Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии. Оценка значимости коэффициентов полинома. 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии. Оценка значимости коэффициентов полинома.



Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

 
 

 


 

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

 

 

2. Остаточная сумма квадратов:

 

с количеством степеней свободы:

 

среднее значение суммы квадратов:

 

 

3. Общая сумма квадратов:

 

 

с количеством степеней свободы:

Должно выполняться равенство:

 
 

 


4. Критерий Фишера

 
 

 

 


с количеством степеней свободы:

       
   

 

 


5. Коэффициент множественной детерминации,

 

с количеством степеней свободы:

Показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

Если вычисленные значения не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Так как коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

 

 

где -диагональный элемент матрицы.

чем больше величина , тем лучше.

 

Вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение превышает критическое, то считаем, что уровень значимости не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

 

Метод оптимизации по системе ур-й в частных производных.

Постановка задачи оптимизации в общем случае сводится к максимизации или минимизации целевой функции с ограничениями на остальные функции и оптимизируемые факторы:

 

                 
 
 
   
 
   
 
   
 
   

 


Наиболее простой случай, когда нет никаких ограничений. В этом случае применяется классический метод вычисления по решению системы в частных производных по оптимизируемым переменным.

 

 

Рассмотрим двухфакторную математическую зависимость:

 
 

 


Вид экстремума определяется значением вторых частных производных:

1. Если и , то имеем максимум.

2. Если и , то имеем минимум.

3. Если то нет ни мин, ни макс.

4. Если , то экстремум может быть или не быть. Требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим частный случай двухфакторной функции:

 
 

 


Вычислим частные производные и координаты экстремальной точки:

 

Геометрический метод для 2 факторов.

Если требуется найти оптимальные значения всего двух факторов, то можно использовать геометрический метод оптимизации, отличающийся сравнительной простотой и наглядностью.

Постановка задачи оптимизации:

 

 

Приравняем целевую функцию нулю и выразим все переменные через одну из них.

Представим преобразованные ограничения и целевую функцию в виде прямых линий.

Построим область допустимых решений (ОДР). Первая точка пересечения линии целевой функции с ОДР является точкой минимума; последняя – максимума.

Проверим выполнение неравенств в точках min (max). Если все неравенства выполняются делаем заключение о корректности полученных результатов.

 

Метод Ньютона.

Для решения оптимизационных задач с нелинейными функциями можно использовать метод Ньютона (метод касательных). Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции равна нулю и корень уравнения можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых , следующим образом. В точке строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения

,

 

Вычисления по формуле продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают что .Замечания:

1. Если начальное приближение близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.

2. Если начальное приближение выбрано не достаточно близко, то для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор может привести к расходящемуся процессу, т. е. мы будем удаляться от экстремальной точки. Это возможно, если оптимизируемая функция имеет нелинейность выше второй степени.

Для вычисления шага изменения значения аргумента в итерационном процессе произведём следующие преобразования:

 

1. Временные динамические ряды. основные понятия. проверка гипотез о существовании тенденций.

Временные ряды

Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.

В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика – количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.

Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.

Основные показатели динамики ВДР

1. Базисный абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :

 

2. Цепной абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:

 

3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:

 

4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

 

5. Базисный темп прироста – вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:

 

6. Цепной темп прироста – вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):

§ для интервального ряда:

§ для моментного ряда с равностоящими датами:

§ для момента ряда с неравностоящими датами:

8. Средний абсолютный прирост:

9. Средний темп роста:

10. Средний темп прироста:

Проверка гипотезы о существовании тенденции

Проверка разности средних уровней:

Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность. Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.

Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера

(где )

число степеней свободы и ;

Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:

,

где S – среднее квадратическое отклонение разности средних.

При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;

Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.

 





Последнее изменение этой страницы: 2016-07-15; просмотров: 152; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.174.225.82 (0.008 с.)