Математические модели сигналов, помех и каналов связи

Поскольку как указывалось выше реальные сигналы всегда имеют случайный характер, наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовский случайный процесс, гауссовский белый шум.

Телеграфным сигналом называют случайную последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями t1 и t2 и детерминированными амплитудами s, -s.

Если длительности импульсов распределены по показательным законам

;

с параметрами l1 и l2, то телеграфный сигнал является стационарным случайным процессом (M1=M2=M, корреляционная функция К зависит от t) корреляционная функция которого имеет вид:

где s2 – дисперсия процесса, а = l1 + l2 – параметр, полностью определяющий корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала.

Изменением а можно в широком диапазоне изменять корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса.

Интервал корреляции

.

Отсюда видно, чем меньше а, тем больше время корреляции и наоборот. При aà0, Dtॠи процесс вырождается в детерминированный. При aà¥, Dtà0 и процесс вырождается в белый шум, у которого все сечения некоррелированы.

Спектральная плотность телеграфного сигнала

.

(из выражения Хинчина-Винера).

Ширина спектра телеграфного сигнала

.

Отсюда видно, что при aà0, Dwà0 процесс вырождается в детерминированный, при aà¥, Dwॠпроцесс вырождается в белый шум с постоянной спектральной плотностью.

Белый шум – используется как модель наиболее тяжелого случая помехи в каналах связи. Он является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью S(w)=S0.

Определим основные его характеристики. Введем спектральную плотность (здесь исходим из того факта, что белый шум – это предельное состояние при aॠтелеграфного сигнала). Тогда

.

Отсюда следует, что lim S(w) = S0 если s2ॠтак, что

.

Выразим через а дисперсию:

.

Отсюда видно, что при aॠдисперсия белого шума бесконечна. По физическому смыслу спектральная плотность это мощность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот, т.к.

.

Отсюда следует, что , т.е. мощность белого шума не ограничена.

Таким образом, белый шум – это случайный процесс с постоянной спектральной плотностью S0, значения белого шума при любых t¹0 не коррелированы, дисперсия и мощность белого шума бесконечны.

Гауссовский случайный процесс имеет n-мерную плотность распределения вида

.

Здесь – определитель; s2 – дисперсия, m = 0;
Rik = K(titk); Aik – алгебраическое дополнение Rik в А.

Для стационарного процесса Rik = Rki = K(t), t = tk – ti. Поэтому для гауссовского процесса по корреляционной функции можно определить из выражения Хинчина-Винера плотность распределения любого порядка.

Гауссовский процесс, являющийся белым шумом (гауссовский белый шум) имеет все n сечений некоррелированные и Aik=1; A=1;
Rik = Rki = dik (dik – символ Кронекера). Поэтому плотность распределения n порядка гауссовского белого шума определяется как произведение из n одномерных плотностей распределения

.

Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в результате сложения большого числа независимых или слабо коррелированных случайных колебаний.

 

Модели каналов связи

 

Чтобы дать математическое описание канала связи необходимо и достаточно указать множество сигналов на входе и для любого допустимого сигнала задать (построить распределение вероятности) случайный сигнал (процесс) на выходе канала. Точное математическое описание реального канала очень сложно. Поэтому пользуются упрощенными математическими моделями каналов. Наибольшее распространение получили математические модели следующих видов:

Идеальный канал связи без помех – линейная цепь с постоянной передаточной функцией, сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в ограниченной полосе частот F и имеющие ограниченную среднюю мощность РС. Выходной сигнал в таком канале при заданном входном сигнале является детерминированным. Эта модель иногда используется для описания кабельных каналов связи. Однако, строго говоря, она непригодна для реальных каналов, в которых всегда присутствуют хотя и очень слабые, аддитивные помехи.

Канал с аддитивным гауссовским шумом, в котором сигнал на выходе

Z(t) = KU(t – t) + N(t),

где U(t) – входной сигнал;

K и t – постоянные;

N(t) – гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией.

Обычно запаздывание t не учитывается. N(t) – чаще всего гауссовский белый шум с постоянной плотностью распределения в полосе спектра входного сигнала U(t). В этой модели могут использоваться заданные функции времени величин K(t) и t(t) – т.е. коэффициент передачи канала K(t) и время запаздывания t(t) – функции времени. Такая модель удовлетворительно описывает многие проводные каналы связи, радиоканалы при связи в пределах прямой видимости, радиоканалы с медленными замираниями, когда можно надежно предсказать К и t.

Канал с неопределенной фазой сигнала – отличается от предыдущего тем, что t – случайная величина. Для узкополосных сигналов при K=const и случайных t(t) имеем:

, (1.4)

где – преобразование Гильберта от U(t);

Qk = w0t – случайная начальная фаза.

Распределение вероятностей Qk предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале (0, 2p). Эта модель описывает те же каналы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует за счет изменения протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал.

Гауссовский однолучевой канал с общими замираниями (флуктуациями амплитуд и фаз сигнала). Используется выражение (1.4), только вводятся К и Qk как случайные процессы. То есть случайными будут квадратурные компоненты

X = K cos Qk;

Y = K sin Qk.

Если эти компоненты зависят от времени, то:

.

Эта модель достаточно хорошо описывает многие радиоканалы в различных диапазонах волн. Существуют и другие модели. Это все модели непрерывных каналов связи.

Переходя к моделям дискретных каналов напомним, что такой канал содержит непрерывный канал и модем (модулятор, демодулятор). Поэтому в принципе модель дискретного канала можно построить из моделей непрерывного канала и модема. Однако в ряде случаев такой путь очень сложен. Поэтому применяют более простые модели.

Модель дискретного канала задана если известны: алфавит и априорные вероятности P(Bk) появления символов Bk сообщений (k=1, 2, …, m) (m – объем алфавита); техническая скорость передачи символов бод, где Т – длительность передачи одного символа; алфавит символов на выходе (i = 1, 2, …, m); априорная условная вероятность появления символа при условии, что был передан символ Bk. Результатом анализа дискретного канала является определение апостериорной условной вероятности того, что при получении символа передавался символ Bk. С помощью этих апостериорных вероятностей и априорных вероятностей P(Bk) рассчитывают полные вероятности появления ошибки в канале, правильного приема, вероятность появления символов на выходе, скорость передачи информации, пропускную способность канала, количество принятой информации и другие.

Симметричный канал без памяти – определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный символ Bk может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью Р и правильно с вероятностью (1-Р), причем в случае ошибки вместо переданного символа Bk может быть принят с равной вероятностью любой другой символ. Таким образом условная вероятность того, что принят символ , если был передан символ Bk равна

Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приема не зависит от предыстории (т.е. какие раньше передавались символы и как они были приняты). Переходные вероятности для такой модели канала имеют вид (если канал двоичный):

 

Симметричный канал без памяти со стиранием – отличается от предыдущего тем, что алфавит на входе содержит дополнительный (m+1) символ "?", который появляется когда демодулятор не может надежно опознать переданный символ Bk. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа Рс является постоянной величиной и не зависит от передаваемого символа. Вероятности переходов для этой модели имеют вид:

 

Несимметричный канал без памяти – характеризуется тем, что вероятности ошибки не зависят друг от друга, однако зависят от того, какой символ передается. То есть вероятность Р(1/0)¹Р(0/1) для двоичного канала. Для этой модели переходные вероятности имеют вид:

 

Марковский канал – простейшая модель дискретного канала с памятью. Здесь вероятность ошибки образует простую цепь Маркова, т.е. зависит от того правильно или неправильно принят предыдущий символ, но не зависит от того, какой символ передается.

Канал c неаддитивным шумом и с памятью. Вероятность ошибки в нем зависит от передаваемых символов, как в модели несимметричного канала без памяти, но не от того символа, для которого определяется вероятность ошибки, а от символов, которые передавались до него.

Таким образом, мы рассмотрели модели сигналов, помех и каналов связи. Перейдем теперь к рассмотрению методов модуляции в системах связи.