Сглаживание и прогнозирование методом скользящих средних. В чем смысл введения взвешиваний.

Метод скользящего среднего (СС) является наиболее простым из известных методов, он позволяет сгладить периодические и случайные колебания в ВДР и тем самым выявить наличие имеющейся тенденции его изменения. В центрированном сглаживании данные усредняются слева и справа от выбранной точки. Такой вид сглаживания имеет существенный недостаток: сигнал об изменении тенденции существенно запаздывает во времени. Однако необходимо как можно раньше определить момент изменения тенденции, чему способствует использование нецентрированного СС. В существующих ППП [5,13] для сглаживания и прогнозирования применяется нецентрированное СС.

В нецентрированном СС усредненная величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член

,

где y_i – фактическое значение переменной на i -ом интервале времени;

- сглаженное, или спрогнозированное значение переменной на j -ом интервале времени;

m – интервал усреднения.

Для прогнозирования, начиная со значения n+ 1 и по r, спрогнозированные значения вычисляются по формуле

.

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом скользящего среднего при изменении интервала сглаживания m приведены в таблице 5.2.1.

По результатам таблицы 5.2.1 были сделаны следующие выводы:

1. Изменение фактора сглаживания m: 3, 5, 7, 9 с целью выявления наилучшего значения, обеспечивающего минимальную ошибку прогнозирования, существенных результатов по улучшению достоверности не дало. Для каждого показателя деятельности предприятия наилучшие спрогнозированные значения были получены при различных значениях интервала усреднения.

 

Сглаживание

Суть сглаживания сводится к замене фактических уровней ВДР расчётными, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные.

На практике наиболее часто используют следующие методы:

1. Скользящих средних

2. Взвешенных скользящих средних

3. Экспоненциальный

Метод скользящих средних

Выбирается интервал сглаживания – нечётное число , где может меняться как целочисленное значение 1, 2, 3…и расчёт производится для центра интервала:

Так как каждый раз мы добавляем 1 новый член и 1 вычитаем, то другая запись в виде скользящей средней:

Три свойства скользящих средних

1. Уменьшение нерегулярности колебаний в ряде

2. Чем больше , тем больше сглаживание

3. Смещение сглаженных значений

4. Пропадание начальных и конечных значений ряда (концы таблиц)

5. Если требуется сгладить циклические ВДР, то интервал берётся равным или кратным циклу.

Для того, чтобы не пропадали крайние точки, используют сглаживающие формулы:

при

, ;

Для крайних значений:

при

, ;

Для крайних значений:

****

****

 

Взвешенные скользящие средние

Для устранения недостатков предыдущего метода по смещению экстремальных значений (пиков) и потере мелких колебаний используют взвешенные скользящие, в которых каждой переменной, участвующей в сглаживании придается удельный вес, соответствующий её положению относительно вычисляемого значения.

(Этот вес определяется МНК с требованием, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений от исходных была минимальной.) ß необязательная фраза.

для :

для :

 

Сглаживание и прогнозирование экспоненциальных средних

Экспоненциальные средние

Основа: чем ближе переменная находится к расчётной точке, тем сильнее она должна на неё влиять.

,

где - коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения, .

Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в раз, т. е. для расчётного значения это ; ближайшая переменная ; затем и т. д.… …

Прогнозирование

Для прогнозирования можно использовать методы, рассмотренные нами для сглаживания.

1. Метод скользящего среднего для прогнозирования значений, выходящих за ВДР из чисел, например для :

2. Метод взвешенного скользящего среднего

3. Экспоненциальное прогнозирование

.

.

4. Метод Бокса-Дженкинса (процедура ARIMA) (АРПСС).

Зависимость прогнозируемых значений рассматривается в виде составляющей из двух переменных.

AR – авторегрессионный процесс – т. е. зависимость от своих прошлых значений.

MA – как скользящее среднее текущего и предыдущих значений случайных членов.

ARIMA процесс,

- порядок AR-части;

- порядок MA-части;

- порядок разностей, взятых из исходного ряда для достижения его стационарности.

ARIMA по Боровикову В.

- регулярный параметр авторегрессии;

- сезонный параметр авторегрессии;

- регулярный параметр скользящего среднего;

- сезонный параметр скользящего среднего.

лать заключение о его успешном функционировании.