Закройте все кружочки, кроме одного 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Закройте все кружочки, кроме одного



 

Среди выдающихся людей нашего времени, известных тем, как они сумели, преодолев все препятствия, пробить себе путь к успеху, покойный Генри Джордж,[22] безусловно, заслуживает того, чтобы отметить его особо. Благодаря глубокому изучению налоговой системы Генри Джордж настолько дотошно знал каждую деталь своего предмета, что в спорах оставался совершенно неуязвимым.

Одно время мы едва ли не ежедневно встречались с ним в пресс-клубе, и мистер Джордж буквально замучил меня своими великими проблемами из области политической экономии. Я отплатил ему тем, что предложил придуманную мной головоломку.

Головоломка состоит в том, чтобы поместить 12 шашек на 13 кружков, которые образуют рамку вокруг портрета Генри Джорджа. Каждую шашку следует поместить на свободный кружок, а затем передвинуть вдоль любой из двух прямых на другой пустой кружок и оставить там. Например, вы можете первую шашку поставить на кружок 2 и передвинуть ее на кружок 4 или 13. После того как шашка передвинута, ее больше нельзя трогать и ни одну шашку нельзя помещать (до или после передвижения) на кружок, уже занятый другой шашкой.

 

 

 

Корова Кейси

 

– У некоторых коров больше здравого смысла, чем у обыкновенного человека, – сказал фермер Кейси. – Вот как-то стояла моя пеструха на мосту в пяти футах от его середины и мирно смотрела в воду. Внезапно она заметила экспресс, который находился на расстоянии в две длины моста от ближайшего конца этого сооружения и летел прямо на нее со скоростью 90 миль в час. Не теряя ни мгновения на бесполезные размышления, корова сделала прыжок навстречу приближавшемуся поезду и спаслась, проскочив в 1 футе от него. Если бы она последовала человеческому инстинкту и бросилась бежать с той же скоростью наутек от поезда, то три дюйма от ее задней части осталось бы на мосту!

Чему равны длина моста и скорость коровы Кейси?

 

 

Решения

 

1. На приведенном рисунке показано, как астрономы расположили вновь найденную звезду, которая оказалась прямо-таки «сверхзвездой» и затмила остальные звезды.

 

2. Единственный возможный путь, удовлетворяющий условиям задачи, таков: Филадельфия, далее 15, 22, 18, 14, 3, 8, 4, 10, 19, 16, 11, 5, 9, 2, 7, 13, 17, 21, 20, 6, 12 и, наконец – Эри.

 

3. [Лойд не приводит решения данной головоломки. Он лишь сообщает, что большинство сборников головоломок дают решение в 52 хода, тогда как эту головоломку можно решить за 47 ходов. Г. Э. Дьюдени, известный английский мастер головоломок, опередил Лойда на один шаг, сведя число ходов к 46. – M.Г. ]

 

4. Из 216 равновероятных исходов бросания трех костей вы выиграете только в 91 случае и проиграете в остальных 125. Таким образом, ваш шанс выиграть по крайней мере столько же, сколько вы поставили (то есть вероятность выигрыша), равен 91/216,тогда как шанс проиграть равен 125/216.

Если бы на костях всегда выпадали различные числа, то игра стала бы честной. Предположим, что на каждом квадрате лежит по 1 доллару. Тогда, выбросив три кости, на каждой из которых выпадают разные числа, владелец аттракциона получит 3 доллара и заплатит тоже 3 доллара. Но на двух одинаковых числах владелец зарабатывает 1 доллар, а на трех одинаковых числах – 2 доллара. Если игра длится достаточно долго, то владелец аттракциона может надеяться на каждом долларе игрока независимо от того, куда и сколько денег тот ставит, заработать около 7,8 цента. Таким образом, в среднем доход владельца аттракциона составляет 7,8 % общей суммы ставок.

 

5. Сначала проведите разрез AB, затем сложите 3 образовавшиеся части так, чтобы разрезы CD и EF можно было сделать одновременно.

 

 

На соседнем рисунке показано, как с помощью двух прямолинейных разрезов можно разделить подкову на 9 частей. Сначала проведите разрез AB, а затем сложите три части вместе так, чтобы остальные три можно было сделать одновременно (одним взмахом ножниц).

 

6. Проведем диагонали квадрата и параллельные им прямые, как показано на рисунке; тогда посаженные в точках пересечения виноградные лозы будут отстоять друг от друга на расстояние, чуть превышающее 9 футов, располагаясь рядами внутри изгороди, ограничивающей данный участок; всего их окажется 41.

 

 

7. Греческую эмблему можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и сделав 13 поворотов, как показано на рисунке.

 

8. Любопытная особенность этой головоломки состоит в том, что, как бы вы ни ходили, «мужчина» никогда не сможет схватить «петушка», а «женщина» – «курочку», ибо, как принято говорить при игре в шахматы или шашки, петушок «обладает преимуществом в один ход»… по отношению к мужчине, и по тем же причинам женщина никогда не сможет оказаться в «соприкосновении» с курочкой. Но вот если мужчина погонится за курочкой, а женщина – за петушком, то они легко сумеют поймать цыплят! Одного из цыплят можно схватить на восьмом ходу, а другого – на девятом.

 

9. [В ответе Лойд использует два временных интервала, указанных в условии задачи, но эти интервалы на самом деле для решения не нужны. Пусть х означает точку (между Биксли и Пиксли), где был задан первый вопрос, а у – точку (между Пиксли и Квиксли), где был задан второй вопрос. Нам известно, что расстояние между х и у равно 7 милям. Поскольку расстояние от х до Пиксли равно 2/3 расстояния между Биксли и Пиксли, а расстояние от у до Пиксли составляет 2/3 расстояния между Пиксли и Квиксли, то из этого следует, что расстояние между х и у, то есть 7 миль, равно 2/3 всего пути. Значит, полное расстояние между Биксли и Квиксли равно 101/2 мили. – М. Г.]

 

10. Большой индюк весил 16 фунтов, а индюшонок – 4 фунта.

 

11. [Это первая из многих задач на разрезание, включенных в данный сборник. Читателю будет, наверное, небезынтересно узнать, что известный немецкий математик Давид Гильберт впервые доказал теорему, которая утверждает, что любой многоугольник, если его разрезать на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Подобные разрезания, однако, малоинтересны, если число частей не будет достаточно малым, чтобы решение стало элегантным и неожиданным. Почти все правильные многоугольники (за исключением пентаграммы, или пятиконечной звезды, которая доставляет массу трудностей) были использованы в весьма изобретательных головоломках на разрезание.[23]M. Г. ]

 

12. Среди первых 18 футов каната, измеренных лавочником, каждый ярд (то есть 3 фута) оказался короче своей истинной величины на 3 дюйма; значит, общая недостача на 18 футов составила 18 дюймов, или V/2 фута. В оставшихся 2 футах потерь не было, поскольку для их измерения деревянный ярд использовался не на полную длину (потребовалось только 24 дюйма, а в нем было 33 дюйма). Следовательно, длина полученного моряком каната 81У2 фута, что при цене 2 цента за фут составляет 1 доллар 63 цента. Лавочник же получил лишь 1 доллар 60 центов (80 футов по 2 цента за фут), да и то фальшивой пятидолларовой монетой (он дал моряку сдачу 3 доллара 40 центов). Таким образом, общая сумма убытка составляет 5 долларов 3 цента. Тот факт, что сосед разменял ему золотую монету, на доходе или убытке не отражается.

 

13. Смит должен был начать с 99 долларов 98 центов, а осталось у него только 49 долларов 99 центов.

 

14. Лучший способ решения этой задачи основан на том факте, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров. Если мы впишем квадрат ABCD в исходный круг и забудем об отверстии в центре, то площадь круга Е, вписанного в этот квадрат, как раз и составит половину исходной площади.

 

 

Теперь к кругу Е надо добавить половину площади отверстия. Мы впишем в отверстие квадрат, а затем в этот квадрат впишем новый круг. Площадь меньшего круга, следовательно, составит половину площади отверстия. Поместим теперь маленький круг в G так, чтобы его диаметр стал стороной прямоугольного треугольника, основанием которого служит диаметр круга Е. Гипотенуза HI будет тогда диаметром круга, площадь которого равна сумме площадей круга Е и маленького круга в G. Этот круг, показанный пунктирной линией, и дает искомый размер точильного круга после того, как последний сточится ровно наполовину. Его диаметр можно подсчитать следующим образом.

Диаметр круга Е совпадает с длиной стороны наибольшего квадрата. Зная, что диагональ этого квадрата равна 22 дюймам, мы находим, что его сторона, а значит, и диаметр круга E равны квадратному корню из 242. Аналогичным образом находим, что диаметр наименьшего круга составляет – квадратный корень из 242/49 дюйма.

Квадрат диаметра пунктирного круга равен сумме квадратов двух найденных диаметров, то есть 242 + 242/49 – 12100/49. Извлекая отсюда квадратный корень, мы и находим искомую величину, равную 110/7 – 155/7 дюйма. Таков должен быть диаметр точильного круга, когда его получит второй компаньон.

 

15. Разумеется, выиграет кошка. Чтобы пробежать все расстояние и вернуться, ей нужно сделать ровно 100 прыжков. Собака, напротив, вынуждена проделать 102 фута и вернуться обратно. На своем 33-м прыжке она достигнет отметки 99 футов, и поэтому ей необходимо сделать еще один прыжок, который приведет ее на 2 фута дальше нужной отметки. Таким образом, чтобы пройти всю дистанцию, собака должна сделать 68 прыжков. Но частота ее прыжков составляет только 2/3 от частоты прыжков кошки, так что на 100 прыжков кошки приходится лишь неполных 67 прыжков собаки.

Но у Барнума в кармане была возможность сыграть первоапрельскую шутку. Допустим, что кошку (а точнее, кота) зовут Васькой, а собаку – Жучкой! Тогда фразу «она делает 3 прыжка, в то время как ее соперник делает 2» следует понимать так, что собака пробегает расстояние в 9 футов, когда кот пробегает 4 фута. Таким образом, когда собака финиширует, сделав 68 прыжков, кот преодолеет расстояние всего лишь в 90 футов и 8 дюймов.

[Эта же самая головоломка вызвала в Лондоне чувство разочарования, когда Г. Э. Дьюдени опубликовал ее 1 апреля 1900 г. в еженедельнике The Weekly Dispatch. В варианте Дьюдени в беге состязались садовник (женщина) и повар (мужчина). – М. Г. ]

 

16. Ответ приведен на рисунке.

 

17. На эту задачу нет однозначного ответа, если только вы не знаете, сколько заплатил делец за свой велосипед первоначально. А раз в условии это не сказано, то и решить задачу удовлетворительным образом невозможно.

 

18. Бак с квадратным дном, ширина которого вдвое меньше глубины, имеет самые экономичные размеры. Если куб со стороной, близкой к 12,6 фута, вмещает 2000 кубических футов, то вдвое меньшая глубина приводит как раз к искомой 1000 кубических футов.

[Точные размеры искомого бака не выражаются в рациональных числах, поскольку они связаны с половиной «удвоенного куба». Если воспользоваться иррациональными числами, то длина и ширина искомого бака окажутсяравнымитогда как его высота составит

 

19. На рисунке искомая пятиконечная звезда окрашена целиком.

 

20. На рисунке показано, как можно разрезать греческий крест на пять частей, из которых удается сложить два креста одинаковых размеров. Проведите разрезы, как показано на кресте, изображенном слева, а затем сложите маленькие части, как показано на рисунке справа.

 

21. [Исходную головоломку решить невозможно, если не прибегнуть к мошенничеству, перевернув кубики с цифрами 6 и 9 вверх ногами. Одна из особенностей этой головоломки состоит в том, что любая подобная перестановка двух кубиков сразу же делает задачу разрешимой. Фактически любое нечетное число перестановок дает тот же самый эффект, тогда как любое их четное число оставляет, как и прежде, головоломку неразрешимой. Читателей, которых заинтересует математическая структура, лежащая в основе этой головоломки, мы отсылаем к классической работе W. W. Johnson, W. Е. Story. Notes on the 15-Pnzzle (American Journal of Mathematics, v. 2, 1879, p. 397), а также сборникам по занимательной математике. – M. Г. ]

Остальные три задачи решаются следующим образом.

Вторая задача. К расположению, указанному в условии, можно прийти за 44 хода: 14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14, 10, 6, 2, 1.

Третья задача. К расположению, приведенному в условии, удается прийти за 39 ходов: 14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

Четвертая задача. Магический квадрат удается получить за 50 ходов: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

 

22. Мэри Энн была матерью больного мальчика.

 

23. Если Ноббс может засадить борозду картошкой за 40 мин, то 6 борозд он засадит за 240 мин. Поскольку он засыпает картошку землей с той же скоростью, то он в состоянии полностью обработать 6 борозд за 480 мин, или за 8 ч. Хоббс, работая с другими шестью бороздами, засеет их за 120 мин (одну борозду – за 20 мин), а засыплет за 360 мин, что в сумме даст 480 мин, или 8 ч. Таким образом, проработав 8 ч, каждый из них сделает одинаковый объем работы; поэтому каждому из них следует получить по 2 доллара 50 центов.

 

24. Тайна золотого кирпича объясняется тем обстоятельством, что истинные размеры нового прямоугольника составляют не 23 × 25, а 23 × 25 1/23, дюйма, а это как раз и приводит к прежней площади в 5/6 квадратных дюймов.

[Относительно разнообразных «геометрических исчезновений» такого рода см. мою книгу «Mathematics Magic and Mistery» (Dover. Publ., 1956). – M. Г. ]

 

25. Согласно Евклиду, если две хорды пересекаются внутри круга, произведение длин частей одной из них равно произведению длин частей другой хорды. На рисунке поверхность воды образует хорду, а поскольку обе части этой хорды равны 21 дюйму, то их произведение равно 441.

 

 

Прямая, проходящая вдоль стебля лилии, образует другую пересекающуюся хорду, у которой над водой возвышается участок в 10 дюймов. Произведение частей этой хорды тоже обязано равняться 441. Поэтому, разделив 441 на 10, мы находим, что длина второго участка этой хорды составляет 44,1 дюйма. Прибавив к этому значению 10 дюймов, мы находим, что длина всей хорды от А до F (диаметр круга) равна 54,1 дюйма. Значит, радиус круга равен 27,05 дюйма. Если мы вычтем отсюда 10 дюймов, то и найдем длину части стебля, находящейся под водой, то есть глубину озера; она составляет 17,05 дюйма.

 

26. Если вы проведете диагональ у прямоугольного листа бумаги, а затем свернете из этого листа цилиндр, то диагональ превратится в спираль, обвивающую цилиндр. Другими словами, спираль, обвивающую колонну, можно рассматривать как гипотенузу некоего прямоугольного треугольника. В данном случае это треугольник, который четыре раза оборачивается вокруг колонны. Основание этого треугольника в 4 раза больше длины окружности цилиндра (или в 4π раз больше его диаметра), что, как можно подсчитать, превышает 300 футов на пренебрежимо малую величину. Но этой же величине равна и высота башни, что является просто совпадением, поскольку высота вовсе на участвует в решении данной задачи.

Нам не нужно также исследовать длину лестницы. Ибо если стержни отстоят друг от друга на расстояние в 1 фут, когда мы измеряем его вдоль основание прямоугольного треугольника, то на такое же расстояние они будут отстоять друг от друга и вдоль гипотенузы, какую бы длину она ни имела.[24] Поскольку основание нашего прямоугольного треугольника имеет в длину 300 футов, то у винтовой лестницы 300 ступенек.

 

27. В этой головоломке о продаже цыплят каждому фермеру ясно, что корова оценивается в 25 цыплят, а лошадь – в 60. Наша пара должна была ко времени разговора приобрести 5 лошадей и 7 коров общей стоимостью в 475 цыплят; а поскольку у них как раз хватило цыплят на то, чтобы купить еще 7 коров, то у супругов оставалось 175 цыплят. Всего же на рынок они привезли 650 цыплят.

 

28. Существует 416 способов выполнить это задание. Наикратчайшим будет путь O – P, D – C, E – F, H – G, I – J, L – K, N– M и А – В; но поскольку существует миллион неподходящих нам путей, то такой малостью, как 416, можно смело пренебречь.

[Читатель не должен всерьез принимать слова Лойда относительно числа мостов, ему, разумеется, было известно, что Эйлер изучал случай семи мостов и эта знаменитая работа явилась первой публикацией по топологии.[25]М. Г. ]

 

29. Девятнадцать полков уйдут на фронт, оставив в лагере пятый полк в составе полковника-шахматиста и его 1370 солдат. Кроме того, потребуется еще 18 недель, чтобы, увеличиваясь на 30 человек еженедельно, пятый полк достиг нужного состава в 1900 человек. Таким образом, наш шахматист, имея под началом 1900 человек, уйдет на фронт через 37 недель.

 

30. Математики и знатоки головоломок, коим ведомы тайны перестановок, подсчитали, что из четырех монет и брелока в виде орла можно сделать не менее 92 160 различных цепочек так, чтобы никакие две из них не оказались полностью одинаковыми.

Очевидно, что большую монету можно зацепить за любую из пяти дырок и повернуть к нам любой стороной, что дает 10 комбинаций. Поскольку следующая монета может быть соединена восемью способами, то общее число комбинаций из двух первых монет равно 80. Если это умножить на 6 комбинаций следующей по размеру монеты, на 4 комбинации последней монеты и на 2 положения орла, то, располагая монеты, как показано на рисунке, по уменьшающимся размерам, мы получим 3840 комбинаций. Поскольку мы можем переставить между собой 4 монеты 24 способами, то общее число всевозможных комбинаций равно, как и утверждалось, 92 160.

 

31. Гуляющие пары смогут переправиться за 17 ездок. Пусть А, В, С, D – мужчины, а а, b, с, d – девушки. Все они первоначально находятся на одном берегу. Переправляться им следует по следующей схеме:

 

 

[Существуют и другие способы решения данной задачи за 17 ходов; но, как объясняет Г. Э. Дьюдени, это решение содержит наименьшее число «посадок» и «высадок». Если имеются три пары, то остров не является необходимым, однако в случае четырех пар решить задачу при заданных условиях без острова невозможно. – М. Г. ]

 

32. Возраст первой девочки составлял 638 дней, а мальчику было вдвое больше, то есть 1276 дней. На следующий день самой юной девочке было 639 дней, а ее вновь пришедшей в класс сестре – 1915 дней, что в сумме составляет 2554 дня и ровно вдвое превышает возраст мальчика, равный 1277 дням. На следующий день мальчик, которому было уже 1278 дней, привел своего старшего брата в возрасте 3834 дней, так что их суммарный возраст составил 5112 дней; а это вдвое больше возраста девочек, равного уже 640 + 1916 = 2556 дням.

На другой день возраст каждой девочки увеличился на 1, что в сумме дает 2558 дней, а вместе со старшей сестрой, которой было 7670 дней, их суммарный возраст составил 10228 дней, что ровно вдвое больше возраста мальчиков, достигшего в этот день 5114 дней.

Таким образом, мы подошли к 7670 дням. Юная леди достигла 21-летнего возраста; 21 х 365 = 7665 плюс 4 дня, добавленные на високосные годы, да еще один день, который явился ее 21-м днем рождения.

Читатели, которые полагали, что возраст мальчика равнялся 31/2 годам, проглядели то обстоятельство, что возраст учеников увеличивался с каждым днем.

 

33. Существует только один способ выполнить данное задание за 14 поворотов, хотя с еще одним лишним поворотом таких способов будет тысяча и один.

 

34. Объединенная «тяга» четырех тучных парней в точности равна тяге пяти пышных сестер. Поскольку на втором рисунке показано, что пара тощих близнецов равна по силе одному тучному парню и двум пышным девицам, мы можем упростить задачу, заменив на третьем рисунке двух тощих близнецов их «тяговым эквивалентом», то есть поставив вместо них толстого парня и двух пышных девиц.

Теперь у нас пять пышных сестер и один тучный парень противостоят одной пышной девице и четырем тучным парням. Мы можем удалить четырех тучных парней с одной и пять пышных девиц с другой стороны каната, ибо, согласно первому рисунку, их силы равны. При этом слева останется один тучный парень, а справа – одна пышная девица. Таким образом, выиграет левая команда, поскольку ее тяговая сила на 1/5 силы парня больше, чем у правой команды,

 

35. Можно представить себе, что объем, заключенный внутри мяча, разбит на огромное число узеньких пирамид, все вершины которых расположены в центре мяча, а основания лежат на его поверхности. Мы знаем, что объем пирамиды равен произведению площади ее основания на 1/3 высоты. Следовательно, объем шара равен сумме площадей оснований пирамид, то есть сферы, умноженной на 1/3постоянной высоты (радиуса). Поскольку объем шара численно равен площади сферы, отсюда следует, что 1/3 радиуса равна 1. Значит, радиус футбольного мяча равен 3, а его диаметр – 6 дюймам.[26]

 

36. Озеро содержало ровно 11 акров; ответ «около 11 акров» не достаточно правилен. Точный ответ получается с помощью известной теоремы Пифагора, утверждающей, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

 

 

На рисунке у треугольника ABD длина катета AD равна 9, а длина BD – 17, поскольку 9 × 9 + 17 × 17 = 370, что составляет площадь наибольшего поля. АЕС – прямоугольный треугольник, а равенство 52 + 72 = 74 показывает, что квадрат со стороной АС имеет площадь в 74 акра. CBF – также прямоугольный треугольник. Складывая квадраты его катетов, мы находим, что квадратное поле со стороной ВС имеет площадь, разную 42 + 102 =116 акрам. Площадь нашего исходного треугольника ABD, очевидно, составляет половину от 9 × 17, то есть равна 76,5 акра. Поскольку суммарная площадь прямоугольника DECF и двух прямоугольных треугольников АЕС и CBF равна, как легко подсчитать, 65,5 акра, то, вычитая эту величину из 76,5, мы находим, что площадь треугольного озера составляет в точности 11 акров.

 

37. Решения показаны на рисунках.

 

38. После замужества три невесты стали носить имена: Китти Браун, Нелли Джонс и Минни Робинсон, Китти весила 122, Нелли – 132, а Минни – 142 фунта.

 

39. Каждый камень в сережках весил 5 каратов, так что стоил он 2500 долларов, а цена обоих камней составляла 5000 долларов. Вес камней различной величины составил соответственно 1 карат (100 долларов) и 7 каратов (4900 долларов), а их суммарная стоимость также равна 5000 долларов.

 

40. В наилучшем решении требуется провести всего лишь два прямых разреза и перевернуть одну часть другой стороной кверху – прием, обычный в столярном деле, о котором не подумал ряд почитателей Евклида.

 

 

Не играет роли, если угол, образованный отрезком BD со стороной доски, окажется более или менее острым. Нужно просто провести прямую из середины левой стороны доски Е в середину BD. Затем следует опустить перпендикуляр из угла G на ЕС. Перевернув теперь часть А другой стороной кверху, можно сложить квадрат, как показано на рисунке.

 

41.

 

 

42. Разговор происходил в 9 ч 36 мин утра. Одна четверть времени, прошедшего с полуночи до момента разговора, равна 2 ч 24 мин, а половина времени от момента разговора до полуночи составляет 7 ч 12 мин; в сумме как раз и получается 9 ч 36 мин.

Если бы Мак-Гуир не пожелал Клэнси доброго утра (это указывает на то, что разговор происходил до полудня), то правильным ответом могло быть в равной мере и 7 ч. 12 мин. вечера.

 

43. Если минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то они сливаются 11 раз в течение каждого 12-часового периода. Приняв одиннадцатую часть 12 ч за нашу основную константу, мы находим, что слияние стрелок будет происходить через каждые 65 5/11 мин, или через каждые 65 мин 27 3/11 с. Следовательно, в следующий раз стрелки сольются в 1 ч 5 мин и 27 3/11 с.

Ниже приведены моменты 11 слияний стрелок в течение каждого 12-часового периода.

 

12 ч 00 мин 00 с

1 ч 05 мин 27 3/11 с

2 ч 10 мин 54 6/11 с

3 ч 16 мин 21 9/11 с

4 ч 21 мин 49 1/11 с

5 ч 27 мин 16 4/11 с

6 ч 32 мин 43 7/11 с

7 ч 38 мин 10 10/11 с

8 ч 43 мин 38 2/11 с

9 ч 49 мин 05 5/11 с

10 ч 54 мин 32 8/11 с

 

[Теперь, когда вы освоились с техникой решения задач такого типа, вы можете попытаться решить следующую, по-видимому, более трудную головоломку. Предположим, что у часов – три стрелки, слившиеся в полдень. Третья стрелка, конечно, секундная. Когда в следующий раз сольются три стрелки?

На самом деле с помощью приведенной выше таблицы и некоторой проницательности задача решается гораздо легче, чем может показаться на первый взгляд. – М.Г. ]

 

44. Черные бумажные кусочки – это не более чем ловушка. Их следует сложить таким образом, чтобы в центре получилась маленькая белая лошадь, как показано на рисунке.

 

 

Именно этот трюк с белой апингтонской лошадью сделал популярным выражение: «О, но это же лошадь другой масти!»

 

45. Всего было три полностью слепых змея и три змея полностью зрячих.

 

46. Существует много простых способов выполнить задание за 15–18 ходов, но план, приведенный на рисунке, где мы возвращаемся в исходную точку через 14 ходов, кажется наилучшим возможным ответом.

 

47. Решая задачу с ожерельем, всякий ювелир, так же как и 99 человек из 100, предложит распилить маленькие звенья на концах всех частей, что снизит цену всей работы до 1 доллара 80 центов. Однако правильным будет распилить все 10 звеньев в тех двух маленьких кусочках, которые состоят из пяти звеньев и содержат по 3 маленьких и 2 больших звена. Этими десятью звеньями можно соединить остальные части в замкнутое ожерелье. Стоимость всей работы окажется тогда равной 1 доллару 70 центам, что совпадает с наименьшим возможным ответом.

 

48. В головоломке с пастбищем необходимо учесть ежедневный прирост травы. Нам известно, что корова ест столько же, сколько коза и гусь. Следовательно, если корова и коза съедают всю траву да еще 45-дневный прирост за 45 дней, то ясно, что две козы и гусь съедят ту же траву за то же самое время. Поскольку коза и гусь съедают всю траву за вдвое большее время, мы видим, что одна коза съест всю траву за 90 дней и что гусь может питаться только приростом травы. Следовательно, если корова съедает 1/60 исходного запаса травы в день, а гусь 1/90, то вместе они съедят 1/36.Таким образом, корова и коза съедят первоначальный запас травы за 36 дней, а гусь в то же самое время позаботится об уничтожении ее прироста.

 

49. Ответ показан на рисунке.

 

50. Миссис О'Тул весит 135, ребенок – 25, а собака – 10 фунтов.

 

51. Ответ ясен из рисунка.

 

52. Старую задачу, где требуется отмерить четыре кварты 5– и 3-квартовым кувшинами, можно решить за 6 операций:

1) наполните большой кувшин;

2) наполните маленький кувшин из большого, оставив в большом кувшине 2 кварты;

3) вылейте содержимое малого кувшина назад в бочку;

4) перелейте 2 кварты в маленький кувшин;

5) наполните большой кувшин из бочки;

6) наполните маленький кувшин из большого, причем в большом кувшине останется 4 кварты.

Что касается второй задачи, то с помощью элементарной алгебры мы находим, что при заданных ценах 26 галлонов «Утренней росы» должны содержать 24 8/17 галлона яблочной водки и 1 9/17 галлона сидра на общую сумму в 21,06 доллара. Чтобы получить такую смесь наискорейшим образом, необходимо предпринять следующее:

1) наполнить обе меры яблочной водкой;

2) вылить водку из бочки в бочонок покупателя;

3) вылить содержимое обеих мер обратно в бочку для яблочной водки;

4) перелить 2 галлона из бочонка в бочку с водкой;

5) перелить 2 галлона сидра из бочки с сидром в бочонок;

6) наполнить обе меры смесью из бочонка; при этом смесь, оставшаяся в бочонке, будет содержать 1 9/17 галлона сидра;

7) наполнить бочонок из бочки с яблочной водкой.

 

53. Существует бесконечно много пар чисел, сумма которых совпадает с их произведением. Если одно из этих чисел равно а, то второе получается с помощью деления а на а – 1. Например, 3 х 1 1/2 = 4 1/2 и 3 + + 1 1/2 = 4 1/2.

 

54. В оригинальной китайской головоломке использовалось предложение из 12 слов, ибо в китайском языке каждый иероглиф обозначает не букву, а целое слово.

Счастливым словом в английском языке оказалось interpreting (перевод); его удается перевести в «горизонтальное состояние» безо всяких хлопот за 12 ходов.[27]

 

55. Лучший игрок утверждал, что поскольку он опередил игрока № 4, то тем самым он и не проиграл. Однако игрок № 4, обойдя игрока № 3, считал, что платить должен не он. Игрок же № 3 настаивал на том, что вместе с игроком № 2 они побили игрока № 1, и, следовательно, согласно предварительной договоренности, их нельзя назвать проигравшими.

Существуют и другие обстоятельства, запутывающие все дело. Поскольку игрок № 4 пришел со стороны, он не был ограничен никакими частными соглашениями и, забив 4 шара против 2 шаров игрока № 3, надел шляпу и ушел домой. Игрок же № 1 должен был выполнять предварительное соглашение; и когда он забил 5 шаров против 6 шаров его двух соперников, то поражение, которое при обычных условиях не миновало бы игрока № 3, перешло на игрока № 1. Поэтому платить следовало игроку № 1.

Однако есть и другая точка зрения, противоположная первой. Игроки № 2 и № 3 играли против игрока № 1 при специальном соглашении. Но поскольку игрок № 1 опередил игрока № 4, с него снимается всякая ответственность. А так как игроки № 2, № 3 и № 4 играли на равных, без всякого дополнительного соглашения, то игрок № 3 проиграл.

[Эта задача, очевидно, носит семантический характер и не имеет однозначного ответа. Как только в игру вступил четвертый игрок, следовало непременно пересмотреть предварительное соглашение относительно того, кого считать «проигравшим». Поскольку такого соглашения не было, при данных обстоятельствах этот термин не имеет точного смысла. Но подобно старому вопросу о том, обходит ли охотник «вокруг» белки, сидящей на дереве, бильярдная задача Лойда способна вызвать забавные споры. – М. Г.]

 

56. Пятьдесят очков можно выбить, поразив куклы с номерами 25, 6 и 19.

 

57. При живом Кейси число участников делилось на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Взяв наименьшее общее кратное этих чисел, 2520, и вычитая из него 1, мы получим число участников без Кейси. Этот ответ был бы хорош, если бы не ловушка, содержащаяся в словах условия «поскольку шеренги из 11 человек не подходили». Но раз 2519 делится на 11, мы должны взять следующее по величине общее кратное указанных чисел, то есть 5040, и вычесть из него 1. В результате получится число 5039, которое не делится на 11. Следующее по величине общее кратное превосходит 7000 – значит, правильным ответом будет 5039 человек.

 

58. Тремя квадратными салфетками со стороной в 1 фут (12 дюймов) можно покрыть квадратный стол со стороной в 15 1/4дюйма. Поместите одну из салфеток в угол стола так, чтобы ее стороны совместились со сторонами столешницы, тогда оставшуюся часть можно легко покрыть двумя другими салфетками.

 

59. Ответ ясен из рисунка.

 

60. Если яблоки продаются по 1/3 пенни и 1/2 пенни за штуку, то легко показать, что средняя цена составляет 5/6 пенни за два яблока, или 25/60 пенни за яблоко. Поскольку яблоки продавались по цене 5 штук за 2 пенса, то продажная цена одного яблока составляла 2/5 = 24/60 пенни. Значит, на каждом яблоке терялось по 1/60пенни.

Известно, что общий убыток составил 7 пенсов. Следовательно, умножив 60 на 7, мы узнаем, что всего было 420 яблок, из которых каждая торговка владела 210 яблоками. Миссис Джонс за свои 210 яблок должна была выручить 105 пенсов, но поскольку она получила половину общей выручки (то есть 84 пенса), то ее убыток составил 21 пенс. Миссис Смит, которая должна была выручить за свои яблоки 70 пенсов, в действительности получила 84 пенса.

 

61. Вероятность выигрыша для гиппопотама составляет 1/3, а для носорога – 2/5. Поскольку в сумме три вероятности выигрыша должны равняться 1, мы делаем вывод, что для жирафа вероятность выигрыша составляет 4/15, то есть его шансы проиграть равны 11 к 4.

Что касается второй задачи, то жираф может опередить гиппопотама на 23/64 мили. Допустим, что жираф пробегает 2 мили в час; тогда носорог за то же самое время пробежит 1 7/8 мили, то есть он преодолевает 2 мили за 16/15 часа. За то время, когда носорог пробежит эти 2 мили, гиппопотам преодолевает 1 3/4 мили, то есть он бежит со скоростью 105/64 мили в час. Поскольку 2 мили – это то же самое, что и 128/64 мили, нам остается вычесть отсюда 105/64 и получить ответ. Если мы положим скорость жирафа равной другой величине, то на окончательный ответ это, разумеется, не повлияет.

 

62. 5 двухцентовых марок, 50 одноцентовых и 8 пятицентовых марок вместе стоят ровно 1 доллар.

 

63. Удивительным образом искомое число акров совпадает с числом квадратных футов в 1 акре, а именно оно равно 43 560. Такое число жердей в три ряда огораживает квадратное поле в 43 560 акров.

 

64. Существуют один-два способа, позволяющие варьировать ответ, но основной принцип, который приводит к нужному результату, остается неизменным.

Вначале игрок проигрывает 7 однофранковых ставок подряд, затем проигрывает 3 семифранковые ставки и выигрывает 4 семифранковые ставки, так что его суммарный проигрыш к этому моменту равен выигрышу.

Далее он дважды выигрывает по 49 франков, проигрывает 5 раз ту же сумму, а затем 7 раз выигрывает по 343 франка.

Теперь он 3 раза проигрывает и 4 раза выигрывает по 2401 франку, а потом дважды выигрывает и 5 раз проигрывает по 16 807 франков. Наконец, он выигрывает все 7 ставок по 117649 франков. Всего он выигрывает 869 288 франков и проигрывает 91 511 франков, так что чистый выигрыш составляет ровно 777 777 франков.

 

65. Секрет состоит в том, что первое яйцо нужно поместить точно в центр салфетки. Тогда, что бы ни делал ваш противник, точно повторяйте его ходы с противоположной стороны на прямой, проходящей через яйцо № 1. Цифры на рисунке обозначают номер соответствующего хода, помогая понять начало партии.

 

 

Просто положив яйцо в центр стола, вы рискуете проиграть, ибо противник может положить свое яйцо в непосредственной близости от вашего, как показано на рисунке, а из-за неправильной формы яйца вам не удастся в точности повторить его ход.

Следовательно, единственный способ выиграть наверняка состоит в том, чтобы, подобно великому мореплавателю, надбив конец яйца, поставить его вертикально.

 

66. Можно смело сказать, что крестьяне, так же как и сообразительные любители головоломок, некоторое время поупражнялись перед зеркалом, прежде чем добрались до ответа: 9 овец и 9 коз. Произведение этих чисел, 81, будучи отраженным в зеркале, превращается в 18, что как раз и совпадает с общим числом животных в стаде.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-10; просмотров: 231; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.54.103.76 (0.181 с.)