Уравнивание угловых измерений

(вычисление угловой невязки и ее распределение)

Разность между суммой измеренных углов и теоретической их суммой называется угловой невязкой хода и обозначается fβ.

Уравнивание – это процесс математической обработки, в результате которой вычисляется и распределяется невязка.

Вычисляется сумма измеренных углов полигона Σβизм и теоретическая сумма углов Σβтеор. Теоретическая сумма для правых внутренних углов полигона вычисляется по формуле:

Σβ теор = 180o(n −2).

Угловая невязка хода f β вычисляется по формуле

f β =Σβ изм −Σβ теор.

Вычисленная угловая невязка f β не должна превышать предельно допустимую f β доп, которая вычисляется по формуле:

f β_доп 1′ √n,

где f β – фактическая невязка хода, мин; f β доп – предельно допустимая невязка, мин; n – количество измеренных углов полигона.

Вычисленная и допустимая невязки сравниваются.

Если вычисленная невязка больше допустимой: f β > f β доп, то необходимо проверить вычисления. Если вычисленная невязка меньше или равна допустимой: f _β≤ f _{β доп}, то угловая невязка f _β распределяется на измеренные углы с обратным знаком и поровну. Величина поправки не должна быть меньше точности отсчитывания при измерении углов. Поправка в измеренные углы вычисляется по формуле

δ_β=- β _f /n

Средние горизонтальные углы вычисляются с точностью 0,5′, поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью.

Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 0,5′ для исключения десятых долей минуты или 1′.

Контроль. Для контроля распределения поправки находим Σδ_β. Если вычисления верны, то Σδ_β = − f _β.

Вычисляются исправленные углы:

β испр = β изм+Δβ.

Контроль. Если вычисление и распределение угловой невязки выполнены верно, то сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме:

Σβ испр =Σβ теор.

Вычисление угловой невязки:

Σβ изм =100°37′+102°35′+137°11′+94°53′+104°42′= 539°58′.

Теоретическая сумма

Σβ теор = 180°(n − 2) = 180°(5 − 2) = 540°.

Угловая невязка

f β =Σβ изм −Σβ теор = 539°58′ − 540° = −2′.

Допустимая угловая невязка

f _{β доп} =1′√ n =1′√5= ±2,2′

Вычисленная угловая невязка меньше допустимой.

Распределение угловой невязки на измеренные углы.

Поправка равна +1′. Ее величина прибавляется к двум измеренным горизонтальным углам:

β₂ =102°35′+1′= 102°36′.

β₃ =137°11′+1′= 137°12′.

Контроль этапа:

Σβ испр =100°37′+ 102°36′ + 137°12′+ 94°53′104°42′= 540°.

Вычисление дирекционных углов

По известному дирекционному углу исходной стороны 5–1(α_5–1) и по исправленным горизонтальным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам для правых горизонтальных углов:

α _{n +1} = α n ±180°− β_испр,

т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправленный горизонтальный угол правый по ходу.

Величина дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°. Если величина дирекционного угла больше 360°, то из результата вычислений необходимо вычесть 360°

Контроль. В замкнутом теодолитном ходе в результате вычислений должен получиться дирекционный угол исходной стороны.

Вычисления дирекционных углов:

Дирекционный угол исходной стороны α_5–1 равен 32°47′

Вычисляются остальные дирекционные углы:

α_1-2=α_5-1±180°−β₁=32°47′+180°-100°37′=112°10′

α_2-3=α_1-2±180°−β₂=112°10′+180°-102°36′=189°34′

α_3-4=α_2-3±180°−β₃=189°34′+180°-137°12′=232°22′

α_4-5=α_3-4±180°−β₄=232°22′+180°-94°53′=317°29′

α_5-1=α_4-5±180°−β₅=317°29′+180°-104°42′=392°47′-360°=32°47′

Вычисление приращений координат

Вычисление приращений координат выполняется по формулам

Δ X = d cosα; Δ Y = d sinα,

где d – горизонтальное проложение (длина) линии;

α – дирекционный угол этой линии.

Приращения координат вычисляются с точностью до двух знаков после запятой.

Вычисления приращения координат

ΔX₅₋₁ = d₅₋₁cos α₅₋₁ =134,12 cos32°47′ =112,76

ΔX_1-2 = d_1-2cos α_1-2 =123,20 cos112°10′ =-46,48

ΔX_2-3 = d_2-3cos α_2-3 =99,75 cos189°34′ =-98,36

ΔX_3-4 = d_3-4cos α_3-4 =103,93 cos232°22′ =-63,46

ΔX_4-5 = d_4-5cos α_4-5 =130,00 cos317°29′ =102,21

ΔY₅₋₁ = d₅₋₁sin α₅₋₁ =134,12 sin32°47′ =72,62

ΔY_1-2 = d_1-2sin α_1-2 =123,20 sin112°10′ =114,09

ΔY_2-3 = d_2-3sin α_2-3 =99,75 sin189°34′ =-16,58

ΔY_3-4 = d_3-4sin α_3-4 =103,93 sin232°22′ =--82,31

ΔX_4-5 = d_3-4sin α_3-4 =103,93 sin232°22′ =-87,85

Уравнивание линейных измерений

(уравнивание приращений координат)

Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической их суммой называется линейной невязкой хода и обозначается f_Х и f_Y. Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям Х и Y.

Линейные невязки по осям вычисляются по формулам

f _X =ΣΔX −ΣΔX _теор; f _Y =ΣΔY−ΣΔY_теор.

Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. В замкнутом теодолитном ходе она равна нулю, тогда линейные невязки

f _X =ΣΔX; f_Y =ΣΔY.

Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для чего вычисляются:

– абсолютная невязка хода

f _абс =√ f _X + f _Y;

– относительная невязка хода

f_отн=f_абс/р

 

где Р – периметр хода (сумма горизонтальных проложений Σ di), м.

Контроль. После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма равняется невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно, т.е.

Σδ _Xi =− f_X и Σδ _Yi =− f_Y.

Вычисляются исправленные приращения координат по формулам

Δ X _испр = Δ X _вычисл + δ _X; Δ Y _испр = Δ Y _вычисл + δ _Y.

Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения.

Контроль. Вычисляется сумма исправленных приращений.

В замкнутом теодолитном ходе она должна равняться нулю, т.е. должно выполняться равенство

ΣΔ X _испр = 0 и ΣΔ Y _испр = 0.

Вычисления линейной невязки

f_X = ΣΔX = -46,48 + (−98,36) + 102,21+ 112,67 = +6,67;

f_Y = ΣΔY = 114,09+(-16,58)+(−82,31)+ (−87,85)+72,620 = −0,03;

f абс = √ f_X + f_Y = √6,67² + √(−0,03)² = 6,67;

f отн= fабс /Р=6,67/591,00=0,017

Вычисления поправок в приращения координат:

δ_х1=(-fx/P)*d_1-2=-6,67/591*123,20=-1,39

δ_х2=(-fx/P)*d_2-3=-6,67/591*99,75=-1,13

δ_х3=(-fx/P)*d_3-4=-6,67/591*103,92=-1,17

δ_х4=(-fx/P)*d_4-5=-6,67/591*130,00=-1,47

δ₅=(-fx/P)*d_5-1=-6,67/591*134,12=-1,51

Контроль. Σ = −6,67

δ_y1=(-fy/P)*d_1-2=-0,03/591*123,20=0,006

δ_y2=(-fy/P)*d_2-3=-0,03/591*99,75=0,005

δ_y3=(-fy/P)*d_3-4=-0,03/591*103,93=0,005

δ_y4=(-fy/P)*d_4-5=-0,03/591*130,00=0,007

δ_y5=(-fy/P)*d_5-1=-0,03/591*134,12=0,007

Контроль. Σ = +0,03

Вычисления исправленных приращений координат

ΔX_{1−2испр}=-46,48+(-1,39)=-47,87

ΔX_2-3испр=-98,36+(-1,13)=-99,49

ΔX_3-4испр=-63,46+(-1,17)=-64,63

ΔX_4-5испр=102,21+(-1,47)=100,74

ΔX_5-1испр=112,76+(-1,51)=111,25

Контроль. ΣΔ X = 0

ΔY_{1−2испр}=114,09+0,005=114,095

ΔY_2-3испр=-16,58+0,005=-16,575

ΔY_3-4испр=-82,31+0,007=-82,303

ΔY_4-5испр=-87,85+0,007=-87,843

ΔY_5-1испр=72,62+0,006=72,626

Контроль. ΣΔ Y = 0.

Сумма исправленных приращений равна нулю, т.е. контроль выполняется.

Вычисление координат точек теодолитного хода

Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам

X_{n +1} = X_n + Δ X _испр; Y_{n +1} = Y_n + Δ Y _испр,

т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение координат.

Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек замкнутого теодолитного хода должны получиться координаты исходной точки.

Вычисления координат точек теодолитного хода

X 2 = X 1 + Δ X = 645,34 +(-47,87) = 597,47;

X 3 = X 2 + Δ X = 597,47+ (−99,49) = 497,98;

X 4 = X 3 + Δ X = 497,98 + (−64,63) = 433,35;

X 5 = X 4 + Δ X = 433,35+ 100,74 = 534,09;

X 1 = X 5 + Δ X = 534,09 +111,25 = 645,34;

Y 2 = Y 1 + Δ Y = 896,45+114,095 = 1010,545;

Y 3 = Y 2 + Δ Y = 1010,545+(-16,575) = 993,97;

Y 4 = Y 3 + Δ Y = 993,97+ (-82,303) = 911,667;

Y 5 = Y 4 + Δ Y = 911,667 + (−87,843) = 823,824;

Y 1 = Y 5 + Δ Y = 823,824+ 72,626 = 896,45.

Контроль получился, т.е. в результате вычислений получились координаты исходной точки.

1.3.6 Построение контурного плана теодолитной съемки

Из ведомости вычисления координат выбираются максимальное и минимальное значения координат по оси Х и Y и вычисляются средние значения:

Xср = 0,5⋅(Xmax + Xmin) = 0,5⋅(645,34 + 433,35) = 539,345;

Yср = 0,5⋅(Ymax +Ymin) = 0,5⋅(1010,545+ 823,824) = 917,1845

В геодезии вертикальная ось – это ось абсцисс (Х), горизонтальная ось – это ось ординат (Y).

Затем вычисляются отрезки аb и cd:

ab = Xср − 500 = 539,45 − 500 = 39,345;

cd = Yср − 700 = 917,1845− 500 = 17,1845.

ЗАДАНИЕ 2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ТРАССЫ

2.1 Условия и исходные данные

Трасса длиной L = 0,5 км разбита на пикеты по 100 м. Начало трассы совпадает с пикетом 0. Конец трассы совпадает с пикетом 5.

Для высотной привязки трассы были использованы репера Rp 19 (начало) и Rp 20 (конец).

Трасса имеет один угол поворота – левый. Его величина φ = 60°20',

Радиус поворота кривой для всех вариантов R = 100 м. Вершина угла поворота – пк3 + 88,62 м.

Румб первоначального прямолинейного участка трассы имеет значение 48°50' СВ.

Проект сооружения составляется по следующим условиям:

– на пк0 запроектирована насыпь высотой 0,5 м.

– на участке от пк0 до пк1 + 80 уклон проектной линии i 1 = –0,020

– на участке от пк1 + 80 до пк4 уклон i 2 = 0;

– на участке от пк4 до пк5 уклон i 3 = +0,015.

Необходимо:

– вычислить отметки пикетов и плюсовых точек;

– построить продольный и поперечный профили;

– составить проект.

Отметки исходных реперов

Rp19 = 190,190 м

(Rp20) = Н(Rp19) – 2,101 м + К =190,190 – 2,101 + 0,01 = 188,099 м.

Вычисление превышений между связующими точками

Превышения вычисляются по формулам

hч = Зч − Пч; hкр = Зкр − Пкр,

где hч и hкр – превышения, определяемые по черной и красной сторонам рейки, мм;

Зч и Зкр – отсчеты по черной и красной сторонам задней рейки;

Пч и Пкр – отсчеты по черной и красной сторонам передней рейки. Если ч кр h − h ≤ ±5 мм

Средние превышения вычисляются до целых миллиметров, т.е. при необходимости результат округляется по правилу округления.

вычисления превышений

– превышение между пикетами пк0–пк1:

hч = Зч − Пч= 1582−1684 = −102;

hкр = Зкр − Пкр = 6266 − 6370 = −104;

hср = 0,5⋅(hч + hкр) = 0,5⋅ (−102) + (−104) = −103.

Превышение между пикетом 1 и «иксовой» точкой х1:

hч = Зч − Пч =1406 − 2311 = −905;

hкр = Зч − Пч = 6090 − 6995 = −905;

hср = 0,5⋅ (hч + hкр) = 0,5⋅ (−905) + (−905) = −905

Постраничный контроль

Затем на каждой странице производят постраничный контроль, т.е. контрольные вычисления с целью выявления возможных погрешностей, допущенных в процессе вычислений превышений.

Данный контроль выполняется для каждой страницы отдельно.

Для контроля вычисления превышений суммируются числа по столбцам Σ(3); Σ(4); Σ(6); Σ(7); Σ(8); Σ(9) для каждой страницы. Если вычисления превышений и средних превышений выполнены без ошибок, то выполняется равенство

Σ(3) − Σ(4) = Σ(6) − Σ(7) ≈ 2(Σ(8) − Σ(9)).

За счет округления величина 2(Σ(8) − Σ(9)) может отличаться от разности Σ(6) − Σ(7) не более чем на 4–5 мм. Расхождения объясняются возможными отклонениями вследствие округлений при выведении среднего.