Сила тертя спокою завжди більша за силу тертя руху.

Основний кількісний закон тертя ковзання полягає в тому, що гранична величина сили статичного тертя пропорційна силі нормального стиску між поверхнями тіл:

, (1.1)

де – гранична величина сили тертя спокою; – сила нормального стиску поверхонь тіл; – коефіцієнт пропорційності, який називають коефіцієнтом статичного тертя ковзання.

Сила тертя спокою задовольняє нерівність

, (1.2)

де знак рівності відповідає станові граничної рівноваги між силою тертя й активними силами.

Сила тертя руху

, , (1.3)

де – коефіцієнт тертя руху.

Сила тертя руху напрямлена у бік, протилежний відносній швидкості.

Коефіцієнт тертя знаходять експериментально.

Кут тертя, конус тертя, кут природного укосу.

Нехай певне тіло А лежить у горизонтальній площині (рис. 1.6), на тіло діє сила . Розкладемо її на нормальну і дотичну складові до поверхні.

Рисунок 1.6

Нормальна складова спричиняє стиск між тілом і поверхнею і викликає нормальну реакцію поверхні. Позначимо її через . Дотична складова може викликати рух тіла у напрямі дотичної в тому разі, коли вона буде більшою за граничну силу тертя спокою.

Якщо позначити через кут між силою і нормаллю до поверхні, то модулі

.

Згідно (1.2), якщо

, (1.4)

то тіло перебуває в стані рівноваги. Вираз (1.4) може набути вигляду

. (1.5)

Якщо позначити через гострий кут між реакцією площини і нормаллю до її поверхні у стані граничної рівноваги, то на підставі (1.1)

. (1.6)

Кут називають кутом тертя.

Обертаючи навколо нормалі, дістанемо поверхню конуса, який називають конусом тертя.

Якщо лінія дії сили знаходиться всередині конуса тертя, то тіло перебуває в стані рівноваги, оскільки виконується нерівність (1.5):

; .

Тіло рухається якщо .

Зауважимо, що ці висновки не залежать від величини сили .

Розглянемо рівновагу важкої матеріальної точки на похилій шорсткій площині (рис. 1.7), яка утворює кут з горизонтом. Нехай вага точки дорівнює . Точка перебуває також під дією сили – нормальної складової реакції поверхні і сили тертя .

Точка знаходиться у стані граничної рівноваги, якщо

.

Звідси

або

. (1.7)

Граничне значення кута називають кутом природного укосу. Він дорівнює кутові тертя.

Доцільно розглянути ще один випадок урахування сили тертя в деяких механізмах. Уявімо собі, що треба підняти певний тягар за допомогою мотузка, який перекинуто через нерухомо закріплений блок (рис. 1.8).

В стані рівноваги при відсутності тертя натяг мотузка дорівнював би силі ваги тягаря. Але сила тертя збільшує натяг. Знайти цю силу можна за допомогою формули Ейлера

, (1.8)

де – кут обхвату блока мотузком ( подано в радіанах).

Рисунок 1.7

Рисунок 1.8

 

 

1.2. Основні властивості систем сил,
прикладених до абсолютно твердого тіла

Аналітичне визначення ковзного вектора.

Момент сили відносно точки і осі

Розглянемо ковзний вектор сили , прикладений до абсолютно твердого тіла (рис. 1.12) у довільній точці . Проведемо з певного центра радіус-вектор точки А. Візьмемо на лінії дії сили іншу довільну точку В і проведемо її радіус-вектор з того самого центра .

Рисунок 1.12

Оскільки вектори і паралельні (колінеарні), то їх векторний добуток дорівнює нуль-вектору (нулю):

*. (1.9)

Якщо в (1.9) підставити значення вектора , що очевидно з рис. 1.12, то маємо рівність

,

звідки

. (1.10)

Це свідчить про те, що векторний добуток не залежить від положення точки на лінії дії сили .

На підставі цього твердження вважаємо вираз однією з аналітичних ознак ковзного вектора сили, прикладеної до твердого тіла.

Цей вираз, який позначається , називають моментом сили відносно центра . Отже,

. (1.11)

Вважаємо вектор прикладеним у точці . Цей вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектор сили і точка , тобто скалярний добуток векторів і дорівнює нулеві:

. (1.12)

Введемо особливе позначення вектора сили, прикладеного до твердого тіла. Цей вектор аналітично визначається трьома компонентами (проекціями) сили і трьома проекціями вектора на осі координат:

. (1.13)

Серед указаних шести компонент вектора тільки п’ять незалежні відповідно до (1.12).

Модуль вектора , як модуль векторного добутку (1.11),

.

Тут і надалі позначатимемо модулі векторів так, як і вектори, але без стрілок над літерами.

Величину – найкоротшу відстань від точки до лінії дії сили називають плечем сили відносно точки О. Отже,

, (1.14)

тобто модуль моменту дорівнює добутку сили на плече.

У правій системі координат вектор напрямлений у бік спостерігача, який бачить, що сила намага-ється повернути тіло навколо точки проти руху годинникової стрілки. При цьому величину моменту вважаємо додатною.

Момент від’ємний, якщо сила намагається повернути тіло навколо точки у напрямі руху годинникової стрілки

Проекції вектора на координатні осі

;

; (1.15)

,

де – проекції радіуса-вектора (початок координат вибрано у точці ); – проекції вектора сили на координатні осі.

У лівих частинах і перших доданках правих частин виразів (1.15) індекси виконують циклічну перестановку

Зосередимо увагу на одному з виразів (1.15), наприклад, на проекції на вісь :

. (1.16)

До його правої частини не входить координата точки А прикладання сил (рис. 1.13), і тому цей вираз залежить не від положення точки , а тільки від взаємного розташування сили і в цілому осі у просторі. Про інші вирази (1.15) можна сказати те саме.

Тому проекції , , називають моментами сили відносно осей координат відповідно , , .

 

Рисунок 1.13

Розглянемо проекцію сили на площину і вважатимемо її вектором. Знайдемо моменти відносно осей координат за формулами (1.15)

, , . (1.17)

Порівнюючи (1.16) і (1.17), доходимо висновку, що моменти цих двох сил відносно осі однакові.

На підставі цього формулюємо робоче правило обчислення моменту сили відносно осі: