Деление понятий. Классификация

Для устранения неточности понятий используется другая логическая операция — деление. Она приоб­ретает особое значение, когда объем рассматрива­емых нами понятий очень велик и в нем трудно ори­ентироваться. Тогда мы часто разбиваем его на ка­кие-то части, группы, классы — это и есть деление.

Деление есть логическая операция, раскрывающая объем понятия посредством разбиения его на виды.

Например, органы чувств подразделяются на орга­ны зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса; высшие растения делятся на травы, кустарники и деревья. В по­вседневной жизни мы разделяем людей в зависимости от их роста на высоких, средних и маленьких; пищу, ко­торую потребляем, - на вкусную и невкусную; вещи, которые носим, - на дорогие и дешевые...

В операции деления присутствуют три элемента:

делимое понятие; основание деления - один из признаков предметов, образующих объем делимого понятия, опираясь на который мы производим деле­ние; члены деления - те виды, которые получаются в результате деления. Например: люди делятся на блондинов, брюнетов, шатенов, рыжих и альбино­сов. Здесь делимым понятием будет понятие “люди”;

основанием деления - цвет волос; членами деле­ния — блондины, брюнеты и т.д. Для того чтобы деле­ние не приводило нас к ошибкам, чтобы оно действи­тельно раскрывало объем интересующего нас поня­тия, при совершении деления нужно соблюдать неко­торые простые правила.

1. Деление должно быть соразмерным, т.е. сумма членов деления должна быть в точности рав­на объему делимого понятия.

Нарушение этого правила приводит к ошибкам двух видов.

а) Неполное деление - когда перечисляются не все виды делимого родового понятия, например:

“Энергия делится на механическую и химическую” (не указана электрическая и атомная энергия).

б) Деление с лишними членами - когда в ре­зультате деления к объему делимого понятия до­бавляются предметы, которых там первоначально не было, например: “Химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы” (сплавы не вхо­дят в объем понятия “химический элемент”).

2. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Иначе говоря, каждый элемент из объема делимого понятия должен попасть только в один класс, в противном слу­чае возникнет путаница, а не прояснение объема инте­ресующего нас понятия. Пример: “Войны бывают спра­ведливыми, несправедливыми, освободительными, захватническими и мировыми”. Здесь члены деления не исключают друг друга: справедливая война может быть освободительной, захватнические войны - все несправедливые, и те и другие могут быть мировыми. Хорошее деление можно сравнить с разрезанием пи­рога: куски пирога четко отделены друг от друга и не может быть так, чтобы часть одного куска была в то же время частью другого куска. Таким же должно быть и деление понятий.

3. Деление должно производиться только по одному основанию, нельзя в процессе деления за­менять один признак, опираясь на который вы на­чали деление, другим признаком. Например: “Лю­ди бывают богатыми, бедными и лысыми”.

Деление понятий следует отличать от мысленно­го расчленения предмета на части. Последняя опе­рация также широко используется в повседневной, жизни: квартиру мы членим на комнаты, кухню, кори-” дор и туалет; автомобиль — на мотор, кузов, колеса;

завод - на цеха и т.п. Однако деление понятий и расчленение предмета на части - совершенно разные операции, и их смешение приводит к путанице. Кому, например, нужно такое деление: “Дома делятся на' жилые, нежилые и квартиры” или “Самолеты делятся на гражданские, военные, колеса и крылья”?

8) Сейчас я докажу вам, что 3 раза по 2 будет не 6, как выдумаете, а всего 4. Следите за моими рас­суждениями. У меня в руке 2 спички - 1 пара.

Я ломаю одну спичку и получаю вторую пару. Две пары есть.

Я ломаю вторую спичку и получаю третью пару.

Однако, взяв три раза по 2, я получаю всего 4. Посмотрите и убедитесь: на моей ладони лежат все­го 4 обломка.

Где я совершил ошибку?

Ответы

1) Кажется, это вопрос того типа, что задал бра­вый солдат Швейк членам медицинской комиссии, однако это не так. Разговоры о Нью-Йорке, Лисса­боне и террористе имеют цель отвлечь ваше внима­ние от того факта, что пилот - это вы сами и ему столько же лет, сколько и вам.

2) Начинаются размышления: может быть, это не родной, а приемный сын? Обычно первыми находят ответ девушки: да, такое часто бывает, это дочь.

3) Машина, ветер, кефир, железо, колбаса, по­мидор, красота, дума, море, пенал, крокодил, цве­ток, люстра, жаркое, миска, булка, старик.

4) Основная идея решения состоит в том, что 9 монет нужно разделить на 3 кучки по 3 монеты в каждой. Как только вы набрели на эту мысль, за­дача моментально решается: кладем на каждую чашку весов по 3 монеты, и 3 монеты остаются в стороне. Если весы остаются в равновесии, это означает, что фальшивая монета находится среди трех отложенных. Если же одна тройка монет тя­желее другой, то фальшивая монета - в той трой­ке, которая легче. Затем из тройки, содержащей фальшивую монету, берем две монеты и по одной кладем на чашки весов. Если весы остаются в рав­новесии, значит, фальшивой является та монета, которая осталась; если же одна из монет легче, то она и есть фальшивая.

5) Самое большое по объему из этих поня­тий — понятие “женщина”. Но оно тождественно понятию “дочь”, ибо каждая женщина является чьей-либо дочерью! Таким образом, самый боль­шой круг представляет женщин и дочерей. Все мы женщины, все мы дочери, но некоторые из нас уже имеют собственных детей, т.е. стали матеря­ми. Матерей меньше, чем дочерей, поэтому объ­ем понятия “мать” включается в объем понятия “женщина-дочь”. И наконец, некоторые из мате­рей обзавелись внуками и стали бабушками. Они остаются женщинами, дочерьми, матерями, но приобретают еще одно дополнительное свой­ство. Бабушки включаются в класс матерей. Все изображение представляет собой ряд вложенных один в другой кругов.

6) У нас имеется 3 позиции: на левом берегу, в лодке и на правом берегу. Мы должны перево­зить рыцарей и дам таким образом, чтобы ни од­на дама без своего рыцаря ни на миг не остава­лась с чужим рыцарем в какой-либо из этих пози­ций. Здесь, как и во многих других случаях, очень облегчает рассуждения введение подходящей символики. Обозначим рыцарей и их дам соот­ветственно большими и маленькими буквами: Аа, Бб, Вв. Основная идея решения заключается в том, что дамы возят рыцарей!

Дама а берет своего рыцаря А, садится с ним в лодку и перевозит его на другой берег. Высадив рыцаря А на берег, дама а возвращается, но на бе­рег не выходит.

К ней в лодку садится дама б, они переплыва­ют реку, и дама а выпрыгивает на берег к своему рыцарю А.

Затем дама б возвращается за своим рыцарем Б, перевозит его на другой берег и опять возвращает­ся за дамой в. Дама в садится в лодку, они переплы­вают реку, дама б высаживается на берег, где ждет ее рыцарь Б, а дама в едет обратно и привозит сво­его рыцаря В.

7) На первых двух мудрецах могут быть колпаки следующих цветов: 1) белый - белый; 2) черный — черный; 3) белый - черный; 4) черный — белый.

Если третий мудрец видит перед собой два бе­лых колпака, то он догадывается, что на нем са­мом черный колпак (ведь он же мудрец!); если он видит перед собой два черных колпака, то он опять-таки догадывается, что на нем самом белый колпак. Таким образом, в случаях 1 и 2 догадыва­ется и восклицает третий мудрец. Если же он идет и молчит, то второй мудрец понимает, что имеет место 3-й или 4-й вариант. Посмотрев на колпак первого мудреца, второй мудрец определяет, ка­кой колпак на нем самом: если на первом - бе­лый, то на нем самом должен быть черный; если же на первом мудреце черный колпак, то на нем самом должен быть белый.

Таким образом, один из мудрецов обязательно догадается, какого цвета на нем колпак.

8) Моя ошибка заключается в том, что я посчи­тал первую пару - целых спичек, - а затем уничто­жил ее, поэтому и осталось всего 4 кусочка.

 

Глава 3

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СУЖДЕНИЕ

Структура языка в своих общих чертах воспроизводит структуру мысли. Словам и словосочетаниям в мышлении соответствуют понятия; мысленным со­держанием предложений является суждение - бо­лее сложная форма мысли, для которой понятия служат лишь строительным материалом.

 

ЧТО ТАКОЕ СУЖДЕНИЕ

Суждение есть такая форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов и явлений, о связях между предметами и их свойствами или об отношениях между предметами.

Наличие утверждения или отрицания служит от­личительной характеристикой суждения как особой формы мысли. Именно благодаря этому суждение обладает еще одним важным признаком: оно может быть истинным или ложным. Ни одна другая форма мысли не обладает этими особенностями. Когда мы пользуемся понятиями, произносим, например, сло­ва “стул”, “русалка”, “Килиманджаро”, мы ничего не утверждаем и не отрицаем относительно предметов, входящих в объемы этих понятий. Поэтому понятия не оцениваются как истинные или ложные. Но когда мы высказываем суждение, например, “Килиманд­жаро находится в Африке”, мы уже что-то утвержда­ем о Килиманджаро, и это утверждение может ока­заться как истинным, так и ложным. В этом заключа­ется величайшая ценность суждений для познания:

именно в суждении выражается та истина, которую мы ищем, на которую опираемся в своей деятельно­сти и в своих рассуждениях.

В языке суждения выражаются посредством повествовательных предложений. Вопроситель­ные предложения не выражают суждений, ибо не содержат в себе ни утверждения, ни отрицания, характерных для суждений. Например: “Что день грядущий мне готовит?”, “Когда ты ко мне при­дешь?” - здесь нет ни утверждения, ни отрица­ния, поэтому вопрос и не оценивается как истин­ный или ложный, т.е. не выражает суждения. Правда, вопрос опирается на суждение или, как говорят, неявно содержит в себе суждение. И если суждение, лежащее в его основе, истинно, вопрос оценивается как осмысленный, если же оно лож­но, вопрос не имеет смысла. Когда вы спрашивае­те: “Кто там стучит?”, то вы неявно предполагаете, что кто-то стучит, т.е. что суждение “Сейчас кто-то стучит” истинно. Если же в полной тишине вы спросите: “Кто там стучит?”, окружающие подума­ют, что у вас галлюцинации.

Восклицательные предложения, когда они выра­жают побуждение к действию или эмоциональное

состояние, также не являются суждениями. Напри­мер: “Дай, Джим, на счастье лапу мне!” или “Граж­дане, будьте взаимно вежливы!” - здесь ничего не утверждается и не отрицается, следовательно, здесь нет суждения.

Итак, только повествовательные предложения выражают суждения. Но и то не все. Когда-то счи­тали, что любое правильно построенное повест­вовательное предложение выражает суждение. Однако в конце XIX - начале XX в. было обнару­жено, что среди правильно построенных предло­жений могут встречаться бессмысленные предло­жения, т.е. такие, которые не выражают сужде­ний. К сожалению, несмотря на усилия многих ученых, логика до сих пор не может ясно ответить на вопрос о том, когда некоторое предложение является осмысленным, а когда - бессмыслен­ным. Здесь приходится полагаться на интуицию. Возьмем, например, предложение: “Семь есть нечетное число”. Здесь имеется утверждение, следовательно, это предложение выражает суж­дение, и даже истинное. Теперь в этом предложе­нии слово “семь” заменим словами “Юлий Це­зарь”, получим: “Юлий Цезарь есть нечетное чис­ло”. Грамматическое строение сохранилось, но осмысленно ли получившееся предложение? Многие ученые считают, что такие предложения, как “Глубокая корова весело смеялась” или “Ма­ма, ваш сын прекрасно болен - у него пожар сердца”, бессмысленны.

Если вы согласны с этим, то вам придется при­знать бессмысленной почти всю поэзию, значительную часть прозы и громадные пласты повседневной речи. Вы слышали, как армейский старшина обра­щается к солдатам: “Опять водку пьянствуете, а по­том ходите красные, как огурцы!” или “Ваши знания гроша выеденного не стоят!” А вот высказывания из школьных сочинений: “Соловей сидел на ветке и громко каркал”; “У него был нос с тонкими черта­ми лица”; “Если огород не поливать, то удои капус­ты уменьшатся”; “Зайцы сидели под кустом, тихо сложив руки”; “Володя бежал, весело перебирая двумя ногами” и т.п.

С точки зрения логики все эти высказывания бессмысленны. В то же время мы их понимаем, схватываем какую-то содержащуюся в них мысль или образ, следовательно, в них есть какой-то смысл. Логика вырабатывает все более точные и тонкие критерии осмысленности предложений, но человеческий язык всегда будет выходить за пределы этих критериев. И это естественно и прекрасно!

1) Расстояние между городами А и В равно 30 км. Однажды утром из этих городов навстречу друг другу вышли два пешехода со скоростью 5 км в час каждый. Одновременно с одним из них в по­ход вылетела муха и полетела навстречу другому пешеходу со скоростью 10 км в час. Встретив второ­го пешехода, муха тотчас же поворачивает обратно и летит до встречи с первым пешеходом. Затем опять поворачивает и так летает между пешеходами до тех пор, пока они не встретятся. В момент встре­чи муха успокаивается и садится одному из пешехо­дов на шляпу. Сколько километров до встречи пе­шеходов пролетела муха?

СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО СУЖДЕНИЯ

Простым называется суждение, не содержащее ло­гических связок. (Вопрос о том, что такое логичес­кие связки, рассмотрим позже, а пока удовлетво­римся этим определением.)

Атрибутивное суждение утверждает или отрица­ет принадлежность предмету каких-либо свойств, состояний, видов активности, например: “Роза при­ятно пахнет”, “Кролики не едят мяса”. Оно состоит из трех элементов: субъекта, предиката и связки.

Субъектом суждения называют понятие о пред­мете нашей мысли: о чем (о ком) мы мыслим, о чем мы судим? В приведенных примерах в качестве субъекта выступают понятия “роза” и “кролики”.

Предикатом суждения называют понятие о при­знаке или состоянии, наличие или отсутствие кото­рого отображается в суждении: что мы приписыва­ем предмету нашей мысли или что мы отрицаем у него? В приведенных примерах предикатом явля­ются понятия “приятно пахнет” и “едят мясо”.

Субъект и предикат - это два понятия, входящие в состав суждения. Однако, просто высказав два ка­ких-то понятия, мы еще не получим суждения. Их еще нужно связать, поставить в определенное отно­шение - только тогда они образуют новую форму мысли. Поэтому третьим необходимым элементом суждения является связка. В русском языке связка ную часть прозы и громадные пласты повседневной речи. Вы слышали, как армейский старшина обра­щается к солдатам: “Опять водку пьянствуете, а по­том ходите красные, как огурцы!” или “Ваши знания гроша выеденного не стоят!” А вот высказывания из школьных сочинений: “Соловей сидел на ветке и громко каркал”; “У него был нос с тонкими черта­ми лица”; “Если огород не поливать, то удои капус­ты уменьшатся”; “Зайцы сидели под кустом, тихо сложив руки”; “Володя бежал, весело перебирая двумя ногами” и т.п.

С точки зрения логики все эти высказывания бессмысленны. В то же время мы их понимаем, схватываем какую-то содержащуюся в них мысль или образ, следовательно, в них есть какой-то смысл. Логика вырабатывает все более точные и тонкие критерии осмысленности предложений, но человеческий язык всегда будет выходить за пределы этих критериев. И это естественно и прекрасно!

1) Расстояние между городами А и В равно 30 км. Однажды утром из этих городов навстречу друг другу вышли два пешехода со скоростью 5 км в час каждый. Одновременно с одним из них в по­ход вылетела муха и полетела навстречу другому пешеходу со скоростью 10 км в час. Встретив второ­го пешехода, муха тотчас же поворачивает обратно и летит до встречи с первым пешеходом. Затем опять поворачивает и та к летает между пешеходами до тех пор, пока они не встретятся. В момент встре­чи муха успокаивается и садится одному из пешехо­дов на шляпу. Сколько километров до встречи пе­шеходов пролетела муха?

СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО СУЖДЕНИЯ

Простым называется суждение, не содержащее ло­гических связок. (Вопрос о том, что такое логичес­кие связки, рассмотрим позже, а пока удовлетво­римся этим определением.)

Атрибутивное суждение утверждает или отрица­ет принадлежность предмету каких-либо свойств, состояний, видов активности, например: “Роза при­ятно пахнет”, “Кролики не едят мяса”. Оно состоит из трех элементов: субъекта, предиката и связки.

Субъектом суждения называют понятие о пред­мете нашей мысли: о чем (о ком) мы мыслим, о чем мы судим? В приведенных примерах в качестве субъекта выступают понятия “роза” и “кролики”.

Предикатом суждения называют понятие о при­знаке или состоянии, наличие или отсутствие кото­рого отображается в суждении: что мы приписыва­ем предмету нашей мысли или что мы отрицаем у него? В приведенных примерах предикатом явля­ются понятия “приятно пахнет” и “едят мясо”.

Субъект и предикат - это два понятия, входящие в состав суждения. Однако, просто высказав два ка­ких-то понятия, мы еще не получим суждения. Их еще нужно связать, поставить в определенное отно­шение - только тогда они образуют новую форму мысли. Поэтому третьим необходимым элементом суждения является связка. В русском языке связка выражается словами “есть”, “суть”, “является” или их временными и модальными формами, иногда она заменяется тире, а часто и вовсе опускается, од­нако она всегда присутствует в суждении, ибо толь­ко связка вносит в суждение тот элемент утвержде­ния или отрицания, без которого оно распадается на два безразличных друг другу понятия.

Субъект суждения принято обозначать буквой “S” (от лат. Subjectum), предикат — буквой “Р” (от лат. Praedicatum), и в обобщенном виде логическая структура простого атрибутивного суждения может быть представлена как “S есть Р” или “S не есть Р”. Во избежание ошибок при разнообразных манипу­ляциях с суждениями следует всегда формулиро­вать связку в явном виде и представлять суждение в канонической форме, например, в суждении “Кролики не едят мяса” нужно увидеть каноничес­кую структуру: “Кролики не есть едящие мясо”.

Обратите внимание на то, что членение сужде­ния на субъект и предикат не совпадает с членением предложения на подлежащее и сказуемое, ибо в первом случае мы выделяем элементы мысли, а во втором - элементы ее языкового выражения. Грам­матика говорит также о второстепенных членах предложения - дополнениях, обстоятельствах и т.д., логика от всего этого отвлекается. Например, в предложении “Громко квакали зеленые лягушки” подлежащим будет слово “лягушки”, сказуемым — “квакали”, “зеленые” — определением, “громко” -обстоятельством действия. С точки зрения логики, в суждении, выражаемом данным предложением, всего лишь два понятия: “зеленые лягушки” являет­ся субъектом, а “громко квакали” - предикатом. Связка опущена и выражается согласованием слов.

Структура мысли всегда проще, чем структура выражающего его предложения, ибо мысли по сво­ему строению приблизительно одинаковы у всех людей, а языки народов сильно отличаются в силу случайностей исторического развития: в одних язы­ках есть артикль, в других - нет; в английской грам­матике, по сути, нет деления существительных по родам, в русском - оно есть; в немецком языке обя­зательно присутствие в предложении вспомога­тельных глаголов, в русском языке мы обходимся без них и т.д.

2) По реке плывут 3 парохода. Навстречу им плывут другие 3 парохода. Река настолько узкая, что, пароходы разъехаться не могут. Однако на реке, как раз на месте встречи, имеется небольшой залив, вмещающий только один пароход. Могут ли и ка­ким образом пароходы разойтись и продолжить свой путь по реке в том же порядке, в котором они встретились?

ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

По качеству связки (“есть” или “не есть”) про­стые суждения разделяются на утвердительные и отрицательные. “Книги стоят на полках” — ут­вердительное суждение; “Попугаи не живут в Си­бири” - отрицательное. Следует обратить внима­ние на то, что в отрицательных суждениях отрицание “не” стоит перед связкой. Отрицательные суждения нельзя смешивать с утвердительными суждениями, в которых предикатом является от­рицательное понятие типа “несмелый”, “неуме­лый”, “невысокий” и т.п. Когда мы слышим: “Петр не глуп”, то далеко не всегда ясно, что имеется в виду - отрицательное суждение “Петр не есть глуп” или утвердительное суждение с отрицатель­ным предикатом “Петр есть неглуп”. Но это — раз­ные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам.

В зависимости от того, обо всем объеме субъек­та идет речь в суждении или лишь о его части, суж­дения подразделяются на общие и частные. Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово (или просто квантор): все, всякий, каждый, ни один - для об­щих суждений (эти слова показывают, что в сужде­нии речь идет обо всех предметах, включенных в объем субъекта); некоторые, большинство, от­дельные - для частных суждений (эти слова пока­зывают, что в суждении речь идет лишь о некоторых предметах, входящих в объем субъекта). Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логиче­ской структуры суждения его следует формулиро­вать в явном виде. Пример: “Ни один кит не являет­ся рыбой” - общее суждение; “Некоторые цветы — розы” — частное.

Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную класси­фикацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Общеутвердительные суждения: “Все S есть Р”, например: “Все люди — позвоночные”.

Общеотрицательные суждения (“Ни одно S не есть Р”), например: “Ни один таракан не является лошадью”.

Частноутвердительные суждения: “Некоторые S есть Р”, например: “Некоторые элементарные час­тицы имеют положительный заряд”.

Частноотрицательные суждения: “Некоторые S не есть Р”, например: “Некоторые деревья не явля­ются хвойными”.

Единичные суждения, т.е. суждения, говорящие

06 отдельных предметах, в этой классификации от­носятся к общим суждениям, например, “Автор "Гулливера" жил в Англии” рассматривается как об­щее, поскольку в нем речь идет обо всем объеме субъекта, подразумевается, что, так сказать, “вся­кий автор "Гулливера" или “весь автор "Гулливе­ра"” жил в Англии. Точно так же обстоит дело со всеми другими единичными суждениями.

3) Идет как- то крестьянин по дороге и причитает: “Ну что же это такое! Вечно у меня ничего нет! Вон, посмотришь, у других - было много, а стало еще больше. А у меня в кармане только несколько копеек осталось. Хоть бы кто-нибудь мне помог!” Только он эти слова произнес, а перед ним ~ сам черт! Все как полагается — копыта, хвост, морда от­вратительная, но... улыбается. “Давай помогу, — предлагает черт крестьянину. - Видишь мост через реку? Как только перейдешь по мосту на другой бе­рег - деньги у тебя в кармане удвоятся. Перейдешь назад — опять удвоятся, и так будут удваиваться всякий раз, как ты по мосту пройдешь. Одно только условие: каждый раз, когда ты через мост прой­дешь, будешь отдавать мне 24 копейки, осталь­ное - твое. Согласен?” Подумал крестьянин: нет ли тут подвоха какого? Черт все-таки! Потом решился:

“Согласен!”

Перешел крестьянин через мост один раз — и правда, количество денег в кармане удвоилось! Бросил черту 24 копейки, повернул назад, прошел через мост второй раз — опять денег стало вдвое больше! Бросил черту его 24 копейки, повернул и пошел через мост в третий раз. Деньги опять уд­воились, да только отдал он черту 24 копейки и все - ничего у него в кармане не осталось, ни единой копеечки...

Сколько же денег было в кармане у крестьянина, когда он встретился с чертом? Сколько ему нужно было иметь, чтобы хотя бы остаться при своих? Сколько нужно было иметь, чтобы нажиться на этой сделке?

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ

Сложным называют суждение, содержащее логи­ческие связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как

элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некото­рое простое суждение. Откуда это видно? Отвле­каясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы го­ворим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суж­дение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразуме­ваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой фор­мальные аналоги союзов нашего родного естест­венного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощу­щается гораздо большая связь мысли с языком, по­этому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем исполь­зовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логиче­скими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответ­ствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обсто­ятельство. Выше мы говорили о простых отрицатель­ных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрица­ния — внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицатель­ным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суж­дению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то та­кое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подбере­зовики и маслята”. Это сложное суждение пред­ставляет собой конъюнкцию двух простых сужде­ний: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выгля­дит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., ли­бо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответ­ствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “—>”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а —> Ь. Пример: “Если по про­воднику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке со­юз “если... то” обычно соединяет предложения, ко­торые выражают причинно-следственную связь яв­лений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью ука­занных выше обозначений означает их форма­лизацию, которая во многих случаях оказывает­ся полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове ус­траиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужест­ранцев, правитель острова издал указ: “Всякий при­езжий, желающий поселиться на нашем благосло­венном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чу­жестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишь­ся — тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать сужде­ние, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение - это тоже мысль, ко­торая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Во­прос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики — на него отвечают конкретные на­уки, повседневная практика или наблюдение. Ис­тинно или ложно суждение “Все киты - млекопи­тающие”? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или лож­но суждение “Железо тонет в воде”? Нужно обра­титься к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложнос­ти простых суждений в итоге всегда решается по­средством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция “а & Ь” и нам известно, что суждение “а” истинно, а суждение “Ь” ложно. Что можно ска­зать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка “&”, то трудности не возникло бы:

обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: “Есть! Конъюнкция истинна!”; обшарив все вокруг и не об­наружив соответствующего объекта, мы бы конста­тировали: “Конъюнкция ложна”. Но дело в том, что логическим связкам - как, впрочем, и союзам есте­ственного языка - в реальности ничего не соответ­ствует! Это изобретенные нами средства связи мыс­лей или предложений, это - орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому во­прос об истинности или ложности высказываний с логическими связками - не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логичес­кий вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглаше­ния относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда — ложными. Конечно, в основе этих согла­шений лежат некоторые рациональные соображе­ния, однако важно иметь в виду, что это - наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны из­менять эти соглашения и делаем это, когда счита­ем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, по­казывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких - ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, яв­ляющихся компонентами сложного суждения. “Истина” (“и”) и “ложь” (“л”) называются “ис­тинностными значениями” суждения: если пере­менная представляет истинное суждение, она принимает значение “истина”; если же - ложное, она принимает значение “ложь”. Каждая пере­менная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следую­щим образом:

А	-А
и	л
л	и

 

Если исходное суждение истинно, то его отри­цание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглаше­ние соответствует нашей интуиции. Действитель­но, суждение “Байрон был английским поэтом” истинно, поэтому его отрицание “Неверно, что Байрон был английским поэтом” естественно счи­тать ложным. Суждение “Афины находятся в Ита­лии” ложно, поэтому его отрицание “Неверно, что Афины находятся в Италии” естественно счи­тать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

	а	Ь	а&Ь	a v b	а -> b
	и	и	и	и	и
	и	л	л	и	л
	л	и	л	и	и
	л	л	л	л	и

 

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре воз­можности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое - ложно; одно ложно, другое - истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1—4.

Конъюнкция истинна только в одном случае -когда оба ее члена истинны. Во всех остальных слу­чаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: “Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна”. Вы действительно вышли замуж за это­го человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Вто­рой случай: вы вышли замуж, но не храните верно­сти своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, - конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и хра­ните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстро­енных чувствах: вы его обманули - конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не хра­ните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло об­манули - конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и табли­цу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение “Если солнце взошло, на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солн­це взошло” и “На улице стало светло”. Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истин­ной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на ули­це светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно:

на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступ­лением светлого времени суток. Импликацию можно считать и