Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии. Оценка значимости коэффициентов полинома.

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

 

 

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

 

 

2. Остаточная сумма квадратов:

 

с количеством степеней свободы:

 

среднее значение суммы квадратов:

 

 

3. Общая сумма квадратов:

 

 

с количеством степеней свободы:

Должно выполняться равенство:

 

4. Критерий Фишера

 

 

с количеством степеней свободы:

 

 

5. Коэффициент множественной детерминации,

 

с количеством степеней свободы:

Показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

Если вычисленные значения не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Так как коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

 

 

где -диагональный элемент матрицы.

чем больше величина , тем лучше.

 

Вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение превышает критическое, то считаем, что уровень значимости не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

 

Метод оптимизации по системе ур-й в частных производных.

Постановка задачи оптимизации в общем случае сводится к максимизации или минимизации целевой функции с ограничениями на остальные функции и оптимизируемые факторы:

 

…

 

Наиболее простой случай, когда нет никаких ограничений. В этом случае применяется классический метод вычисления по решению системы в частных производных по оптимизируемым переменным.

 

 

Рассмотрим двухфакторную математическую зависимость:

 

Вид экстремума определяется значением вторых частных производных:

1. Если и , то имеем максимум.

2. Если и , то имеем минимум.

3. Если то нет ни мин, ни макс.

4. Если , то экстремум может быть или не быть. Требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим частный случай двухфакторной функции:

 

Вычислим частные производные и координаты экстремальной точки:

 

Геометрический метод для 2 факторов.

Если требуется найти оптимальные значения всего двух факторов, то можно использовать геометрический метод оптимизации, отличающийся сравнительной простотой и наглядностью.

Постановка задачи оптимизации:

 

 

Приравняем целевую функцию нулю и выразим все переменные через одну из них.

Представим преобразованные ограничения и целевую функцию в виде прямых линий.

Построим область допустимых решений (ОДР). Первая точка пересечения линии целевой функции с ОДР является точкой минимума; последняя – максимума.

Проверим выполнение неравенств в точках min (max). Если все неравенства выполняются делаем заключение о корректности полученных результатов.

 

Метод Ньютона.

Для решения оптимизационных задач с нелинейными функциями можно использовать метод Ньютона (метод касательных). Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции равна нулю и корень уравнения можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых , следующим образом. В точке строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения

,

 

Вычисления по формуле продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают что .Замечания:

1. Если начальное приближение близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.

2. Если начальное приближение выбрано не достаточно близко, то для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор может привести к расходящемуся процессу, т. е. мы будем удаляться от экстремальной точки. Это возможно, если оптимизируемая функция имеет нелинейность выше второй степени.

Для вычисления шага изменения значения аргумента в итерационном процессе произведём следующие преобразования:

 

1. Временные динамические ряды. основные понятия. проверка гипотез о существовании тенденций.

Временные ряды

Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.

В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика – количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.

Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.

Основные показатели динамики ВДР

1. Базисный абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :

 

2. Цепной абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:

 

3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:

 

4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

 

5. Базисный темп прироста – вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:

 

6. Цепной темп прироста – вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):

§ для интервального ряда:

§ для моментного ряда с равностоящими датами:

§ для момента ряда с неравностоящими датами:

8. Средний абсолютный прирост:

9. Средний темп роста:

10. Средний темп прироста:

Проверка гипотезы о существовании тенденции

Проверка разности средних уровней:

Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность. Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.

Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера

(где )

число степеней свободы и ;

Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:

,

где S – среднее квадратическое отклонение разности средних.

При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;

Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.