Щоб обчислити момент сили відносно осі, треба спроектувати силу на площину, яка перпендикулярна до осі, і, розглядаючи проекцію як вектор, знайти її момент відносно точки перетину осі та площини.

Момент сили відносно осі додатний, якщо, спостерігаючи з додатного напряму осі, бачимо, що сила намагається повернути тіло навколо осі проти руху годинникової стрілки. Якщо напрям обертання тіла збігається з напрямом руху годинникової стрілки, то момент сили від’ємний.

Перпендикуляр , проведений з точки до лінії дії сиди , називатимемо плечем сили відносно осі .

З формулювання робочого правила випливає, що момент сили відносно осі дорівнює нулеві, якщо сила і вісь лежать в одній площині.

 

Система збіжних сил. Умови рівноваги

Систему сил називають збіжною, якщо лінії дії сил перетинаються в одній точці (рис. 1.14).

Згідно з аксіомою про паралелограм сил рівнодійна цієї системи сил дорівнює геометричній сумі складових сил

. (1.18)

Щоб дати аналітичне визначення ковзного вектора рівнодійної, треба знайти її момент відносно довільної точки :

. (1.19)

Згідно з (1.19)

Момент рівнодійної відносно довільного центра дорівнює геометричній (векторній) сумі моментів складових сил відносно того самого центра.

Наведене твердження є змістом теореми Варіньйона щодо збіжної системи сил.

Умовою рівноваги збіжної системи сил є рівність нулеві їх рівнодійної:

Рисунок 1.14

. (1.20)

Умова рівноваги (1.20) є як необхідною, так і достатньою, бо з неї випливає рівність нулеві обох компонент ковзного вектора (1.13).

Умову (1.20) називають ще механічною, або фізичною, умовою рівноваги збіжної системи сил.

Очевидно, що багатокутник сил за (1.20) замкнений. У цьому полягає геометрична (графічна) умова рівноваги.

На підставі (1.18) проекції рівнодійної сили на осі прямокутної декартової системи координат дорівнюють алгебраїчним сумам проекцій складових сил на осі координат

; ; . (1.21)

Отже, згідно з механічною умовою рівноваги (1.20) на підставі (1.21) дістаємо аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил:

; ; . (1.22)

Рівності (1.22) називають аналітичними рівняннями рівноваги.

У разі потреби з них можна знайти не більш як три алгебраїчних невідомих.

Якщо кількість невідомих перевищує кількість рівнянь рівноваги, задачу називають статично невизначеною.

Розглянемо приклад застосування рівнянь рівноваги, на якому проілюструємо методику розв’язування задач статики.

Приклад 1.2. Три невагомих стержні , і закріплені шарнірно в точці і за допомогою шарнірів , , прикріплені до горизонтальної підставки (рис. 1.15). Площини трикутників і вертикальні і взаємно перпен-дикулярні. На вузол паралельно діє сила кН. Знайти зусилля в стержнях, якщо ; .

Розв’язання. 1. Виділимо тіло або точку, умови рівноваги якої дадуть можливість розв’язати задачу. Це – точка , до якої збігаються всі стержні, зусилля в яких треба визначити. Отже, розглянемо рівновагу вузла , користуючись аксіомою про звільнення від в’язей.

2. Аналізуємо сили, які прикладені до вузла А. На вузол А діє активна сила , а також три реакції стержнів, які діють вздовж них, оскільки стержні ідеальні. Припустимо, що всі стержні розтягнуті, тому на рис. 1.15 їхні реакції напрямлені від вузла А. В задачі три невідомі , для відшукання яких можна скласти три рівняння рівноваги. Таким чином, задача статично визначена.

Рисунок 1.15

Початок системи координат виберемо в точці О, додатні напрями осей позначено на рис. 1.15.

3. Складаємо рівняння рівноваги:

На підставі першого рівняння робимо висновок, що , з другого рівняння знаходимо :

.

Від’ємний знак свідчить, що цей стержень стиснутий, оскільки спочатку припускали, що він розтягнутий. Нарешті, з третього рівняння знайдемо

Додатний знак цих реакцій вказує, що стержні АВ і АС розтягнуті.

 

1.2.3. Аналітичне визначення ковзного вектора
рівнодійної системи двох паралельних сил.
Центр паралельних сил

Розглянемо дві паралельні сили і , різні за модулем і протилежні за напрямом (рис. 1.19).

Покажемо, що така система сил зводиться до рівнодійної.

З’єднаємо точки і прикладання сил і і додамо до них зрівноважену систему сил і , лінії дії яких збігаються з відрізком , а модулі довільні. Згідно з означеннями 1-3 § 1.1.1 рух тіла при цьому не зміниться.

Первісна система сил і зведена до двох сил і , які вже не є паралельними. Їхні лінії дії перетинаються у певній точці .

 

Рисунок 1.19

Таким чином, система паралельних сил і зведена до збіжної системи, яка має рівнодійну, що аналітично визначається ковзним вектором

. (1.23)

Згідно з означенням (§ 1.1.1) запишемо вираз моменту рівнодійної

. (1.24)

Оскільки радіус-вектор дорівнює сумі двох векторів:

, (1.25)

то вираз (1.24) набуває вигляду

.(1.26)

Отже,

. (1.27)

Цей результат справджується також для сил, які мають однакові напрями.

Для системи паралельних сил і знайдемо їх рівнодійну і відшукаємо точку перетину її лінії дії з продовженням відрізка (рис. 1.20).

Рисунок 1.20

Точку називають центром паралельних сил і .

Можна легко переконатися, що точка не змінить свого положення, якщо обидві сили і повернути разом на однаковий кут, не змінюючи при цьому положення точок їх прикладання і . Легко також зрозуміти, що поняття центра паралельних сил можна поширити на три, чотири і більше паралельних сил.

Отже,