Математическое обеспечение (МО) САПР

Эффективность САПР определяется качеством математического обеспечения. От того, какие математические модели будут использованы при проектировании, насколько современны методы и алгоритмы принятия проектных решений, зависит качество, сроки и затраты.

Математическое обеспечение состоит из:

1. Математических моделей объекта проектирования

2. Математических моделей процесса проектирования

3. Методов и алгоритмов выполнения проектных операций и процедур.

 

Математическое обеспечение можно разделить на две части:

1. Специальную часть – отражает специфику объекта проектирования, его функционирование и иерархический уровень строения.

2. Инвариантную часть – включает методы и алгоритмы общего применения без относительной специфики объекта проектирования (это чаще всего методы и алгоритмы многовариантного анализа и параметрического синтеза).

 

К математическому обеспечению предъявляют требования:

1. Универсальность. МО применяют к широкому классу проектных объектов. При этом под универсальностью не понимается возможность описания одной математической моделью всех свойств объекта. Например функциональные модели, описывающие процессы, происходящие в объекте не отражают его структуру, геометрические свойства и наоборот. Степень универсальности не имеет количественной оценки, а только качественную.

2. Алгоритмическая надежность – свойство математического обеспечения давать правильные результаты при выполнении заданных ограничений на применение моделей или методов. Количественной оценкой алгоритмической надёжности служит вероятность получения правильных результатов при соблюдении оговоренных ограничений на применимость метода. Если вероятность равна единице или близка к ней, то говорят, что метод алгоритмически надёжен.

3. Точность – степень совпадения расчетных и истинных результатов. Математические методы могут быть алгоритмически надёжны, но давать различную точность. Если точность ниже предельно допустимой, либо модель вообще не даёт решения, тогда говорят об алгоритмической ненадёжности. Точность оценивается погрешностью:

Решение проектных задач характеризуется:

1) использованием многих компонент МО (модели, алгоритмы анализа и оптимизации), каждый из которых может вносить погрешности.

2) векторным характером результатов – вектор выходных параметров, координаты оптимальной точки.

Пусть имеем вектор выходных параметров Y=(y1, …, yi, yn). Тогда погрешность ε_i расчета параметра у_i определяется как:

 

, где

 

yim – расчетное значение результатов

yi ист – истинное значение результатов

 

Эту погрешность можно свести к скалярной в виде m - нормы:

или в виде l- нормы

 

При разработке моделей надо помнить, что стремление к чрезмерной точности может привести к громоскости и трудно реализуемости модели.

4. Адекватность – это способность моделей отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной

5. Экономичность – характеризуется затратами машинного времени и памяти. Затраты памяти определяют длиной программы и объемом исходных данных.

Уменьшить затраты времени и памяти можно рядом методов:

1) при использование разреженных матриц (т.е. матриц, содержащих большое количество нулевых элементов), сэкономить машинную память можно, если каким-то образом хранить в памяти ЭВМ только ненулевые элементы матрицы;

2) исследование сложных систем по частям. Производится расчленение математических моделей на части, которые исследуются самостоятельно;

3) рациональное использование эвристических возможностей человека. В меру своей интуиции и опыта человек может выбрать перспективное продолжение хода вычислений, не вычисляя все возможные варианты..

Математические модели объекта проектирования

В зависимости от отображаемых свойств объекта различают:

- структурные модели

- геометрические модели

- функциональные модели

 

Структурные модели

Структурные модели отражают взаимное расположение и наличие связей между элементами объекта проектирования. Наибольшее распространение в САПР находят структурные модели в виде графов. Достоинствами – графовых моделей являются простота и наглядность представления структуры объекта в виде графа, возможность постановки большого числа различных формальных задач на графах, простота представления графов в ЭВМ.

Граф – это множество вершин X= {x1, …, xi, …, xn} и множество ребер

U= {u1, …, uj, …,um}, соединяющих вершины. Каждое ребро uj есть пара вида (х_i,x_j). Вершины связанные ребром, называются смежными. Наличие ребра между вершинами xi и x_j означает наличие связи между элементами

xi и x_j (логическую, электрическую, механическую). Кроме связей важно бывает предоставить направление этой связи. Направление моделируется ребром со стрелкой – это ориентированный граф. Если есть несколько связей между вершинами, то это мультиграф.

Часто необходимо задать дополнительную информацию о ребрах или вершинах (например, расстояние). Эта дополнительная информация задается с помощью цифровых меток, которые присваиваются рёбрам или вершинам. Метки называются весами, а граф – называется взвешенним.

Для представления графа в ЭВМ удобно использовать специальные матрицы – смежности и инцидентности (Bn×m)

Матрица смежности А – квадратная размерности n с элементами a_ij определяемыми по следующему правилу:

Матрица инцидентности В – прямоугольная матрица размерности nxm, элементы в_ik которой находятся по следующему правилу:

Бинарный характер матриц А и В позволяет экономно записывать матрицы в память ЭВМ, отводя на каждый элемент по одному двоичному разряду машинного слова. Это дает возможность хранить и обрабатывать матрицы очень большой размерности.

Путем или маршрутом в графе называется последовательность смежных ребер вида....(х_i,x_j), (х_j,x_k),(х_k,x_l).....Цепью называется маршрут, в которой нет повторяющихся ребер. Циклом называется замкнутая цепь. Граф, у которого нет циклов, называется ациклическим (деревом).

 

Геометрические модели

 

Это модели, которые с определённой точностью описывают геометрические свойства проектируемого объекта. Геометрические свойства – это пространственное отношение и формы (фигуры). В геометрии понятие пространство и фигуры определяется исходя из понятия множества. Пространство определяется как множество каких-либо элементов (точек), а фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве.

В САПР используется математическое представление геометрической модели. Наука, которая занимается этим – инженерная (прикладная) геометрия. При геометрическом моделировании объект проектирования предстаёт как геометрический объект (ГО). Для любого геометрического объекта можно определить совокупность независимых условий, однозначно задающих этот объект, то есть позволяющие для любой точки пространства установить, принадлежит эта точка объекту или нет. Такую совокупность независимых условий называют определителем геометрического объекта. В число условий входят геометрические фигуры (точки, линии, поверхности,) и определённая последовательность действий, посредством которых из этих геометрических фигур можно построить данный геометрический объект. Эта последовательность действий называется алгоритмом воспроизведения данного геометрического объекта.

Количественно геометрический объект характеризуется параметрами. При выделении параметров важно учитывать области их существования, например, для треугольника числа, выражающие длины сторон, всегда больше нуля и сумма двух чисел больше третьего числа.

Для описания геометрической фигуры необходимо выделить параметры двух типов – формы и положения. Параметры формы характеризуют размеры и форму геометрической фигуры, они не изменяются при изменении положения фигуры в пространстве; параметры положения характеризуют положение геометрической фигуры в пространстве. Параметризация формы производится в системе координат, которая связана с самой фигурой и перемещается вместе с ней. Параметризация положения фигуры производится в системе координат независимо от фигуры.

При описании геометрического объекта различают подмножества граничных точек – поверхность геометрического объекта; и подмножество внутренних точек – тело геометрического объекта.

Геометрические объекты бывают сложной формы и сложной структуры. Геометрические объекты сложной формы – это те, у которых поверхность сложного характера (например, корпус судна, автомобиля). Геометрические объекты сложной структуры – состоящие из нескольких ГО.

В автоматизированном проектировании известны два основных подхода к геометрическому модулированию:

Первый подход состоит в том, что выделяется некоторый набор геометрических фигур, которые в данном классе задач считаются элементарными (базовыми). Наряду с геометрическим набором вводится набор действий – геометрических операций над этим набором. Геометрический объект в этом случае называется составным (конструктивным).

Второй подход непосредственное описание и воспроизведение геометрических свойств объекта без использования вспомогательных, заранее заготовленных фиксированных фигур. В этом случае непосредственно описывается закон образования геометрического объекта как множество точек, обладающих соответствующими свойствами.

Подход, основанный на «прямом» моделировании геометрического объекта, в зависимости от способа формирования можно разделить на кусочно-аналитические и алгебро-логические модели объекта.

В кусочно-аналитических моделях поверхность объекта представляется отдельными кусками гладких поверхностей, называемыми гранями. Каждая грань задаётся своим уравнением поверхности и границами грани. Рёбра геометрического объекта или границы грани есть линии пересечения поверхностей, ограничивающие геометрический объект. Точки пересечения рёбер называются вершинами.

Существует три вида моделей: стержневая, оболочная и объемная.

Стержневая модель геометрического объекта позволяет весьма просто дать форму изображения проектируемого объекта путём построения проволочно-каркасной модели геометрического объекта. В такой модели описываются только рёбра и вершины геометрического объекта, грани не описываются (рис.1а).Ребра представлены в виде стержней, соединенных в узлах (вершинах 1,2,3....). Основными уравнениями для описания такой модели являются уравнения прямой линии в трехмерном пространстве. Такая модель является подмоделью, но она позволяет оперативно осуществлять вывод изображения геометрического объекта, а также выполнять такие операции, как построение аксонометрических и перспективных проекций.

Математическое описание моделей такого рода сравнительно простое, что обуславливает высокое быстродействие программного обеспечение. К недостаткам таких моделей следует отнести сложность или невозможность представления внутреннего облика объекта, построения произвольных его разрезов и сечений.

 

Геометрические модели объекта

а – стержневая; б - оболочечная

Оболочечная модель объекта (рис.1б), основана на представлении внешнего облика объекта в виде совокупности поверхностей, являющихся гранями модели (А, Б, В...). Линии пересечения поверхностей образуют ребра модели.

Такая модель описывается системой уравнений поверхностей и может быть использована для моделирования внешнего облика объектов любой формы. Основной ее недостаток невозможность представления внутреннего облика объекта, построение его разрезов и сечений.

Наиболее современной моделью, нашедшее широкое применение в САПР, является объемная (твердотелая модель). Общепринятым порядком моделирования твердого тела является последовательность выполнения булевых операций (объединение, вычитание и пересечение) над объемными элементами (сферы, призмы, цилиндры, конусы, пирамиды и т.д.). Эти элементы описываются теми же уравнениями, что и поверхности оболочечной модели, однако объемные элементы считаются заполненными. Пример выполнения операций с объемными элементами показан на рис.2.

 

 

Рис.2. Операции с объемными элементами