Напружений і деформований стан

 

Розглянемо навантажене тіло.

Поблизу точки А виділимо нескінченно малий паралелепіпед і розглянемо його окремо. До граней паралелепіпеда прикладені внутрішні сили, які замінюють дію відкинутої частини тіла. Повні напруження на гранях можна розкласти на три складові – проекції повних напружень на координатні вісі:

 

 

σ - нормальні напруження;

τ – дотичні напруження.

 

 

Отже, на гранях елементарного паралелепіпеда, виділеного в околі точки навантаженого тіла, діють дев’ять компонент напружень. Запишемо їх у вигляді квадратної матриці:

 

 

де в 1-му, 2-му та 3-му рядках наведено складові напружень відповідно на площадках, перпендикулярних до осей x, y, z. Цю сукупність напружень називають тензором напружень.

 

Коли відомий тензор напружень, тобто сукупність напружень на трьох взаємно перпендикулярних площадках, то можна визначити напруження на будь-яких площадках, проведених в околі точки.

 

 

Нормальні напруження вважаються додатними, якщо вони спричинюють розтягання, від’ємними – якщо стискання.

 

 

Нехай напрям зовнішньої нормалі ν до площадки збігається з додатним напрямом будь-якої координатної осі. Тоді додатне нормальне напруження на цій площадці (на рисунку це ) також збігається з додатним напрямом координатної осі. Дотичні напруження на такій площадці вважаються додатними, якщо вони напрямлені в бік відповідних додатних напрямків координатних осей. Якщо зовнішня нормаль до площадки збігається з від’ємним напрямом координатних осей, всі три складові напруження на площадці вважаються додатними, коли вони напрямлені в бік від’ємних напрямів відповідних координатних осей.

 

 

Запишемо рівняння рівноваги елемента щодо його обертання:

 

= 0; = 0; = 0.

 

Складемо рівняння моментів відносно осі z. Сили, які паралельні цій осі і перетинають її, в рівняння не увійдуть. Моменти сил на двох гранях, перпендикулярних до осі z, зрівноважуються, так само як і моменти сил на верхній та нижній гранях елемента. Отже, маємо:

 

 

Напружений стан, в якому одне головне напруження відмінно від нуля, а два інших дорівнюють нулю, називають одновісним або лінійним.

 

 

; ; (розтяг – стиск)

 

Якщо два головних напруження не є нульовими, а одне дорівнює нулю, то такий напружений стан називається плоским.

; ; (виникає при крученні та згині)

 

Якщо всі три напруження не дорівнюють нулю, то це об’ємний напружений стан.

 

 

; ;

 

 

Лінійний напружений стан

 

В поперечних перерізах стержня нормальні напруження:

 

На площадці, яка нахилена під кутом α, діють нормальні напруження та дотичні.

Площа поперечного перерізу стержня була , після повороту площа площадки:

 

Кут α – кут повороту вважаємо додатним, якщо він відраховується проти годинникової стрілки. На нахиленій площадці напруження паралельні осьовій силі N=P в перерізі

 

 

 

Проекціюючи на нормаль до площадки і на площину перерізу, дістанемо:

 

 

Максимальні дотичні напруження виникають при α=45º:

 

 

Правило знаків для дотичних напружень:

дотичне напруження на площадці вважають додатним, якщо воно намагається повернути частину елемента, яка розглядається, відносно будь-якої точки, взятої всередині її за годинниковою стрілкою.

 

ЛЕКЦІЯ №

Плоский напружений стан

Плоский напружений стан виникає у випадку, коли два головних напруження не дорівнюють нулю, а третє дорівнює нулю.

Нехай , ,

 

Проведемо перерізи І-І, ІІ-ІІ, ІІІ-ІІІ, ІV-IV

Виділимо площадку α – переріз І-І, та β – переріз ІІ-ІІ. Переріз І-І провели під кутом β нормаль .Площадки (α) і (β) перпендикулярні.

Напруження і на площадці α будуть визиватись як дією , так і дією . Тоді застосовуючи принцип суперпозиції, тобто розглядаючи цей плоский напружений стан як накладання двох ортогональних одновісних напружених станів, можемо записати:

=

Де і -напруження, що спричинені дією ; а і - напруження, що спричиняються дією .

З формул для лінійного напруженого стану:

;

Для визначення і враховуємо, що утворює з напруженням кут . Тоді

 

знак так як відрахунок ведеться за годинниковою стрілкою. Тоді

;

Використавши додавання остаточно знайдемо:

На площадці ІІ-ІІ проведем нормаль . Нормаль Утворює з напрямом кут .

Тоді:

З цих рівнянь маємо, що:

─ сума нормальних напружень по двох взаємно перпендикулярних площадках не залежить від кута нахилу цих площадок і дорівнює сумі головних напружень.

─ ця рівність виражає закон парності дотичних напружень.

Максимальне дотичне напруження: , .

 

В теорії плоско напруженого стану можна розмежувати дві основні задачі: пряма і зворотна.

 

Пряма задача. В точці відомі положення головних площадок, і відповідні до них головні напруження. Треба знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площадках, які нахилені під заданим кутом до головних;

Зворотна задача. В точці відомі нормалі й дотичні напруження, що діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що походять через дану точку. Треба знайти головні площадки та головні напруження.

Формули для обчислень:

 

Лекція №