Философские проблемы математики

Ключевые понятия и термины: число, формализация, аксиоматика, логицизм, формалистское, интуитивистское направления, метод выдвижения гипотез, математическое моделирование.

Математика – дисциплина, изучающая реальность в аспекте его количественных и пространственных соотношений, наличии абстрактных идеализированных объектов, для чего задействуется язык формализации, вычленяющий данные параметры. Важнейшим концептом математики (от греч. mathemata – наука) всегда было число, содержание которого в истории менялось. Вначале, в связи со счетом, возникло представление о целых положительных (натуральных) числах, позже Евклид и Архимед дополнили математику понятием бесконечности натурального ряда чисел (III в. до н.э.), индийцы изобрели цифры для записи натурального ряда чисел (при помощи десяти знаков цифр), у них же возникло понятие отрицательного числа (VI-XI вв). В античной Греции оформились представления о рациональных (дробных) и нерациональных числах (выраженных бесконечными непериодическими десятичными дробями). В XVI в., ввиду необходимости решать квадратные и кубические уравнения, начинают использоваться комплексные числа типа x+iy, где x и y – действительные числа, а i мнимая единица.

Особенности математического знания, которые отличают ее от прочих наук, в следующем: повышенная степень абстрактности понятий (не имеющая размерности точка, линия, не имеющая толщины, множество любых объектов, множество вообще), повышенная мера общности (буквенное обозначение любого числа), символизация объектов до стадии идеализирования (т.е. доведения признаков до крайности, напр., количественных параметров объектов до нуля или до бесконечности), что в целом и делает возможным задействование аппарата математики в различных науках, в первую очередь, в физике.

Итак, в математике используются формализованные языки. Для формализации существенную роль играет аксиоматический метод, сущность которого заключается в сведении отношений специфических объектов к количественному описанию, термины разделяются на исходные и производные, а высказывания - на доказуемые (теоремы) и не нуждающиеся в доказательстве (аксиомы). Само доказательство основывается на логической дедукции, т.е. выводе с помощью правил логики. Доказательство и является главной характеристикой собственно математического знания.

Философия математики существует в двух измерениях: как раздел философии науки и как методология математики. Ключевые проблемы данного раздела: прояснение сущности математики, предмета, задач, методов и места в общей структуре знания. Сугубо философской проблемой является вопрос о специфике объектов, возможных к освоению в рамках математического анализа, терминов и логики.

Данная стратегия имеет длительную историю. Еще в античности греки обнаружили способность математических высказываний к самостоятельной очевидности (Пифагор, полагая математику знанием, возводящим конкретное мышление к усмотрению сущности, относил ее к высшей области интеллектуальной деятельности, подготавливающей практику освоения частного, конкретного и возведения его к общему и универсальному (даже боги не могут сделать так, чтобы дважды два не равнялось четырем, а сумма квадратов катетов не равнялась квадрату гипотенузы). Занятия математикой и геометрией, согласно Пифагору, доставляют двоякую пользу: во-первых, они способствуют постижению гармонии мира, устройство которого выражается в числовых пропорциях, во-вторых, подготавливают человеческое мышление к созерцанию высших истин в их чистоте и непосредственности, что и является атрибутом философской мудрости. У Платона и Декарта основоположения математического знания просто врожденны субъекту. По Аристотелю же, объекты математики и геометрии имеют не врожденный характер, а результирующий – как продукт абстрагирования и обобщения от конкретно созерцаемых вещей. Отметим, что Платон полагал считать собственно науками только науки точные, каковыми оказываются лишь математика и астрономия, и подобное позиция сохранялась вплоть до времен Галилея.

Позднейшие дополнения в теорию интерпретации математического знания производятся в эпоху Нового Времени (XVII-XVIII вв). Лейбниц формулирует проблему тождества математической и эмпирической реальности, по поводу чего делает вывод о сугубо формализованном (абстрагированном, автономном от реальности) языке данной дисциплины, что постепенно признается и кругом представителей точных наук. Лейбниц (и независимо от него, Ньютон) также разработал теорию исчисления бесконечно малых. Для О. Коши (XIX в.) уже вполне очевидно (с привлечением «теорем существования») отсутствие эффективности сопоставлений математического объекта с элементами реальности, объект математики представляется сугубо логической единицей, и к концу XIX столетия факт независимости математики от реальности становится уже общепризнанным, ее главное требование – лишь логическая непротиворечивость.

В первой пол. ХХ в. споры велись относительно обоснования математики, т.е. сведения ее к некоторому единому основанию. В качестве такового Г.Ф. Кантор полагал разработанную им теорию множеств, Б. Рассел – «теорию типов» (классифицирующую предметы и множества по их типологии), что, как направление, получило название «логицизм», впрочем, последнее не получило широкого распространения в математическом мире по причине противоречивости. Формалистское направление (предложено Д. Гильбертом (XIX-XX вв)) обоснование математической теории должно осуществляться формально, т.е. синтаксически, без учета ее содержания (семантики), которое, в принципе способно выражаться через структуру формы. Тем не менее, и данное направление обнаружило свою неполноту по причине невозможности формализовать некоторое содержание, например, арифметики натуральных чисел.

Еще одно направление математики ХХ столетия – интуитивизм (представители Г. Вейль и А. Гейтинг) сформулировали критерий интуитивной ясности в оценке истинностных значений. Основания математики ими усматривается в элиминировании объектов, которые предполагают крайнюю степень идеализации, к примеру, актуально бесконечные множества (но потенциально бесконечные остаются). Проблема, возникающая в данном подходе – существенное сужение объема приложения математического анализа.

В целом, перечисленные направления, так или иначе, исходили из возможностей идеализации математических объектов. Их достоинство заключается в выяснении содержательного компонента математики, в результате чего была признана, как особенность, неполнота формализации любых математических теорий. Сложившиеся теории обоснования различаются различным толкованием математического объекта. Однако с начала 1960-х гг., стратегия решения проблем смещается от обоснования математики к построению математики «машинной». В данной связи меняется гносеологическая ситуация, которая обусловливается иным параметром – необходимости координации действий человека и «думающей» машины, что подводит к поиску новых критериев математической доказательности.

Еще одно проблемное поле современной математики – существенное повышение ее роли и места в естественных науках (математизация науки). Кроме того, востребованность получают методы выдвижения математических гипотез и метод математического моделирования, поскольку наука наших дней главным образом имеет дело со специфическими идеальными (в том числе либо не существующими, либо не наблюдаемыми) объектами. Метод гипотез обеспечивает возможности прогнозирования в различных науках, метод матмоделирования – целостное представление исследуемого объекта, что актуально при изучении сложных самоорганизующихся систем (в синергетике). В силу прогностических способностей, данные методы допустимы к применению как в точных науках, естествознании, так и в гуманитарных – социологии, экономике и пр.