Сколько ступеней в старой башне?

 

Отдыхающим летом на побережье в Джерси знакомы развалины старой башни Бэкон, служившей некогда маяком. Вы видите здесь реконструкцию этой башни, сделанную на основе старинного рисунка полувековой давности, который сохранился у одного местного жителя (ему самому пошел уже девяносто шестой год). Он помнит, как строилась эта башня, когда он был мальчиком. Все графство было взбудоражено этим событием, и вряд ли кто из окрестных жителей сомневался в том, что библейская Вавилонская башня была не выше ее.

Теперь от башни Бэкон ничего не осталось, кроме обгорелого столба примерно шестидесяти футов высотой, ступеньки разрушились при пожаре около двадцати лет назад. Но рисунок, равно как и хроники графства, подтверждают, что первоначально высота башни составляла 300 футов.

Тогда это была весьма внушительная высота. Ведь более века мерилом недосягаемой высоты был шпиль у Тринити Черч. Но времена изменились, и совсем недавно почтенный служащий церкви Тринити жаловался, что ребята из соседнего дома норовят бросать вниз на церковный шпиль камешки.

Основу башни Бэкон составляли массивные столбы, искусно соединенные в одну колонну, которую спиралью обвивала винтовая лестница с железными перилами. Лестница делала вокруг колонны ровно четыре оборота, как показано на рисунке. На каждой ступеньке имелся поддерживавший перила стержень. Поскольку эти стержни отстояли друг от друга ровно на 1 фут, то нетрудно было подсчитать, сколько ступенек придется преодолеть на пути к вершине башни. И все же, как сказал капитан Хафф, владелец рисунка, поведавший нам историю башни:

– Я не встречал ни одного горожанина, который смог бы правильно подсчитать число ступенек.

Итак, башня от земли до верхней площадки, образовывавшей последнюю ступеньку, имела 300 футов. Лестница обвивалась вокруг башни четыре раза, а поддерживавшие перила стержни имелись на каждой ступеньке и отстояли друг от друга ровно на 1 фут. К этому мы должны добавить, что диаметр всей башни (то есть диаметр воображаемого цилиндра, на котором располагались перила) равнялся 23 футам 10 1/2 дюйма.^[5] Сколько ступенек было у винтовой лестницы?

 

 

 

Продажа цыплят

 

Некий фермер вместе со своей славной женой приехал на рынок, дабы обменять домашнюю птицу на скот из расчета по 85 цыплят за лошадь и корову. Известно, что 5 лошадей стоят ровно столько же, сколько и 12 коров.

– Джон, – сказала жена, – давай возьмем еще столько же лошадей, сколько мы уже выбрали. Тогда зимой нам придется кормить только 17 лошадей и коров.

– Я думаю, нам стоит взять побольше коров, – ответил супруг. – И знаешь, я обнаружил, что если мы удвоим число коров, которых уже купили, то всего у нас окажется 19 коров и лошадей, а цыплят как раз хватит, чтобы совершить эту сделку.

Эта бесхитростная деревенская пара ничего не смыслила в алгебре, и все же им было точно известно, сколько у них цыплят и сколько им нужно приобрести коров и лошадей. Мы просим наших любителей головоломок определить, пользуясь приведенными здесь данными, сколько цыплят привезли фермер и его жена на рынок?

 

 

 

Сколько всего различных путей и какой из них наикратчайший!

 

Вот одна любопытная головоломка, примечательная не только общим принципом, лежащим в ее основе, но также и тем, что она достаточно древняя и связана с некой забавной историей. Некогда город Кенигсберг,^[6] разделенный рекой Прегель на четыре части, включая остров Кнайпхоф, имел восемь мостов. Вот с этими-то мостами и связана старая головоломка, озадачивавшая его славных жителей более двух веков назад.

Прогулка по всем мостам всегда была приятным развлечением для молодежи. Согласно преданиям, размышления о том, насколько длинным окажется путешествие по всем мостам, привели к поразительному выводу, что совершить прогулку по всем мостам, не пройдя по какому-то из них более одного раза, невозможно.

История сохранила упоминание о том, как группа молодежи в 1735 г. посетила математика Леонарда Эйлера с просьбой внести в это дело ясность. Год спустя Эйлер представил Российской Академии наук внушительный отчет, в котором утверждалось, что данная задача неразрешима. Этот отчет появился в трудах Академии за 1741 г. и был переиздан на французском и английском языках, поскольку речь шла о принципе, применимом в случае любого числа мостов.

Профессор У. Роуз Болл из Тринити-колледж, обсуждая древность и достоинство этой задачи, заблуждается, приписывая ее авторство самому Эйлеру, кроме того, он утверждает, что, согласно картам Бедекера, мостов в Кенигсберге было тогда семь. Но в старых записях говорится о восьми мостах, а наша карта аккуратно перерисована из Бедекера.

В данной задаче мы не касаемся вопросов возвращения в исходную точку. Нужно просто доказать, что, начав с какого-то произвольного места в городе, можно попасть в некую его точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Мы просим читателя ответить, сколькими различными путями это можно сделать и какой из этих путей наикратчайший?

 

 

 

Полковник-шахматист

 

Один генерал, любитель шахмат, рассказал мне, как во время войны он командовал военным лагерем, в котором одновременно формировалось 20 полков. Ежедневно к каждому полку добавлялось по 100 человек. В последний день каждой недели полк, в котором оказывалось больше всего солдат, отправлялся на фронт.

Как-то оказалось, что в первом полку было 1000 человек, во втором – 950, в третьем – 900 и т. д., в каждом следующем полку было на 50 человек меньше, чем в предыдущем, а в последнем, двадцатом, полку было всего 50 солдат. Генерал обнаружил, что полковник, командовавший пятым полком (где было 800 солдат), – прекрасный шахматист. И вот, чтобы подольше удержать достойного партнера в лагере (иначе он должен был покинуть лагерь через пять недель), генерал еженедельно добавлял в его полк по 30 человек вместо 100, которые добавлялись в другие полки.

Предположим, что 20 полков бесперебойно пополняются рекрутами. Можете ли вы сказать, сколько недель пройдет, прежде чем наш полковник-шахматист отправится в пекло войны?