Законы Кирхгофа и потенциальная диаграмма.

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Целью работы является экспериментальная проверка за­конов Кирхгофа, баланса мощностей, а также исследование распределения электрических потенциалов вдоль контура электрической цепи.

Основные теоретические положения

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в любом узле электрической цепи, рав­на нулю,

По второму закону Кирхгофа в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряже­ний равна алгебраической сумме э. д. с.

Второй закон Кирхгофа наглядно иллюстрируется потен­циальной диаграммой — графиком распределения потенциа­лов вдоль замкнутого контура электрической цепи. При по­строении потенциальной диаграммы по оси абсцисс отклады­ваются последовательно одно за другим по направлению обхода контура сопротивления участков контура, а по оси ор­динат — потенциалы промежуточных точек этого контура, со­ответствующие зажимам сопротивлений. Нанесенные таким образом точки соединяют прямыми линиями. Полученный график изменения потенциала и называется потенциальной диаграммой.

Внутреннее сопротивление источника энергии определяет­ся по формуле,

R₀=E-U/I.

 

где Е — э. д. с. источника, равная напряжению на зажимах источника в режиме холостого хода;

U — напряжение на зажимах источника при работе на внешнюю цепь с током I.

По условию баланса мощностей в электрической цепи ал­гебраическая сумма мощностей источников энергии равна арифметической сумме мощностей потребителей энергии

 

Исследуемая электрическая цепь

Работа выполняется на универсальном стенде постоянного тока. Принципиальная схема исследуемой электрической це­пи показана на рис. 2.1. Измерения напряжений и потенциа­лов точек выполняются одним вольтметром, поочередно под­ключаемым к исследуемым участкам цепи. Измерение токов производится амперметрами, которые - остаются включенными в цепь в течение всего исследования.

A

A

A

R

R

R

R

R

R

R

E

а

б

в

г

д

E

E

R

Источник ЭДС

Источник ЭДС

А

R

e

Рис. 2.1

 

Подготовка к работе

1. Составить систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.1.

2. Для внешнего контура этой же схемы построить каче­ственно потенциальную диаграмму, приняв по заданию пре­подавателя потенциал одной точки равным нулю.

Порядок выполнения работы

1. По схеме рис. 2.2 измерить э. д. с. источников напряже­ния. Результаты занести в табл. 2.1.

Измерения э. д. с. проводятся вольтметром. При этом предполагается, что внутрен­нее сопротивление вольтметра бесконечно ве­лико и этим обеспечивается режим холостого хода источника напряжения.

V

E

рис. 2.2

 

2. Собрать электрическую цепь по рис. 2.1.

Установить величины сопротивлений цепи таким образом, что­бы во всех ветвях цепи получить токи, достаточные для изме­рений. Измерить токи и напряжения на всех участках цепи. Ре­зультаты измерений занести в табл. 2.1.

Таблица 2.1

E1

E2

E3

I1

I2

I3

I4

Uаб

Uбв

Uвг

Uгд

Uдо

Uоа

Uво

Uое

Uев

В

А

В

 

3. Принять потенциал одной точки цепи равным нулю, т. е. считать условно заземленной одну точку исследуемой цепи (по указанию преподавателя). Измерить потенциалы осталь­ных точек цепи. Результаты измерений занести в табл. 2.2.

4. Повторить измерения при условном заземлении (по указанию преподавателя) другой точки электрической цепи. Результаты измерений занести в табл. 2.2.

 

Таблица 2.2

Точка Нулевого потенциала	Потенциалы, В
φа	φб	φв	φг	φд	φо

 

Примечание. Измерения потенциалов производить вольтметром. При этом отрицательный зажим вольтметра подключается к точке с нуле­вым потенциалом, а положительный — поочередно прикладывается к ос­тальным точкам цепи. Если в ходе измерений стрелка вольтметра откло­няется влево, то необходимо поменять местами зажимы вольтметра, а его показание записать с отрицательным знаком. При измерении потенциала очередной точки необходимо вернуться к исходной полярности вольтмет­ра и т. д.

Обработка полученных результатов, содержание отчета

1. На основании опытных данных (см. табл. 2.1) опреде­лить внутренние сопротивления источников энергии и сопро­тивления всех участников цепи. Результаты занести в табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

Сопротивления, Ом
R01	R02	R03	R1	R2	R3	R4	R5	R6

 

2. По данным табл. 2.2. и 2.3 построить потенциальную ди­аграмму при условном заземлении одной точки исследуемой электрической цепи (см. первый опыт; табл. 2.2.). Проанали­зировать влияние «заземления» другой точки цепи на вид по­тенциальной диаграммы.

3. По данным табл. 2.1 выполнить проверку:

а) первого закона Кирхгофа;

б) второго закона Кирхгофа для замкнутых контуров ис­следуемой цепи.

4. По данным табл. 2.1 и 2.3 выполнить проверку баланса

мощностей для исследуемой цепи. Результаты занести в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Мощности источников, Вт

Мощности потребителей, Вт

PE1

PE2

PE3

SPист

P01

P02

P03

P1

P2

P3

P4

P5

P6

SPпотр

 

5. Проанализировать результаты опытов, расчетов и гра­фических построений и сопоставить их с теоретическими по­ложениями.

6. Оформить отчет и сделать краткие выводы по работе.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атабеков Г. И. ТОЭ, ч. I, M., 1978, с. 45-49.

2. Зевеке Г. В. и др. Основы теории цепей. М., 1975, с. 20-21, 23-32

3. Бессонов Л. А. ТОЭ. М., 1978, с. 10—14.

Работа № 3

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Целью работы является экспериментальная проверка метода узловых потенциалов, метода контурных токов, принципа и метода наложения и принципа взаимности, расчет на основании экспериментальных данных входных и взаимных проводимостей и передаточных коэффициентов по напряжению ветвей электрической цепи, экспериментальная проверка линейных соотношений в линейной электрической цепи.

Основные теоретические положения

Метод узловых потенциалов

 

Этот метод является одним из основных методов расчета электрических цепей.

Метод можно разбить на 2 этапа.

На первом этапе потенциал одного из узлов электрической цепи (для определенности – узла с наибольшим порядковым номером ) принимают равным нулю, а для нахождения потенциалов остальных узлов записывают и решают стандартную систему уравнений следующего вида:

 

 

где коэффициенты и , называемые собственными взаимными узловыми проводимостями, соответственно равны: первая – сумме проводимостей всех ветвей электрической цепи, сходящихся в узле, а вторая – взятой со знаком минус сумме проводимостей всех ветвей, напрямую соединяющих и узлы, а так называемые расчетные узловые токи равны алгебраической сумме токов короткого замыкания всех ветвей, сходящихся в узле.

На втором этапе по найденным из решения системы потенциалам узлов

с учетом по закону Ома (в том числе для ветвей, содержащих источники ЭДС) рассчитывают токи в ветвях цепи.

Для цепи с тремя узлами стандартная система уравнений метода узловых потенциалов состоит из двух уравнений, каждое из которых содержит по два слагаемых.

 

 

Метод контурных токов

 

В методе контурных токов вначале вычисляют некоторые расчетные, так называемые «контурные» токи , после чего путем алгебраического суммирования соответствующих контурных токов рассчитывают реальные токи в ветвях электрической цепи.

Порядок стандартной системы уравнений, решаемой в этом методе, равен количеству независимых контуров схемы, не содержащих источников тока.

Контура называют независимыми, если при их выборе выполняются следующие правила: в схеме не остается ни одной ветви, не вошедшей хотя бы в один контур, каждый последующий контур отличается от всех предыдущих хотя бы одной новой ветвью.

Для независимых контуров стандартная система уравнений метода контурных токов имеет вид:

 

где – полное (или собственное) сопротивление контура, равное сумме сопротивлений всех ветвей, образующих этот контур, сопротивление смежной ветви (смежных ветвей) между и контурами (смежными называются ветви, вошедшие в состав обоих рассматриваемых контуров), равное алгебраической сумме сопротивлений этих ветвей (сумма берется положительной, если контурные токи и в смежных ветвях совпадают по направлению, или отрицательной, если нет), а полная (контурная) ЭДС контура, равная алгебраической сумме ЭДС всех источников электроэнергии, входящих в образующие контур ветви.

Для схемы с тремя независимыми контурами стандартная система уравнений метода контурных токов содержит три уравнения, в каждом из которых по три слагаемых.

 

Принцип наложения и метод наложения

 

Принцип наложения для линейных электрических цепей заключается в следующем.

Ток (напряжение ) на любом участке цепи, в которой одновременно действуют несколько независимых источников электроэнергии, равен алгебраической сумме частичных токов (напряжений ), вызываемых на этом участке каждым из источников в отдельности ( - порядковый номер источника, - их количество):

При расчете (определении) токов (и/или напряжений) методом наложения, основанном на сформулированном выше принципе, поступают следующим образом: поочередно находят частичные токи (частичные напряжения ), вызываемые на соответствующих участках цепи каждым из источников в отдельности, после чего, суммируя частичные токи (частичные напряжения) алгебраически, находят действительные токи (напряжения ).

Определение частичных токов (напряжений) в общем случае ведется с использованием частичных схем, в каждой из которых на своем месте оставляется только один, , источник электроэнергии, а все остальные источники исходной схемы заменяются их внутренними сопротивлениями.

При представлении реальных источников электроэнергии схемами замещения, содержащими идеализированные источники электроэнергии - источники ЭДС или источники тока - следует помнить, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико, поэтому при замене идеализированных источников ЭДС и тока их внутренними сопротивлениями вместо первых в схему следует включать перемычки (обладающие нулевыми сопротивлениями), а вторые заменять разрывами.

 

Входные и взаимные проводимости ветвей

 

Взаимная проводимость между двумя любыми и ветвями линейной электрической цепи по определению равна:

,

где частичный ток в ветви, вызываемый в ней действием только ЭДС источника, входящего в состав ветви (иными словами, при определении проводимости источник в ветви, обладающий ЭДС должен быть единственным в цепи).

По аналогии входная проводимость любой ветви линейной электрической цепи равна:

,

где частичный ток в ветви, вызываемый действием только ЭДС источника, входящего в эту же, ветвь (при условии, что других источников энергии в цепи нет).

Входные и взаимные проводимости ветвей электрической цепи могут быть определены экспериментально или найдены расчетным путем.

Во втором случае удобно применять метод контурных токов. При этом токи в ветвях, входные и взаимные проводимости которых рассчитываются, следует направить по ЭДС ветвей (если такие ЭДС присутствуют в схеме), выбирая независимые контура, каждую из таких ветвей включить только в один контур (первую – в первый, вторую – во второй, третью – в третий и т.д.), приравняв токи в ветвях к соответствующим контурным токам.

Тогда для проводимостей будет верно:

где - главный определитель стандартной системы уравнений метода контурных токов, а – соответствующие алгебраические дополнения.

Рассчитанные по последней формуле взаимные проводимости могут получиться либо положительными, либо отрицательными. Отрицательный знак означает, что ЭДС направленная по контурному току в ветви, вызывает ток в ветви, направленный против выбранного направления контурного тока по ветви.

Проводимости определяются структурой цепи и сопротивлениями ветвей и не зависят от параметров и мест включения источников электроэнергии, так как от этого не зависят определитель и алгебраические дополнения

 

Передаточные коэффициенты ветвей по напряжению

 

Передаточный коэффициент по напряжению между и ветвями

,

где номер ветви, в которую включен единственный для схемы источник электроэнергии с ЭДС , номер ветви, на зажимах которой замеряется напряжение , вызванное действием этого источника.

 

Передаточные коэффициенты по току

 

Аналогично определяются передаточные коэффициенты по току между и ветвями:

,

где частичный ток в ветви, вызываемый в ней действием только источника тока , введенного в состав ветви (при определении источник также должен оказаться единственным источником электроэнергии в цепи).

Коэффициенты данного вида в работе не исследуются.

 

Принцип взаимности

 

В любой линейной электрической цепи ток в ветви, вызванный действием единственной для схемы ЭДС входящей в состав ветви, будет равен току в ветви, вызванному такой же по величине и единственной для схемы ЭДС , включенной в ветвь.

Поэтому для взаимных проводимостей ветвей верно:

.

 

Линейные соотношения в электрических цепях

 

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения двух любых ветвей) связаны между собой линейной зависимостью вида:

где роль выполняет ток или напряжение одной ветви, роль - ток или напряжение другой ветви.

Коэффициенты и могут быть найдены как расчетным, так и опытным путем.

При их опытном определении достаточно знать значения двух входящих в уравнение величин (токов, напряжений) при двух различных режимах работы системы и, подставив каждую пару значений в уравнение , решить полученную систему из двух уравнений относительно двух неизвестных .

В данной работе предлагается проверить выполнение линейных соотношений при изменении ЭДС одного из источников электроэнергии.

 

Исследуемая электрическая цепь

 

Принципиальная схема исследуемой электрической цепи приведена на рис.3.1.

Используемые в работе источники электроэнергии с ЭДС и обладают ничтожно малыми внутренними сопротивлениями (в виду их малости эти сопротивления вообще не показаны на схеме). Это позволяет с достаточной степенью точности заменить реальные источники энергии идеализированными источниками ЭДС с нулевыми внутренними сопротивлениями.

Включение источников в цепь производится переключателями

В варианте схемы, изображенном на рис.3.1, вместо источников ЭДС в схему введены перемычки, имитирующие нулевые сопротивления этих источников.

E

A

A

R

R

R

R

R

I

I

К

E

V1

I

К

E

К

V0

A

 

 

 

 

Рис. 3.1.

 

Подготовка к работе

1. Начертить частичные схемы, используемые для определения частичных токов (частичных напряжений) на участках исследуемой электрической цепи.

Привести формулы для расчета токов в ветвях схемы рис.3.1 по известным частичным токам.

2. Записать выражение для определения тока вызываемого одновременным действием источников ЭДС , использовав понятие входных и взаимных проводимостей.

3. Записать для схемы рис.3.1 (с подключенными источниками ЭДС )стандартную систему уравнений метода узловых потенциалов, приняв . Привести формулы для расчета параметров этих уравнений, формулы для расчета токов в ветвях по известным потенциалам узлов .

4. Определить количество независимых контуров в схеме рис.3.1.

Выбрать эти контура так, чтобы первая, вторая и третья ветви схемы вошли каждая только в один контур (первая – в первый, вторая – во второй и третья – в третий). Присвоить контурным токам направления, совпадающие с направлениями действия ЭДС в соответствующих ветвях. Записать для цепи стандартную систему уравнений метода контурных токов. Привести формулы для расчета параметров всех уравнений системы, формулы для расчета токов в ветвях по известным контурным токам.

 

Порядок выполнения работы

1. Не собирая схемы рис.1, поочередно подключить вольтметр к зажимам первого и второго источников электроэнергии и измерить ЭДС и этих источников; убедиться, что значения ЭДС с достаточной степенью точности соответствуют указанным на стенде величинам. (ЭДС источника электроэнергии равна напряжению на зажимах этого источника в режиме холостого хода). После этого подключить вольтметр к зажимам третьего (регулируемого) источника электроэнергии и выставить значение его ЭДС , заданное преподавателем Результаты измерений занести в табл. 3.1 (опыт 1).

 

 

Таблица 3.1

Из опыта 1	Из опыта 2	По расчету
E1	E2	E3	I1	I2	I3	φ1(V0)	φ2(V1)	φ3	U13= =φ3- φ1	U23= =φ2- φ3	U12= =φ1- φ2
В		В	В

 

Собрать электрическую цепь по схеме рис.3.1, используя резисторы, сопротивления которых соответствуют заданным преподавателем величинам. Определяя полярность включения измерительных приборов, считать, что положительные направления токов в ветвях, содержащих источники электроэнергии, совпадают с направлением действия ЭДС, а вольтметрами измеряются потенциалы первого и второго узлов схемы относительно третьего узла, потенциал которого условно принят нулевым.

После проверки правильности сборки цепи преподавателем подать на стенд электропитание, переключателями ввести в первую, вторую и третью ветви схемы источники ЭДС .

Измерить токи и потенциалы при одновременном действии всех трех источников. Результаты измерений занести в табл. 3.1 (опыт 2).

2. Переключателями поочередно получить из схемы рис.3.1 три частичных схемы, в каждой из которых оставлено только по одному источнику. В каждой из этих схем измерить токи в первой, второй и третьей ветвях и потенциалы первого и второго узлов (относительно третьего узла, потенциал которого считается нулевым). Результаты измерений занести в табл.3.2.

Таблица 3.2.

Работа источников энергии	E1	E2	E3	Частичные
Из опыта	По расчету
токи	потенциалы	напряжения
В	А	В	В
В цепи только Е1	E1
В цепи только Е2		E2
В цепи только Е3			E3
Алгебраическая сумма частичных токов, потенциалов и напряжений

 

 

3. В цепи, собранной по схеме рис. 3.1, при трех включенных источниках энергии несколько (6-8) раз изменить величину ЭДС (во всем возможном диапазоне ее изменения – от нулевого значения до наибольшего), каждый раз измеряя токи , и потенциалы , ; результаты занести в табл. 3.3.

 

Таблица 3.3

Значения токов, потенциалов и напряжений при изменении ЭДС
Из опыта	По расчету
						U13= =φ3- φ1	U23= =φ2- φ3	U12= =φ1- φ2
А	В	В

4. Показать полученные экспериментальные данные преподавателю и, после получения его разрешения на разборку цепи, отключить питание и разобрать ее.

 

Обработка полученных результатов, содержание отчета

1. По измеренным во втором опыте потенциалам узлов рассчитать напряжения на зажимах первой, второй и третьей ветвей схемы ( соответственно).

Результаты занести в табл.3.1.

2. Рассчитать и занести в табл.3.2 частичные напряжения и вызываемые в первой, второй и третьей ветвях схемы каждым из источников энергии в отдельности.

Посчитать и занести в эту же таблицу алгебраические суммы частичных токов , , , частичных потенциалов и частичных напряжений , , .

Сравнить результаты с данными табл.3.1.

Убедиться в справедливости принципа наложения.

3. Используя данные табл.3.2, сравнить величины частичных токов и , вызываемых в первой и второй ветвях действием примерно равных по величине источников ЭДС , включенных соответственно во вторую и первую ветви цепи.

Сделать вывод о выполнении (невыполнении) принципа взаимности.

4. На основании данных табл.3.2 рассчитать входные и взаимные проводимости ветвей. Результаты занести в первую свободную строку табл.3.4.1.

 

Таблица 3.4.1.

См

 

Сравнить значения .

Объяснить причину замеченной закономерности.

Примечание по п.4.

Преподаватель может предложить студентам рассчитать входные и взаимные проводимости ветвей с использованием главного определителя и алгебраических дополнений стандартной системы уравнений метода контурных токов. В этом случае расчеты удобнее провести после выполнения п.8 данного раздела. Для записи полученных результатов предназначена вторая свободная строка табл.3.4.1.

5. Используя данные табл.3.2, определить передаточные коэффициенты по напряжению между первой, второй и третьей ветвями исследуемой электрической цепи. В качестве напряжений на зажимах первой, второй и третьей ветвей следует взять напряжения и из табл.3.2. Результаты отразить в табл.3.4.2.

 

Таблица 3.4.2.