Діаграма критичних напружень

З формули для критичних напружень (8) видно, що в залежності від гнучкості , критичне напруження може бути різним. Якщо гнучкість порівняно невелика, то може набувати значень, що перевищують границю пропорційності матеріалу стрижня . Оскільки формула Ейлера і формула для визначення одержані за допущення, що стрижень під час втраті стійкості деформується пружно і матеріал знаходиться в межах закону Гука (тобто ), то величина критичних напружень повинна бути обмежена

Звідки (9)

Тобто, нижня границя гнучкості стрижня, за якої можна застосовувати формулу Ейлера, становить . Так, для сталі Ст. 3 з пружними характеристиками дістаємо . Отже, для таких сталей формула Ейлера застосовна, якщо . Це – область стрижнів великої гнучкості. Область гнучкостей можна розділити на:

а) область малих гнучкостей (для сталі Ст. 3 ), за яких немає небезпеки втрати стійкості і стрижні слід перевіряти тільки на міцність. Якщо напруження , де - границя текучості матеріалу стрижня;

б) область середніх гнучкостей (для сталі Ст. 3 ). Визначення критичних напружень в цій області викликає певні труднощі, оскільки матеріал в цьому випадку перебуває в пружнопластичному стані (). У інженерних розрахунках для визначення цих напружень застосовують формулу Ясинського, що одержана за результатами обробки експериментальних даних:

(10)

де коефіцієнти , беруться з таблиць. Зокрема, для сталі Ст. 3 . Для дерева (сосна) .

Для кожного матеріалу за різних значеннях можна на основі наведених вище співвідношень побудувати графік залежності напруження від гнучкості . Цей графік називається діаграмою критичних напружень. Для сталі Ст. 3 ця діаграма показана на рис. 4.

Умова стійкості центрально стиснутого стрижня має вигляд

(11)

де - допустиме напруження стійкості. Це напруження виражають через основне допустиме напруження на стиск :

(12)

 

 

 

4. Проектний розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість

 

де - коефіцієнт поздовжнього згину (зменшення основного допустимого напруження стиску) (), що залежить від матеріалу та гнучкості стрижня. Значення цього коефіцієнта беруться з таблиці.

З урахуванням виразу (12) умова стійкості (11) набуває вигляду

(13)

Виходячи з умови стійкості, можна розв’язувати наступні типи задач:

а) перевіряти стійкість заданого стрижня, формула (13);

б) Визначати допустиму стискальну силу за формулою

; (14)

в) добирати необхідні розміри поперечних перерізів стиснутих стрижнів за формулою

. (15)

Під час розв’язуванні задач останнього типу використовують метод послідовних наближень, оскільки у формулі (15) є дві невідомі – шукана площа поперечного перерізу , та коефіцієнт . (Коефіцієнт знаходиться із таблиць в залежності від . Якщо розміри поперечного перерізу невідомі, то невідомі і радіуси інерції перерізу “ “, а отже відповідно і гнучкість та коефіцієнт ).

З питанням добору розмірів поперечного перерізу центрально стиснутого стрижня тісно пов’язане питання раціональної форми поперечних перерізів. Небезпека втрати стійкості стиснутого стрижня тим менша, чим менша його найбільша гнучкість , тобто чим більші, за фіксованого значення площі поперечного перерізу , головні радіуси інерції “ “ поперечного перерізу. Матеріал у таких перерізах повинен бути розміщений якомога далі від центра перерізу. Цим вимогам найкраще відповідають порожнисті всередині перерізи з можливо тонкою стінкою. При цьому також слід прагнути задовольнити умову рівностійкості (7).

Приклад 1. Підібрати за сортаментом прокатної сталі і раціонально розмістити поперечний переріз стояка завдовжки , який складається з двох нерівнобоких кутників і стискається осьовою силою (рис. 5, а). Матеріал, з якого виготовлені кутники – сталь з допустимим напруженням на стиск . Схема закріплення стояка показана на рис. 6, а. Розмір прийняти рівним товщині полички .

Встановлюємо коефіцієнти зведеної довжини для обох головних площин: при згині відносно осі (у площині ) ; при згині відносно осі (у площина ) .

Оскільки , переріз необхідно розмістити так, щоб (рис. 5, б). У цьому разі значення критичної сили буде найбільшим.

Гнучкості стрижня виражаємо через невідомі поки що головні радіуси інерції:

у площині (відносно осі )

;

у площині (відносно осі )

.

Потрібні розміри поперечного перерізу одного кутника підбираємо з умови стійкості (15) методом послідовних наближень.

I наближення: Прийнявши , маємо:

.

Рис. 6 Тут - кількість кутників.

З таблиці сортаменту (ГОСТ 8510 - 72) (дод. 1) добираємо кутник , для якого , , , , , .

Визначимо головні радіуси інерції перерізу стояка:

=5,13 см; ;

,

де а – відстань між осями і (рис. 6, б).

см, , .

Оскільки підбір перерізу будемо здійснювати за гнучкістю у площині , тобто .

З таблиці коефіцієнтів (табл. 1 дод. 2) для сталі Ст.3 маємо:

для , для .

Методом лінійної інтерполяції для знаходимо:

.

II наближення: візьмемо значення коефіцієнту як середнє арифметичне початкового і кінцевого значень першого наближення

.

Обчислюємо потрібну площу одного кутника

.

За таблицями сортаменту вибираємо кутник , для якого , , , .

Максимальна гнучкість стрижня

і , що є близьке до значення з точністю до двох знаків після коми. Різниця Обчислення припиняємо.

Розміри поперечного перерізу, прийняті в другому наближенні є близькі до оптимальних. Виконуємо перевірку за напруженнями:

.

.Допускається перевантаження 5%.

Перевіряємо стійкість стояка в площині , за .

Маємо: і .

Стійкість в площині також забезпечена.

Перевіряємо коефіцієнт запасу стійкості стояка з вибраними розмірами поперечного перерізу. Оскільки , то до стояка можна застосувати формулу Ейлера.

За формулою (8) знаходимо:

.

Критична сила

; .

Згідно з формулою (1) коефіцієнт запасу стійкості:

.

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. В. К. Качурина. – М.: Наука, 1970.

3. Ковтун В. В., Павлов В. С., Дорофеєв О. А. Опір матеріалів Розрахункові роботи. – Львів: Афіша, 2002.

4. Корнілов О. А. Опір матеріалів. – К.: ЛОГОС, 2000.

5. Сопротивление материалов / Под. ред. Н. А. Костенко. – М.: Высшая школа, 2000.

6. Писаренко Г. С., Квітка О. Л., Уманський Е. С. Опір матеріалів. – К.: Вища школа, 1993.

7. Посацький С. Л. Опір матеріалів. – Львів, 1973.

 

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

КУРСОВА РОБОТА