Давление покоющейся жидкости на плоской пов-ти. Вывод

Одной из основных задач гидростатики является определение величины суммарной силы, действующей на плоскую поверхность со стороны покоящейся жидкости. Суммарная сила является вектором, и определение ее сведется к вычислению величины вектора, его направления и определению координат точки его приложения. Так как в каждой точке давление направлено по нормали к площадке, то и суммарная сила направлена по нормали.

(8.1)

В случае горизонтальной площадки (горизонтального дна резервуара, например) действующая сила F определяется как

F = р S

где р – гидростатическое давление, S – величина площади.

Решаемая ниже задача возникает по той простой причине, что в разных точках негоризонтальной стенки величина давления различная. Можно утверждать, что суммарная сила, действующая на любую площадку будет пропорциональна ее площади и будет иметь место формула вида (8.1); единственное, что необходимо при этом определить – в какой точке внутри площадки определяется давление р. Определим силу F давления жидкости на площадку S, лежащую в плоскости стенки, расположенной под углом a к горизонту, рис. 8.1

Рис. 8.1.

Расположим координатные оси в плоскости наклонной стенки так: ось Ох совместим с линией пересечения свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки (перпендикулярно чертежу), а ось Оz направим вдоль стенки вниз. Дополнительно для большей наглядности повернем плоскость стенки вместе с выбранной на ней площадкой вокруг оси Оz до

совмещения с плоскостью чертежа (т.е. на 90^о). Тогда координатная ось Ох займет положение Ох¹, ось Оz останется на месте, а площадка S изобразится на чертеже в натуральную величину.

Представим площадку S состоящей из бесконечно малых частей dS. Рассмотрим одну из них, рис. 8.1. и допустим, что давление в ее центре равно р, тогда с точностью до бесконечно малых второго порядка можно записать для силы гидростатического давления, действующей на нее

(8.2)

Всю силу F действующую на всю площадку S можно тогда записать в виде интеграла, т.е.

(8.3)

(8.4)

Очевидно, что между глубиной h и расстоянием z для любой точки имеет место соотношение

,

(8.5)

и (8.3) может быть записана как

В последней формуле интеграл

равен статическому моменту площади S относительно координатной оси Ох¹ (или Ох).

Из теоретической механики известно, что статический момент некоторой площади S относительно заданной оси равен произведению площади S на расстояние от ее центра тяжести до оси.

В данном случае

(8.6)

Поэтому

(8.7)

где z_c – расстояние от оси Ох до точки с (центра тяжести площадки S). Итак, искомая сила равна

или, заменяя z_c sina = h_c, где h_c – глубина погружения центра тяжести площади S под уровень свободной поверхности, получим выражение для силы полного (абсолютного) давления

(8.8)

.

(8.9)

Сила давления избыточного (т.е. не считая внешнего давления)

или (так как rgh_c = р_с)

где р _с – гидростатическое давление в центре тяжести площадки.

Таким образом, поставленная задача об определении величины силы решена.

Билет №14

1) Основное уравнение для расчёта простого трубопровода(вывод)

Простой трубопровод – это труба постоянного диаметра с местными сопротивлениями, по которой проходит постоянный расход.

Большинство простых трубопроводов вписывается в одну из следующих двух схем, рис. 2.1.; в резервуарах уровень поддерживается постоянным и поэтому течение везде установившееся.

Схема 1 Схема 2

Рис.2. 1.

В обоих случаях движущей силой является сила тяжести, которая приводит к разности давлений и под действием этой разности жидкость приходит в движение. В обоих случаях потенциальная энергия положения преобразуется в кинетическую энергию, а последняя – в тепловую за счет сил трения.

(2.1)

С точки зрения анализа размерностей очевидно, что на скорость течения V в трубе влияет разность уровней DH, а так как движущей силой является сила тяжести, то оказывает влияние и ускорение свободного падения, т.е.

.

Точнее результат для скорости течения получается, если приравнять запас потенциальной энергии и кинетическую энергию текущей жидкости.

Для случая идеальной жидкости

или .

В действительности вследствие вязкости (трение в жидкости) часть кинетической энергии переходит в тепловую. Поэтому чем больше сопротивлений по длине и местных, тем скорость течения меньше.

Как это часто бывает, наиболее точный и исчерпывающий результат получается при решении общих уравнений. В данном случае вполне понятно, что основным уравнением, связывающим запас потенциальной энергии, кинетическую энергию потока и потери является уравнение Бернулли

(2.2)

Суммарные потери h_Σ складываются из потерь по длине h_l и местных h_м

(2.3)

,

(2.4)

(2.5)

.

Выбираем плоскость (ось) сравнения, совпадающей с осью горизонтальной части трубопровода, а сечения 1-1 и 2-2 совпадающими со свободными поверхностями в сосудах, рис. 2.1.

Физический смысл уравнения для схемы 1 следующий: потенциальная энергия положения частично преобразуется в кинетическую энергию жидкости, вытекающей в атмосферу и частично превращается в тепло. Для схемы 2 имеем H=h_пот, т.е. вся потенциальная энергия полностью преобразуется в тепло.

Уравнения баланса энергии для обеих схем имеют одинаковый вид, а именно

(2.6)

В случае схемы 2 из всей суммы коэффициентов местных сопротивлений выделяется коэффициент внезапного расширения при входе трубы в емкость 2 (он равен единице, т.е. z = 1).

Если труба круглая, то (2.6) преобразуется к виду (V = 4 Q/pd ²)

(2.7)

Это уравнение будем в дальнейшем называть уравнением для расчета простого трубопровода.

2) Открытые потоки(ур-ие равномерного движения,число Фруда)