для дисперсий» (рис. 5.1).

 

 

Основное описание работы F-теста приведено в лаб. работе № 4.

· По формулам, описанным в предыдущей лаб. работе, получены следующие двусторонние критические значения (см. рис. 5.1) =
= 0,407776923 и = 2,345153405. Таким образом, при двусторонней оценке получим критическую область как объединение двух интервалов .

· Однако и в случае двусторонних оценок значение критерия F принадлежит правому критическому интервалу, следовательно, гипотеза не принимается.

4. Сравните расчетное значение F с параметром F критическое одностороннее по формуле (4.3), если F ³ F_кр., гипотеза также не принимается.

· В случае, если в качестве Интервала переменной1 указана серия с меньшим значением оценки дисперсии, то тогда для расчетного значения F и F критического одностороннего необходимо найти их обратные значения, которые и необходимо сравнивать по формуле (4.3). Для вычисления F критического одностороннего также подходит формула = FРАСПОБР (0,05;G48;F48), где ячейки F48 и G48 содержат значения соответствующего числа степеней свободы выборок.

5. Выполните проверку однородности (гипотезу о равенстве математических ожиданий) серий измерений по таблице значений параметров надстройки «Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями» (рис. 5.2). Значения Среднего (ячейки F60 и G60), Дисперсии (ячейки F61 и G61) рассчитываются с помощью соответствующих функций, описанных в лаб. работе № 1.

 

 

Рис. 5.2. Таблица результатов расчета t-теста

 

· Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейке F64 по формуле (5.2). В синтаксисе Excel это выражение запишется так:

=((F61/F62+G61/G62)^2/((F61/F62)^2/(F62+1)+(G61/G62)^2/(G62+1))-2)

После этого полученное значение округляется в меньшую сторону функцией ОКРУГЛВНИЗ до целого, для чего вторым аргументом записывается нуль.

· Основной показатель данной надстройки t-статистика вычисляется согласно формуле (5.1). В синтаксисе Excel формула примет следующий вид:

= ABS (F60-G60)/ КОРЕНЬ (F61/F62+G61/G62)

Здесь значения функций, применяемых в формуле интуитивно понятны. В случае сомнений см. Справочную систему Excel.

· Модуль значения t критического двустороннего вычисляется в ячейке F69 по формуле = СТЬЮДРАСПОБР (0,05;F64). Сведения по функции СТЬЮДРАСПОБР можно найти в лаб. работе № 2.

· Для расчета значения одностороннего (ячейка F66) и двустороннего (ячейка F68) -значения t-теста можно использовать функцию ТТЕСТ, родственную режиму «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (рис. 5.2). Сведения по функции ТТЕСТ приведены в лаб. работе № 4.

Для случая различных дисперсий P(T<=t) одностороннее (ячейка F66 рис. 5.2) вычисляется по формуле

= СТЬЮДРАСП (F65;F64;1).

Сравните полученное значение с вычисленным по формуле

= ТТЕСТ (A43:A62;C43:C67;1;3),

для неокругленного числа степеней свободы.

Значение P(T<=t) двустороннего (ячейка F68 рис. 5.2) вычисляется по формуле

= СТЬЮДРАСП (F65;F64;2).

Сравните полученное значение с вычисленным по формуле

= ТТЕСТ (A43:A62;C43:C67;2;3),

для неокругленного числа степеней свободы.

· Сравните значение t-статистики с t критическим односторонним или двусторонним. Для принятия гипотезы значение t-статистики не должно попадать ни в один из критических интервалов . Так как условие (5.1) выполняется, а также значение t-статистики не попадает ни в один критический интервал, то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем.

 

6. Для объединения однородных неравноточных серий результатов измерений выполните расчет основных статистически параметров, используя формулы (5.3).

7. Постройте доверительный интервал для оценки математического ожидания объединенной выборки по формуле (5.4). Сравните со значениями, вычисленными в лабораторной работе № 1.

8. Постройте гистограмму частот с равным шагом, как описано в работе 2. Сравните свою гистограмму с гистограммами других студентов, сделайте вывод.

 

5. Контрольные вопросы

1. В каком случае нельзя объединять две выборки данных?

2. Почему закон распределения объединенного массива неравноточных выборок оказывается отличным от нормального?

3. Какой доверительный интервал для математического ожидания шире – Стьюдента или Чебышева и по какой причине?

4. Предположим, Вы по объединенному массиву проверили гипотезу о нормальности распределения и не отвергли ее. Каким доверительным интервалом для математического ожидания Вы воспользуетесь?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЭМПИРИЧЕСКОЙ
ЗАВИСИМОСТИ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
/метод наименьших квадратов/

Цель работы

Изучить основные особенности и методы построения линейного прибли­жения экспериментальных данных.

 

Задание

Методом наименьших квадратов построить линейную эмпирическую зависимость по опытным данным. Выполнить проверку адекватности математической модели опытным данным с помощью статистических критериев. Оценить погрешность эмпирической зависимости совместными доверительными F-интервалами.

 

 

Краткая теория

Метод наименьших квадратов

Одновременные измерения двух или более разнородных физических величин с целью нахождения зависимости между ними называются совместными измерениями [2]. Обычно выполняется измерений, при которых в заданных или точно измеренных значениях аргумента
определены значения функции . Задача состоит в том, чтобы по парам (, ) построить зависимость (эмпирическую), которая была бы несмещенной и эффективной оценкой истинной зависимости, общий вид которой считают известным. Например, известно, что истинная зависимость есть прямая линия, представленная в виде

. (6.1)

Параметры , неизвестны, их следует оценить по опытным данным. Будем считать ошибки измерений случайными с нулевым математическим ожиданием и дисперсией при любом