Зведення систем сил до найпростішого вигляду.

Інваріанти системи сил відносно центра зведення

При зведенні системи сил до певного центра знаходи-мо її головний вектор і головний момент (рис. 1.35, а).

а б

Рисунок 1.35

Нехай кут між ними дорівнює . Зв’яжемо з і просторову систему координат з початком у точці .

Розкладаємо головний момент на складові і . Перша спрямована вздовж лінії дії головного вектора , а друга – перпендикулярна до неї. Вектор є моментом певної пари сил, яка знаходиться у площині . Виберемо сили цієї пари рівними головному вектору ; силу прикладаємо в центрі , а силу в точці на відстані , яка є плечем пари:

. (1.46)

Таким чином, вихідна система сил еквівалентна головному вектору , парі сил і певній парі сил, момент якої дорівнює .

Далі зауважимо, що сили і , прикладені в точці , утворюють зрівноважену систему сил, і на підставі наслідку з означень 1…3 підрозд. 1.1.1 таку систему можна відкинути. Отже, залишилися сила , прикладена в точці , і пара сил з моментом . Оскільки момент пари сил є вільним вектором, то його можна перенести в точку .

У результаті первісна система сил звелася до головного вектора , який прикладений у точці , і пари сил, яка лежить у площині , тобто в площині, перпендикулярній до лінії дії . Момент пари дорівнює (рис. 1.35, б).

Цю сукупність сили і пари сил, яка лежить у площині, перпендикулярній до лінії дії сили, називають силовим гвинтом, або динамою. Пряму, яка проходить через точку і паралельна лінії дії вектора , називають центральною гвинтовою віссю.

Таким чином, доведено теорему:

довільна система сил може бути зведена до силового гвинта.

Розглянемо випадки так званого виродження силового гвинта.

1. Якщо , то , тобто , і система сил зводиться до однієї сили , прикладеної в точці . Згідно з означенням 5 в підрозд. 1.1.1 ця сила – рівнодійна системи сил. В аналітичній формі умова перпендикулярності і , тобто рівність нулеві їх скалярного добутку, має вигляд:

. (1.47)

Таким чином, при і і умова (1.47)

є умовою зведення системи сил до рівнодійної, яку прикладено у точці .

Знайдемо момент рівнодійної відносно центра :

. (1.48)

За означенням

. (1.49)

Таким чином, на підставі (1.48) і (1.49)

. (1.50)

Рівність (1.50) є узагальненням теореми Варіньйона для просторової системи сил:

якщо система сил еквівалентна рівнодійній, то момент рівнодійної відносно центра дорівнює векторній сумі моментів складових сил відносно того самого центра .

Зрозуміло, що при і система сил також зводиться до рівнодійної.

2. Якщо ; , то система сил зводиться до пари сил.

3. Якщо і – система зрівноважується.

Нарешті, з’ясуємо, чи впливає на елементи і силового гвинта зміна центра зведення.

Припустимо, що спочатку і прикладені в точці .

Змінимо центр зведення і перенесемо і в іншу точку (рис. 1.36). Момент пари, як вільний вектор, можна перенести в точку без змін. При перенесенні в точку вектора треба прикласти пару сил, момент якої перпендикулярний до , тобто він не викликає ніяких змін в .

Таким чином, при зміні центра зведення елементи і силового гвинта не змінюються. Тому їх називають інваріантами системи сил відносно центра зведення.

Рисунок 1.36

 

Центр паралельних сил і центр ваги

У підрозділі 1.2.3 введено поняття центра паралельних сил .

Виведемо формулу, за якою можна знайти радіус-вектор цієї точки.

Нехай для довільної системи паралельних сил (рис. 1.37) виконується умова

,

яка свідчить, що система сил зводиться до рівнодійної , на лінії дії якої знаходиться точка – центр паралельних сил. Проводимо – радіус-вектор точки , – радіус-вектор точки прикладання сили , а також – радіус-вектор точки відносно точки . Знайдемо головний момент системи сил відносно точки . На підставі теореми Варіньйона (1.50)

. (1.51)

 

Рисунок 1.37

Але ця сума дорівнює нулеві, оскільки точка лежить на лінії дії рівнодійної . Враховуючи, що , , з (1.51) маємо

. (1.52)

Розглянемо орт – одиничний вектор напряму системи паралельних сил. Кожну силу подамо у вигляді

(1.53)

і підставимо (1.53) в (1.52):

.

Дістанемо

. (1.54)

Необхідна і достатня умова рівності нулеві векторного добутку (1.54) при будь-якому напрямі вектора (положення точки зберігається при повороті всіх сил разом на однаковий довільний кут) полягає у рівності нулеві виразу у круглих дужках (1.54):

.

Звідси

. (1.55)

Координати центра паралельних сил у прямокутній системі декартових координат з початком у точці :

; ; . (1.56)

Далі розглянемо систему матеріальних точок, відстань між якими значно менша, ніж радіус земної кулі. При цьому сили ваги цих точок можна вважати паралельними силами.