Теплові властивості напівпровідників

До теплових властивостей напів­провідників відносяться теплопровід­ність і теплоємність. Теплопро­відність — це властивість твер­дих тіл переносити тепло від більш нагрітих частин тіла до менш нагрі­тих, внаслідок чого відбувається ви­рівнювання температури. Теплопро­відність характеризується коефіцієн­том, що чисельно дорівнює кількості теплової енергії, яка проходить за одиницю часу через переріз зразка одиничної площі при одиничному градієнті температур 1 К/м.

Пояснення теплопровідності лише перенесенням теплової енергії від більш нагрітої частини до менш нагрітої буде неповним. Такий опис ек­вівалентний поясненню взаємодії між Землею і яблуком. Як Ісааку Нью­тону було замало констатувати, що яблука падають, і визначити швид­кість їх падіння, так і замало по­яснювати теплопровідність лише вирівнюванням температур. Мабуть, існує щось істотніше, хоч і невидиме, що бере участь у перенесенні теплоти від нагрітішої частини до менш нагрітої. Що ж це за невидимки?

Розглянемо перенесення теплової енергії в твердих тілах.

Почнемо з діелектриків. У діелек­триків немає вільних носіїв заряду, тому перенесення теплоти може здій­снюватися лише фононами. Це єдині частинки, які реагують на зміну тем­ператури. Така теплопровідність на­зивається фононною чи ґратковою. Якщо діелектрик підігрівається не­рівномірно, то рух фононів не буде рівноважним. Зіткнення між фоно­нами впорядковуватимуть їхній рух, створюючи умови для переходу до рівноважного стану. За швидкістю процесу відновлення рівноважного стану фононів визначають теплопро­відність. Кількісну оцінку теплопро­відності дає коефіцієнт теплопро­відності k_T, який для діелектриків записують у такому вигляді:

де c_v - питома теплоємність при сталому об’ємі, υ_ф - швидкість фононів, λ_ф - довжина вільного пробігу фонона.

Довжина вільного про­бігу — це середня відстань, яку проходить фонон між зіткненнями.

Процес теплоперенесення, зумов­лений тепловими коливаннями ґра­ток, можна уявити як рух і розсіян­ня фононів. На швидкість руху і довжину вільного пробігу фононів іс­тотно впливають домішки, дефекти граток і температура. Все, що при­зводить до зменшення швидкості і довжини вільного пробігу, є при­чиною зменшення теплопровідності.

Цікавою є залежність коефіцієнта теплопровідності від температури. В ділянці низьких температур ґрат­кова чи фононна теплопровідність зростає із підвищенням температури за рахунок збільшення швидкості фононів. У ділянці високих темпера­тур спостерігається зменшення те­плопровідності внаслідок збільшення кількості фононів, що призводить до частого фонон-фононного зіткнення й, отже, зменшення довжини віль­ного пробігу.

Тепер розглянемо теплопровідність металів. Метали в кристалічних ґратках, крім фононів, мають дуже багато електронів. Це означає, що у перенесенні теплоти, крім фононів, братимуть участь електрони, і кое­фіцієнт теплопровідності для металів дорівнюватиме:

де с_е — питома теплоємність елек­тронного газу, υ_е — швидкість елек­тронів, λ_е — довжина вільного про­бігу електронів. Із цієї формули можна зрозуміти, що теплопровід­ність металів значно більша за тепло­провідність діелектриків. За рахунок великої концентрації електронів елек­тронна складова теплопровідності пе­реважатиме над фононною.

Для напівпровідників коефіцієнт теплопровідності буде меншим від металів, через меншу кількість елек­тронів, але більшим, ніж у діелек­триків.

Розглянемо детальніше механізм перенесення теплової енергії елек­тронами. Внаслідок нагрівання мета­лу чи напівпровідника відбувається перерозподіл електронів відповідно до енергій. Наслідком неоднорідності такого розподілу є перенесення кіне­тичної енергії, що спричинює пере­несення теплоти.

Отже, можна сказати, що частинками-невидимками, які беруть участь у перенесенні теплоти у твер­дих тілах, є фонони й електрони.

Зміст самостійної роботи:

Концентрація носіїв в n-германію в температурному діапазоні від +30 до 120º С стала, а рухливість електронів вимірюється за законом . Обчисліть, у скільки разів зміниться питома електропровідність германію в цьому діапазоні температур.

Закон Пті-Дюлонга

При температурі Дебая збуджується вже весь спектр нормальних коливань решітки, тому другий механізм зростання енергії з підвищенням температури викидається повністю; працює лише перший механізм, викликаючи зростання енергії, пропорційне Т, і незалежність від Ттеплоємності тіла Сv(закон Дюлонга і Пті).

Розглянемо окремо область високих і низьких температур.

Область низьких температур (T<<θ). Для таких температур верхня межа інтегрування можна замінити нескінченністю.

Враховуючи, що

 

одержимо:

(6. 1)

Диференціюючи (6. 1) по температурі, знайдемо

(6. 2)

Ми одержали закон. Дебая, згідно якому у області низьких температур теплоємність решітки змінюється пропорційно кубу температури.

Область високих температур. Для таких температур x мало, внаслідок чого можна обмежитися першими двома членами. Тоді

(6. 3)

Теплоємність кристала

(6. 4)

Для одного моля одноатомної речовини NA = 6,06-10 ²³ моль ¹ (постійна Авогадро), NAk = R = 8,3 Дж/(моль*К) — універсальна (молярна) газова постійна.

(6. 5)

Співвідношення (6. 5) виражає закон Дюлонга і Пті, встановлений ними ще в 1819 р.

На (рис.6.1) суцільною лінією показана теоретична крива залежності теплоємності твердих тіл від температури, крапками — експериментальні дані для срібла, алмазу, алюмінію, міді і кам'яної солі. Відповідність теорії з дослідом цілком задовільна не тільки з якісної, але і з кількісної сторони.

 

 

 

Рис.6.1

Знаючи температурну залежність енергії решітки, легко встановити, принаймні, якісно, залежність концентрації фононного газу від температури, тобто числа фононів nф_, збуджених в одиниці об’єму кристала.

У області низьких температур, в якій енергія решітки Eреш ~T, а енергія фонона hw kT ~ Т, концентрація фононного газу повинна бути пропорційна Т³:

В області високих температур, в якій Eреш ~ Т, а енергія фононів досягає граничного значення hw/ кQ, не залежного від Т, концентраціяфононного газу повинна бути пропорційна Т:

Зміст самостійної роботи:

Опрацювати рисунок 6.1 та зробити висновки про залежності теплоємності твердих тіл від температури.

 

Коефіцієнт дифузії

Спостерігати безпосередньо явище самодифузії неможливо через тотожність атомів однорідного газу.

Давайте візьмемо об’єм з газом. Всі молекули у цьому газі однакові і концентрація молекул становить . Розділимо об’єм перегородкою. Якщо ми її знімемо, зовні нічого не відбудеться.

Тоді давайте візьмемо і частину їх помітимо. Пофарбувати їх у різні кольори не вдасться, а от використати радіоактивний ізотоп цього ж газу цілком можливо. Така помітка ніяким чином не вплине ні на взаємодію молекул, ні на їхній рух. Концентрацію мічених молекул позначимо як , немічених – . І, поки ми не зняли перегородку, .

Знімаємо перегородку. Молекули внаслідок теплового руху будуть перемішуватись. Якщо намалювати розподіл концентрації вздовж об’єму, він виглядатиме наступним чином. Тепер виникає градієнт концентрації мічених молекул (відповідно, і не мічених – теж). Знов нагадаю: під існуванням градієнту концентрації мається на увазі, що величина концентрації змінюється вздовж вибраного напрямку . Для концентрацій мічених і не мічених молекул виникає співвідношення

; .

Тобто, концентрація газу залишається сталою, незважаючи на перемішування, а градієнти концентрацій однакові за величиною, але протилежні за напрямками.

Виділимо в об’ємі площадку площею , перпендикулярну осі . Внаслідок існування градієнту концентрації мічені молекули будуть переходити із області більшої концентрації у область меншої концентрації, перетинаючи площадку. Для немічених молекул такий процес відбуватиметься у протилежному напрямку, але зараз він нас не цікавить, оскільки газ один і той же по обидва боки площадки.

Як і у випадку теплопровідності, вираз для маси, перенесеної через площадку, можна записати із загальних міркувань, але цей закон підтверджений експериментально і має назву закону Фіка. Він полягає у тому, що перенесена за одиницю часу маса речовини пропорційна масі молекули речовини, градієнту її концентрації та площі площадки, через яку речовина переноситься:

.

Або можна ще сказати, що вона пропорційна градієнту густини речовини та площі площадки.

Введемо таке поняття як дифузійний потік, тобто кількість молекул речовини, які в процесі дифузії проходять за одиницю часу через одиничну площину, перпендикулярну до напрямку руху молекул. В нашому випадку маса мічених молекул, що переноситься через площадку. Вона визначається як , тоді дифузійний потік молекул через площадку

.

Коефіцієнтом пропорційності є величина , що має назву коефіцієнта дифузії. У такому випадку коефіцієнт дифузії визначається дифузійним потоком, при одиничному градієнті концентрації.

В системі СІ коефіцієнт дифузії має розмірність 1 м²/с.

 

Знову звернемось до основної формули переносу

.

Ми вже бачили, що характеризує величину, яку переносить 1 молекула. У випадку в’язкості це був імпульс , у випадку теплопровідності це середня кінетична енергія поступального руху молекули . Що переноситься у випадку дифузії? Маса, яку можуть перенеси через площадку мічені молекули, становить , тоді на одну молекулу газу припадає маса . Якщо ми візьмемо рівняння Фіка не для потоку маси, а для дифузійного потоку, то у якості величини, що переноситься, буде виступати відносна концентрація мічених молекул

.

Тоді основна формула набуває вигляду

.

Порівнявши із формулою Фіка

,

отримаємо вираз для коефіцієнта самодифузії дифузії

.

 

Знову ж таки аналізуємо залежності

1. .

2. .

Швидкість від тиску не залежить, довжина вільного пробігу , отже і . І, звичайно, формули не працюють при . Тут не можна говорити про дифузію, оскільки перенос маси відбувається зі швидкістю руху молекул, а отже, .

А температурна залежність, як і для коефіцієнтів в’язкості і теплопровідності, визначається залежністю швидкості від температури та довжини вільного пробігу від температури. Отже, .

Зміст самостійної роботи:

Обчисліть коефіцієнт дифузії електронів в германію при кімнатній температурі .

 

Тема 6. Контактні явища

План самостійної роботи до теми