Тема: Статистическое изучение вариации

 

Вариацией признака называется его изменение (колеблемость) при переходе от одной единицы наблюдения к другой.

Для измерения вариации применяются абсолютные и относительные показатели. К числу важнейших абсолютных показателей относят:

- размах вариации:

R=Xmax-Xmin

- среднее линейное отклонение

или ;

- дисперсию

или ;

- среднее квадратическое отклонение

или ;

Относительные показатели вариации представлены следующими коэффициентами:

- коэффициент осцилляции

;

- относительное линейное отклонение

;

- коэффициент вариации

.

В том случае, когда совокупность характеризуется качественным признаком, в частности альтернативным, оценка вариации производится с помощью дисперсии, определяемой по формуле

,

где p – доля единиц, обладающих интересующим исследователя признаком;

g – доля единиц, не обладающих данным признаком.

При изучении взаимосвязей социально-экономических явлений исчисляют следующие виды дисперсии:

- внутригрупповую (частную), которую исчисляют по каждой группе

и по совокупности в целом как среднюю из внутригрупповых

где A_i – число единиц наблюдения в группе.

- межгрупповую, которая характеризует колеблемость частных средних вокруг общей средней:

- общую, которая характеризует вариацию признака по изучаемой совокупности:

 

Последняя формула в статистике получила название правило сложения дисперсии.

В статистических исследованиях широкое распространение получили показатели взаимосвязей явлений, основанные на использовании дисперсии. Например, коэффициент детерминации

,

характеризующий долю вариации признака-результата под воздействием признака-фактора, положенного в основу группировки, или эмпирическое корреляционное отношение

 

,

характеризующее тесноту этой связи.

 

Контрольные вопросы:

1. Понятие вариации.

2. Необходимость статистического изучения вариации.

3. Абсолютные характеристики измерения вариации, порядок их расчета и сфера их применения.

3.1 Размах вариации.

3.2 Среднее линейное отклонение.

3.3 Дисперсия.

3.4 Среднее квадратическое отклонение.

4. Относительные показатели вариации, методы их исчисления и сфера применения.

4.1 Коэффициент осцилляции.

4.2 Коэффициент среднего линейного отклонения.

4.3 Коэффициент вариации.

5. Основные математические свойства дисперсии.

6. Дисперсия альтернативного признака.

7. Виды дисперсии: общая, внутригрупповая, межгрупповая.

8. Правило сложения дисперсий и его значение в изучении связей социально-экономических явлений.

9. Использование дисперсий при определении коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

 

 

Задание №1

Определить степень колеблемости показателя прибыли, исчислив все показатели вариации.

Таблица 22 – Исходные данные

Прибыль предприятия, млн.р	Количество предприятий
Всего

 

Задание №2

Определить степень колеблемости выработки в бригаде, рассчитав дисперсию с использованием и без использования ее свойств.

Таблица 23 – Исходные данные

Выработка одного рабочего, шт	Количество рабочих
Всего

 

Задание №3

Определите среднюю выработку 1 рабочего и дисперсию (с использованием и без использования свойств).

Таблица 24 – Исходные данные

Выработка, ед.	Количество рабочих, чел.

Задание №4

Определить среднюю прибыль по группе предприятий и дисперсию (с использованием и без использования свойств).

Таблица 25 – Исходные данные

Прибыль, млн. руб.	Количество предприятий
До 400
400-800
800-1200
1200 и более

 

Задание №5

По приведенной информации определить среднюю прибыль предприятия и показатели ее вариации.

Таблица 26 – Исходные данные

Прибыль, млн. руб.	Количество предприятий
До 500
500-1500
1500-2500
2500 и более

 

Тема: Выборочное наблюдение

Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц совокупности, а результаты распространяются на всю совокупность. Для того, чтобы выборка полно и правильно представляла генеральную совокупность, необходимо объективно произвести отбор данных. Виды, способы и методы отбора единиц для формирования выборочной совокупности представлены на схеме (рисунок 6).

В случае, когда совокупность характеризуется количественным признаком, основной характеристикой выборочного наблюдения будет средний размер признака: - по генеральной совокупности; - по выборке.

Для характеристики альтернативного (качественного) признака исчисляют относительную величину – долю: p – по генеральной совокупности, w – по выборке. Конечная цель выборочного наблюдения – распространение полученных по выборке данных на генеральную совокупность. Это происходит с помощью предельных ошибок ∆ _x и ∆ _w:

,

_.

 

Выборочное наблюдение

Виды

Способы

Методы

 

Рисунок 6 - Виды, способы и методы отбора единиц в выборочную совокупность

 

Формулы определения предельных ошибок зависят от способа отбора единиц в выборку.

Таблица 27 - Предельная ошибка выборки для различных способов отбора

 

Метод отбора	Вид отбора
Повторный	Бесповторный
Для средней	Для доли	Для средней	Для доли
Случайный и механический	t	t	t	t
Типический	t	t	t	t
Серийный	t	t	t	t

Условные обозначения, принятые в формулах:

t - коэффициент доверия;

σ² - дисперсия признака в выборочной совокупности;

- межсерийная дисперсия;

r - число отобранных серий;

R - число серий в генеральной совокупности;

n - число отобранных единиц;

N - число единиц в генеральной совокупности.

Репрезентативность выборочных характеристик в значительной мере зависит от численности выборки. Математическая статистика разработала следующие формулы для определения необходимой численности выборки.

 

Таблица 28 - Необходимый объем выборки для различных способов формирования выборочной совокупности

Метод отбора	Вид отбора
Повторный	Бесповторный
Для средней	Для доли	Для средней	Для доли
Случайный и механический	n=	n=	n=	n=
Типический	n=	n=	n=	n=
Серийный	r=	r=	r=	r=

Контрольные вопросы:

1.Понятие выборочного наблюдения.

2.Условия применения выборочного наблюдения.

3.Обобщающие характеристики генеральной и выборочной.

4.Виды отбора единиц в выборочную совокупность.

5.Способы отбора единиц в выборочную совокупность

6.Методы отбора единиц в выборочную совокупность.

7.Характеристика случайного отбора.

8. Характеристика механического отбора.

9. Характеристика типического отбора.

10.Характеристика серийного отбора.

11.Ошибки выборочного наблюдения.

12.Определение ошибок при случайном и механическом отборе.

13.Определение ошибок при типическом отборе.

14.Определение ошибок при серийном отборе.

15.Определение численности случайной и механической выборки.

16.Определение численности типической выборки.

17.Определение численности серийной выборки.

18.Понятие малой выборки, сфера ее применения.

 

Задание 1

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 1240 изделий. Средний вес изделия по результатам исследования составил 3,5 кг. Значение дисперсии составило 81. Необходимо:

1) с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности;

2) как изменятся пределы, в которых находится средняя по генеральной совокупности, если вероятность будет равна 0,997?

 

Задание 2

В цеху работает 2450 ткачей. Для определения среднего объема производства ткани в час была организована 4%-ная случайная бесповторная выборка ткачей. По ее результатам было получено следующее распределение ткачей по объему производства ткани в час:

 

Таблица 29 – Результаты исследования среднего выпуска продукции

Объем производства ткани, м.пог	2-6	6-10	10-14	14-18	18-22	22-26
Число ткачей

 

С вероятностью 0,95 найдите пределы, в которых будет находиться средний объем производства ткани в генеральной совокупности.

 

Задание 3

С целью определения среднего удоя молока в хозяйстве с численностью доярок 146 человек в августе 2007 года была произведена 30%-ная механическая выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 3% исследованных фактические надои превышали 25 литров в день. С вероятностью 0,997 установите пределы, в которых находится генеральная доля доярок с удоем молока более 25 литров в день.

Каковы будут результаты, если точность расчетов установить равной 0,683?

 

Задание 4

В партии товара, состоящей из 150 ящиков, проводилось выборочное обследование качества (доли бракованных изделий) на основе отбора серий (ящиков). Выборочные средние по ящикам составили соответственно 3%, 1,05%, 2,01%, 4,0%, 0,6%, 1,9%. С вероятностью 0,683 найдите пределы доли бракованного товара во всей партии.

Задание 5

В 100 туристических агентствах города предполагается провести исследование среднего количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка не превышала 4 путевок, если по данным предварительных расчетов среднеквадратическое отклонение составляет 24?

 

Задание 6

Для определения доли студентов дневной формы обучения со средним баллом более 9 предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности студентов различных курсов с механическим отбором внутри групп. Общее число студентов университета составляет 4390 человек, в. том числе:

- студентов 1 курса – 1264 человека;

- студентов 2 курса - 912 человек;

- студентов 3 курса – 840 человек;

- студентов 4 курса – 688 человек;

- студентов 5 курса – 686.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 2500. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 3%.