Критерії при розв’язуванні ігор із природою

Припустимо, що заздалегідь відомо ймовірності стану природи.

; .

1. Критерієм вибору оптимальної стратегії є максимум математичного сподівання виграшу (можливого виграшу):

.

Якщо ймовірності невідомі, у деяких задачах використовується принцип недостатньої підстави, за якою усі стани природи є рівно можливими (рівно ймовірними).

; ;

2. Критерій Вальда:

– стратегія гарантованого ризику (нижня ціна гри).

3. Критерій мінімального ризику Севіджа: .

Обидва критерії є песимістичними.

4. Комбінований критерій Гурвіца. Він передбачає розрахунок наступної величини.

.

 

Приклад.

Можливе будівництво 4 типів електростанції. – теплова, гідроелектростанції за різними проектами: – приплотинна, - безшлюзова, - шлюзова.

Ефективність побудованої електростанції залежить від ряду факторів – режиму ріки, вартості палива, вартості доставки палива і т.ін. Припустимо, що виділено чотири різних стани , кожен з яких означає визначене поєднання факторів.

 

Матриця ефективності:

.

 

Критерій Вальда:

рекомендовано проект .

Критерій Севіджа.

Побудуємо матрицю ризиків:

 

 

рекомендовано проект .

Критерій Гурвіца.

1.

рекомендовано варіант .

2.

вибираємо .

Принцип недостатньої підстави . вибираємо .

Контрольні питання

1. Що називається природою?

2. Що таке стани природи?

3. Які критерії використовуються в іграх з природою?

4. Які реальні економічні задачі моделюються як ігри з природою?

 

 

Лекція 14
Динамічні моделі

 

1. Багатоетапні моделі. Принцип Беллмана

2. Задача розподілу засобів (ресурсів)

3. Задача видобутку корисної копалини

 

Економіко-математичні моделі називаються динамічними, якщо в них враховується розвиток процесу в часі.

Розв’язання таких задач розбивається на ряд етапів(кроків), тому їх називають багатоетапними чи багатокроковими.

У процесі розв’язування необхідно знайти послідовність оптимальних впливів (управлінь). Основним принципом розв’язання є принцип Беллмана – якщо деяка послідовність розв’язків оптимальна, то окремі рішення усередині її оптимальні стосовно попереднього рішення. Оптимальна стратегія розв’язання багатоетапної задачі складається з оптимальних рішень для кожного окремого етапу.

 

 

початкова множина станів;

деяка множина кінцевих станів

Потрібно керувати в моменти .

Динамічні задачі розв’язуються специфічним чином, починаючи з останнього етапу.

 

 

2. Задача розподілу засобів (ресурсів)

 

Постановка задачі.

Маємо деяку кількість коштів , що можуть бути вкладені в два різних підприємства (проекти). Кожне підприємство відрізняється своїми умовами виробництва і має свою функцію прибутковості. Потрібно розподілити засоби так, щоб загальний прибуток був максимальний.

Припустимо, є варіант розподілу: y і (x-y) відповідно.

Функції прибутковості: і .

Загальний прибуток: .

 

(14.1)

Зміст: найбільше значення на відрізку.

Загальна постановка задачі передбачає планування розподілу коштів на кілька етапів. Потрібні додаткові дані. Задано коефіцієнти , повернення засобів після закінчення етапу, .

Розглянемо найпростіший випадок, планування на два етапи. Потрібно порахувати кількість коштів доступних для інвестицій після закінчення першого етапу.

– вже отримано.

Планується перший етап з урахуванням найкращого другого етапу.

 

(14.2)

 

Для трьох етапів:

 

(14.3)

 

 

Приклад.

 

Потрібно скласти план розподілу коштів на два етапи.

 

 

Складемо функцію прибутку:

 

, – межові точки.

Вибір найбільшого значення:

.

Одержали при – для другого етапу.

Зберемо прибуток за два етапи, з урахуванням кількості коштів, що залишилися.

Функція прибутку:

– можливий прибуток за перший етап і найкращий за наступний.

– найбільше значення.

Оптимальний план розподілу засобів: на першому етапі всі кошти спрямовуються в перше підприємство, після закінчення етапу кошти, що залишилися, вкладаються в друге підприємство.

Ланцюжок керувань

Максимальний загальний прибуток .