Механіка – це природнича наука, яка вивчає найпростіші рухи матерії – механічні.

Механіка – це природнича наука, яка вивчає найпростіші рухи матерії – механічні.

Найпростіші форми рухів – це прості переходи фізичних тіл з одного положення у просторі і часі в інше, тому механіка є однією з природничих наук.

Вивчаючи найзагальніші властивості рухів, механіка не враховує більшість конкретних властивостей фізичних тіл. Вона спирається лише на первісні властивості речовин; такі, як її протяжність і властивість частинок тяжіти одна до одної, тобто мати певну вагу. Зрозуміло, що в механіці користуються низкою спрощених (абстрактних) уявлень. В її основу покладено такі поняття, як матеріальна точка, система матеріальних точок та абсолютно тверде тіло.

Поняття про матеріальну точку є однією з граничних абстракцій, яка виникла внаслідок спостережень за рухами тіл скінченних розмірів.

Матеріальною точкою називають тіло, розмірами якого можна знехтувати при розв’язанні певних задач механіки.

Системою матеріальних точок називають сукупність матеріальних точок, рухи й положення яких взаємопов’язані. Незмінною системою матеріальних точок називають систему, точки якої не змінюють взаємного положення протягом часу.

Якщо точки суцільно заповнюють частину простору, який займає незмінна матеріальна система, то останню називають абсолютно твердим тілом.

Основна властивість абсолютно твердого тіла полягає у незмінності відстані між будь-якими двома точками під час руху.

Поняття про абсолютно тверде тіло є граничною абстракцією.

Таким чином,

Теоретичною механікою називають ту частину загальної механіки, яка вивчає рух матеріальних точок, систем матеріальних точок та абсолютно твердих тіл.

Розглядаючи граничні абстракції, теоретична механіка вивчає найзагальніші закони механіки, які справедливі для всієї механіки.

Теоретична механіка побудована за планом точних наук: в її основі лежить система означень та аксіом, на які, в свою чергу, спираються доведення теорем.

РОЗДІЛ 1

ГЕОМЕТРИЧНА СТАТИКА

Основні поняття та закони

Рух матеріальної точки. Перший закон Ньютона.

Основні властивості механічних сил

Основні поняття класичної механіки вперше були сформульовані І. Ньютоном, який розглядав рух вільної матеріальної точки, тобто такої, на рух якої заздалегідь не накладені будь-які обмеження, які не залежать від подальшого закону руху.

Перший закон І. Ньютона (закон інерції) стверджує, що ізольована матеріальна точка зберігає стан рівномірного і прямолінійного руху або перебуває у стані спокою відносно системи координат, яка рухається поступально, рівномірно і прямолінійно.

Вважається, що ця система координат рухається відносно нерухомої системи координат. Наявність абсолютно нерухомої системи координат є однією з основ, на якій ґрунтується класична механіка.

Якщо рух точки відрізняється від рівномірного і прямолінійного, то це означає, що на точку діють будь-які зовнішні фактори.

Причину, внаслідок якої матеріальна точка змінює свій рух, називають механічною силою.

Переважна більшість рухів точок на Землі відрізняється від рівномірного й прямолінійного. Тому поняття ізольованої матеріальної точки є граничною абстракцією. Точки матеріальної системи завжди перебувають під взаємним впливом. Якщо будь-який рух переноситься з одного тіла на інше, то він активний і його можна розглядати як причину руху.

Отже, механічна сила є рух, який у механічній формі передається від одного тіла до іншого при їхній взаємодії.

Кожна сила має величину, напрям у просторі і точку прикладання.

Поняття механічної сили стійко прижилося в процесі еволюції науки, оскільки механічну силу можна кількісно виміряти й записати як функцію часу, координат точок простору та їхніх похідних за часом, тобто знайти її аналітичне визначення.

Сили зображають напрямленими відрізками прямих. Пряму, вздовж якої відкладають відрізок, що зображає силу, називають лінією дії сили.

Сформулюємо основні означення та аксіоми щодо механічних сил.

Означення 1. Зрівноваженою системою сил, або системою, еквівалентною нулеві, називають таку, під дією якої точка рухається рівномірно і прямолінійно або перебуває у стані спокою.

Означення 2. Матеріальна точка знаходиться у стані статичної рівноваги, якщо вона перебуває під дією зрівноваженої системи сил.

Означення 3. Матеріальна система знаходиться у стані статичної рівноваги, якщо кожна її точка перебуває у стані рівноваги.

Відповідно до цих означень зауважимо, що рух матеріальної системи не зміниться, якщо до її точок прикладати або від неї віднімати зрівноважену систему сил.

Означення 4. Дві системи сил називають статично еквівалентними, якщо кожна з них окремо зрівноважує одну й ту саму третю систему сил.

Означення 5. Рівнодійною системи сил називають силу, еквівалентну системі сил. Силу, що зрівноважує систему сил, називають зрівноважуючою.

І. Ньютон у додаткових зауваженнях до основних законів механіки аксіоматично сформулював правило паралелограма сил, яке дістало назву аксіоми про паралелограм сил.

Означення статики

Поставимо за мету встановити властивості систем сил, прикладених до абсолютно твердих тіл. Такі властивості вивчає окремий розділ механіки, який дістав назву статики. Зауважимо, що ми не розглядаємо властивостей рухів, які спричиняються цими силами.

Статика вивчає перетворення системи сил, прикладених до твердих тіл. Внаслідок цього перетворення вихідна система сил замінюється іншою, статично еквівалентною першій.

Статика вивчає також умови рівноваги тіл, які перебувають під дією певної системи сил. Отже, статика вивчає умови рівноваги систем сил як окремий випадок перетворення цих систем.

 

Механічні в’язі та їхні реакції

 

Розглянемо систему матеріальних точок. Якщо їхні рухи заздалегідь нічим не обмежені, то систему називають вільною. Якщо існують заздалегідь означені геометричні або кінематичні обмеження рухів точок системи, то її називають невільною. Наприклад, кожний механізм, рух точок якого геометрично обмежений, є невільною системою.

В’язь – гладенька поверхня

Поверхню називають гладенькою, якщо відсутнє тертя. Така в’язь перешкоджає точці А об’єкта переміщатися по нормалі вглиб поверхні в’язі. Тому реакція в’язі буде спрямована по цій нормалі в бік тіла.

Гостре вістря або ребро

У тому випадку, коли об’єкт спирається на гостре вістря або ребро двогранного кута, реакція в’язі буде спрямована по нормалі до поверхні об’єкта в бік тіла.

 

 

 

 

 

Для розглянутих випадків можна сформулювати загальне правило:

В’язь – шорстка поверхня

Напрям реакції наперед невідомий, тому її розкладають на дві складові: нормальну реакцію опори і дотичну – силу тертя .

 

 

В’язь – стержень

 

Вважають, що стержень тонкий невагомий із точковими шарнірами на кінцях. Такий стержень перешкоджає переміщенню точки В об’єкта у напрямі прямої, що проходить через точкові шарніри А і В. Значить і реакція (зусилля) стержня прикладена в точці В і спрямована вздовж прямої АВ до точки А або від неї.

 

 

На відміну від нитки, яка повинна бути завжди натягнута, стержень може бути як розтягнутим, так і стиснутим. Це означає, що заздалегідь можна вказати лише лінію дії реакції стержня (АВ); дійсний напрям реакції визначається з умови рівноваги об’єкта. Зазвичай, задають напрям реакції стержня – від об’єкта до другого точкового шарніра, вважаючи, що стержень розтягнутий. Якщо в результаті розв’язання з урахуванням умов рівноваги об’єкта величина реакції стержня вийде від’ємною, то це означає, що зусилля стержня спрямоване в протилежну сторону, а сам стержень стиснутий.

Якщо стержень має вагу, то характер обмежень, що він накладає на рух точки В об’єкта, буде складнішим. Такий стержень варто розглядати як самостійний об’єкт, для якого точкові шарніри є в’язями.

 

Будь-які за конструкцією тверді невагомі в’язі з двома зовнішніми точковими шарнірами на кінцях можна розглядати як стержні, напрям реакцій яких проходить через точкові шарніри А і В. Тому і реакція стержня прикладена в точці В і спрямована вздовж прямої АВ до точки А або від неї.

 

 

 

Сферичний шарнір

Підп’ятник

Рисунок 1.3

Проведемо переріз через шарнір і розглядатимемо, наприклад, тіло АС як в’язь відносно тіла . Застосовуючи аксіому про звільнення від в’язей, прикладемо в точці ре-акцію відкинутого тіла . Вона буде зовнішньою силою відносно тіла (рис. 1.3, б).

 

1.1.6. Теорема про рівновагу трьох непаралельних сил,
прикладених до твердого тіла

Теорема. Якщо тверде тіло перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, дві з яких лежать в одній площині, то лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці, а трикутник цих сил замкнений.

t Нехай тіло (рис. 1.4) перебуває під дією трьох непара-
лельних сил , , , причому сили і лежать у площині рисунка, а лінії їхньої дії перетинаються в точці . Перенесемо ці сили в точку і знайдемо їх рівнодійну . Тверде тіло тепер перебуває в рівновазі під дією двох сил і . На підставі аксіоми про абсолютно тверде тіло робимо висновок, що лінія дії сили проходить через точку , і , тобто трикутник сил замкнений u.

Рисунок 1.4

Застосування цієї теореми покажемо на прикладі.

Приклад 1.1. Визначити реакції опор невагомого стержня , який перебуває в рівновазі під дією активної сили (рис. 1.5, а).

Розв’язання. Розглянемо стержень AD, який перебуває в рівновазі під дією сили . Звільнивши його від в’язей – ідеального стержня і нерухомої опори , прикладемо реакції в’язей (рис. 1.5, б). і відповідно.

Реакція ідеального стержня проходить вздовж нього, а лінія дії реакції нерухомого шарніра на підставі теореми про “три сили” проходить через точку перетину ліній дії сил і . Отже, коли знайдено лінію дії невідомої реакції в’язі можна побудувати трикутник сил , і у певному масштабі сил (рис. 1.5, в). Якщо величина сили задана у вигляді числа, то, оскільки трикутник ( проведено паралельно лінії дії (рис. 1.5, б)) подібний до силового трикутника, бо сторони трикутників паралельні, можемо написати таку пропорцію:

.

а
б	в

Рисунок 1.5

Знайшовши довжини сторін трикутника , визначаємо величини сил

; .

Тертя ковзання (тертя першого роду) виникає, коли відносна швидкість точок тіл, що перебувають у контакті, не дорівнює нулеві. Тертя кочення (тертя другого роду) виникає при коченні без ковзання. У цьому разі відносна швидкість точок контакту дорівнює нулеві. Розрізняють ще тертя вертіння (тертя третього роду).

Розглянемо лише тертя першого роду, основні властивості якого відкрив відомий фізик Кулон.

Якщо одне тіло не рухається по поверхні іншого, то виникає сила тертя спокою, яка має неозначений напрям і величину. Але оскільки сила тертя – гальмуюча сила, то домовились вважати, що сила тертя спокою напрямлена протилежно напряму того руху, який почне здійснюватись, коли тіло вийде зі стану спокою під дією активних сил.

При взаємному русі тіл виникає сила тертя руху. Вона майже не залежить від величини відносної швидкості між тілами.

Рисунок 1.6

Нормальна складова спричиняє стиск між тілом і поверхнею і викликає нормальну реакцію поверхні. Позначимо її через . Дотична складова може викликати рух тіла у напрямі дотичної в тому разі, коли вона буде більшою за граничну силу тертя спокою.

Якщо позначити через кут між силою і нормаллю до поверхні, то модулі

.

Згідно (1.2), якщо

, (1.4)

то тіло перебуває в стані рівноваги. Вираз (1.4) може набути вигляду

. (1.5)

Якщо позначити через гострий кут між реакцією площини і нормаллю до її поверхні у стані граничної рівноваги, то на підставі (1.1)

. (1.6)

Кут називають кутом тертя.

Обертаючи навколо нормалі, дістанемо поверхню конуса, який називають конусом тертя.

Якщо лінія дії сили знаходиться всередині конуса тертя, то тіло перебуває в стані рівноваги, оскільки виконується нерівність (1.5):

; .

Тіло рухається якщо .

Зауважимо, що ці висновки не залежать від величини сили .

Розглянемо рівновагу важкої матеріальної точки на похилій шорсткій площині (рис. 1.7), яка утворює кут з горизонтом. Нехай вага точки дорівнює . Точка перебуває також під дією сили – нормальної складової реакції поверхні і сили тертя .

Точка знаходиться у стані граничної рівноваги, якщо

.

Звідси

або

. (1.7)

Граничне значення кута називають кутом природного укосу. Він дорівнює кутові тертя.

Доцільно розглянути ще один випадок урахування сили тертя в деяких механізмах. Уявімо собі, що треба підняти певний тягар за допомогою мотузка, який перекинуто через нерухомо закріплений блок (рис. 1.8).

В стані рівноваги при відсутності тертя натяг мотузка дорівнював би силі ваги тягаря. Але сила тертя збільшує натяг. Знайти цю силу можна за допомогою формули Ейлера

, (1.8)

де – кут обхвату блока мотузком ( подано в радіанах).

Рисунок 1.7

Рисунок 1.8

 

 

1.2. Основні властивості систем сил,
прикладених до абсолютно твердого тіла

Рисунок 1.12

Оскільки вектори і паралельні (колінеарні), то їх векторний добуток дорівнює нуль-вектору (нулю):

*. (1.9)

Якщо в (1.9) підставити значення вектора , що очевидно з рис. 1.12, то маємо рівність

,

звідки

. (1.10)

Це свідчить про те, що векторний добуток не залежить від положення точки на лінії дії сили .

На підставі цього твердження вважаємо вираз однією з аналітичних ознак ковзного вектора сили, прикладеної до твердого тіла.

Цей вираз, який позначається , називають моментом сили відносно центра . Отже,

. (1.11)

Вважаємо вектор прикладеним у точці . Цей вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектор сили і точка , тобто скалярний добуток векторів і дорівнює нулеві:

. (1.12)

Введемо особливе позначення вектора сили, прикладеного до твердого тіла. Цей вектор аналітично визначається трьома компонентами (проекціями) сили і трьома проекціями вектора на осі координат:

. (1.13)

Серед указаних шести компонент вектора тільки п’ять незалежні відповідно до (1.12).

Модуль вектора , як модуль векторного добутку (1.11),

.

Тут і надалі позначатимемо модулі векторів так, як і вектори, але без стрілок над літерами.

Величину – найкоротшу відстань від точки до лінії дії сили називають плечем сили відносно точки О. Отже,

, (1.14)

тобто модуль моменту дорівнює добутку сили на плече.

У правій системі координат вектор напрямлений у бік спостерігача, який бачить, що сила намага-ється повернути тіло навколо точки проти руху годинникової стрілки. При цьому величину моменту вважаємо додатною.

Момент від’ємний, якщо сила намагається повернути тіло навколо точки у напрямі руху годинникової стрілки

Проекції вектора на координатні осі

;

; (1.15)

,

де – проекції радіуса-вектора (початок координат вибрано у точці ); – проекції вектора сили на координатні осі.

У лівих частинах і перших доданках правих частин виразів (1.15) індекси виконують циклічну перестановку

Зосередимо увагу на одному з виразів (1.15), наприклад, на проекції на вісь :

. (1.16)

До його правої частини не входить координата точки А прикладання сил (рис. 1.13), і тому цей вираз залежить не від положення точки , а тільки від взаємного розташування сили і в цілому осі у просторі. Про інші вирази (1.15) можна сказати те саме.

Тому проекції , , називають моментами сили відносно осей координат відповідно , , .

 

Рисунок 1.13

Розглянемо проекцію сили на площину і вважатимемо її вектором. Знайдемо моменти відносно осей координат за формулами (1.15)

, , . (1.17)

Порівнюючи (1.16) і (1.17), доходимо висновку, що моменти цих двох сил відносно осі однакові.

На підставі цього формулюємо робоче правило обчислення моменту сили відносно осі:

Рисунок 1.14

. (1.20)

Умова рівноваги (1.20) є як необхідною, так і достатньою, бо з неї випливає рівність нулеві обох компонент ковзного вектора (1.13).

Умову (1.20) називають ще механічною, або фізичною, умовою рівноваги збіжної системи сил.

Очевидно, що багатокутник сил за (1.20) замкнений. У цьому полягає геометрична (графічна) умова рівноваги.

На підставі (1.18) проекції рівнодійної сили на осі прямокутної декартової системи координат дорівнюють алгебраїчним сумам проекцій складових сил на осі координат

; ; . (1.21)

Отже, згідно з механічною умовою рівноваги (1.20) на підставі (1.21) дістаємо аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил:

; ; . (1.22)

Рисунок 1.15

Початок системи координат виберемо в точці О, додатні напрями осей позначено на рис. 1.15.

3. Складаємо рівняння рівноваги:

На підставі першого рівняння робимо висновок, що , з другого рівняння знаходимо :

.

Від’ємний знак свідчить, що цей стержень стиснутий, оскільки спочатку припускали, що він розтягнутий. Нарешті, з третього рівняння знайдемо

Додатний знак цих реакцій вказує, що стержні АВ і АС розтягнуті.

 

1.2.3. Аналітичне визначення ковзного вектора
рівнодійної системи двох паралельних сил.
Центр паралельних сил

Розглянемо дві паралельні сили і , різні за модулем і протилежні за напрямом (рис. 1.19).

Покажемо, що така система сил зводиться до рівнодійної.

З’єднаємо точки і прикладання сил і і додамо до них зрівноважену систему сил і , лінії дії яких збігаються з відрізком , а модулі довільні. Згідно з означеннями 1-3 § 1.1.1 рух тіла при цьому не зміниться.

Первісна система сил і зведена до двох сил і , які вже не є паралельними. Їхні лінії дії перетинаються у певній точці .

 

Рисунок 1.19

Таким чином, система паралельних сил і зведена до збіжної системи, яка має рівнодійну, що аналітично визначається ковзним вектором

. (1.23)

Згідно з означенням (§ 1.1.1) запишемо вираз моменту рівнодійної

. (1.24)

Оскільки радіус-вектор дорівнює сумі двох векторів:

, (1.25)

то вираз (1.24) набуває вигляду

.(1.26)

Отже,

. (1.27)

Цей результат справджується також для сил, які мають однакові напрями.

Для системи паралельних сил і знайдемо їх рівнодійну і відшукаємо точку перетину її лінії дії з продовженням відрізка (рис. 1.20).

Рисунок 1.20

Точку називають центром паралельних сил і .

Можна легко переконатися, що точка не змінить свого положення, якщо обидві сили і повернути разом на однаковий кут, не змінюючи при цьому положення точок їх прикладання і . Легко також зрозуміти, що поняття центра паралельних сил можна поширити на три, чотири і більше паралельних сил.

Отже,

Рисунок 1.21

Кожна сила з відповідною , яка прикладена в центрі , утворюють пару сил з моментом , яку називають приєднаною парою. Крім того, є ще система сил , ,... , прикладена в точці . Геометричну суму цих сил називають головним вектором системи сил:

. (1.34)

Векторну суму моментів приєднаних пар сил називають головним моментом відносно центра зведення О:

. (1.35)

У системі декартових прямокутних координат з початком у центрі зведення головний вектор і головний момент мають такі проекції:

; ; . (1.36)

;

; (1.37)

,

де – проекції сили ; – координати точки прикладання сили .

Знаючи компоненти і , завжди можна знайти модулі та напрямні косинуси відповідно векторів і . Наприклад, модуль головного вектора дорівнює:

,

а його напрямні косинуси відповідно рівні:

; ; .

 

Приклади

Приклад 1.3. На балку діють сили Н, Н і пара сил з моментом Н×м (рис. 1.22). Нехтуючи вагою балки і тертям, знайти реакції опор.

Розв’язання.

1. Як згадувалося раніше, спочатку треба виділити тіло, рівновагу якого розглядаємо. Таким тілом є балка .

2. Аналізуємо сили. На балку діють сили і і пара сил з моментом На підставі аксіоми про звільнення від в’язей, відкинемо всі в’язі – нерухому і рухому опори – і їхню дію позначаємо відповідними реакціями: реакція рухомого шарніра В напрямлена перпендикулярно до похилої площини, тому що тертя відсутнє; реакція нерухомого шарніра невідома як за модулем, так і за напрямом, тому подамо її у вигляді двох невідомих проекцій, кожна з яких напрямлена у додатний бік відповідної осі координат з початком у точці (рис. 1.22, б), тобто .

 

а

б

Рисунок 1.22

 

На балку діє довільна система сил, розміщена на площині , до складу якої входять три невідомі сили (скалярні величини): . Для такої системи можна скласти три рівняння рівноваги. Отже, задача статично визначена.

3. Складемо рівняння рівноваги у вигляді (1.41):

У третьому рівнянні центр моментів взято у точці . Моменти сил і відносно точки дорівнюють нулеві, і рівняння рівноваги містить тільки одне невідоме .

4. Розв’язуючи систему рівнянь рівноваги, дістанемо