Розв’язування транспортної задачі у відкритій моделі

 

Якщо загальні обсяги запасів і потреб не збалансовані, модель є відкритою.

Для перетворення її в закриту модель вводиться умовний (фіктивний) постачальник або споживач з відповідним обсягом запасів (потреб)

Приклад.

a ₁ = 30; a ₂ = 70; a ₃ = 70;

b₁ = 50; b₂ = 50; b₃ = 40; b₄ = 60

С =

 

Тому що 170 < 200, необхідно ввести додатково умовного постачальника А₄ з обсягом товару a ₄=200–170=30.

Доповнимо матрицю С нульовим рядком; розв’язуємо отриману задачу.

Побудуємо опорний план методом подвійної переваги; при цьому нулі останнього рядка матриці С не враховуються при знаходженні мінімумів.

 

Спожив.   Постач.	B1	B2	B3	B4	Запаси	ui
A1		*	--	W 3
A2	W 4	--				- 1
A3	--	W 3	V 4	--		- 2
A4	--	--	--			-3
Потреби
vj

Z = 620

N = 6; m+n-1 = 7

План вироджений, поставимо нуль у (1,1). Розрахуємо потенціали й оцінимо план.

План не оптимальний, будуємо цикл перерозподілу з вершиною в клітині (1,2).

Перерозподіл фіктивний, нуль переходить у клітину (1,2).

min (0; 20;50) = 0

0 *

- +

 

+ 20

 

50 -

 

- +

50 20

Оцінимо отриманий план.

Після аналогічного кроку одержуємо план

Спожив.   Постач.	В1	В2	В3	В4	Запаси	ui
А1
А2
А3
А4	-1	-1			+30	-3
Потреби
Vj

 

План оптимальний. Z = 620 гр. од. Споживач В₄ фактично залишається з дефіцитом у 30 од.

Контрольні запитання

1. Яким є загальний алгоритм розв’язування ТЗ?

2. Яким чином слід перетворити вироджений план ТЗ у не вироджений?

3. Як визначаються потенціали постачальників і споживачів?

4. Як формувати цикл перерозподілу постачань для поліпшення плану?

5. Як треба перетворити відкриту модель ТЗ у закриту? Якими можуть бути кінцеві висновки після отримання розв’язку?

 

 

 

Лекція 7
Моделі галузевого планування

 

1. Однопродуктова модель поточного планування

2. Однопродуктова модель перспективного планування

 

1.Однопродуктова модель поточного планування

Мається один продукт і виробників цього продукту, ; – відповідно обсяги виробництв продукту. Мається замовників (споживачів) – ; відповідні обсяги потреб у цьому продукті. Задано матрицю елементи якої – ціни доставки продукту по відповідному маршруті, чи відстані (довжини маршрутів , . Необхідно скласти план прикріплення споживачів і підприємства-виробників так, щоб потреби були задоволені і загальні транспортні витрати були мінімальними Це найпростіша транспортна задача.

матриця змінних. Зміст – обсяг продукту, що підлягає перевезенню даним маршрутом.

Цільова функція цієї задачі – усі витрачені кошти

(7.1)

Обмеження

	(7.2)
	(7.3)
	(7.4)
− рівняння балансу	(7.5)

Модель з цією умовою називається закритою.

Дана задача є задачею лінійного програмування. Через специфіку розв’язується спеціальними методами. Система обмежень має незалежних рівнянь, з цього випливає, що в оптимальному плані задачі завантажено не більш ніж маршрутів. Транспортна задача завжди має рішення. Якщо і цілі числа, то оптимальний план містить тільки цілі координати. Якщо модель є відкритою (рівність (5) порушено), вона перетвориться в закриту введенням умовного постачальника чи споживача. Ця модель статична – вибір робиться один раз. Задача планування детермінована та оптимізаційна.

У класичній транспортній задачі передбачається, що пропускна здатність усіх маршрутів досить велика і немає варіантів вибору різних видів транспорту. У реальних економічних задачах з’являються ускладнення:

1. продукт, запланований для перевезення, може бути однотипним (взаємозамінним);

2. на декількох маршрутах можуть бути використані різні види транспорту;

3. на окремих маршрутах можуть бути задані обмеження пропускної здатності.

За всіх цих обмежень транспортна задача може бути вирішена симплекс-методом.

 

2.Однопродуктова задача перспективного планування

Зміст: планується виробництво і розподіл одного чи декількох взаємозамінних видів продукції в умовах, коли наявні виробничі потужності недостатні для задоволення попиту. Додатковий елемент планування − уведення нових виробничих потужностей.

У постановці задачі змінюються − не тільки реальні виробничі потужності, але і різні варіанти проектованих потужностей. Якщо на діючому виробництві можлива реконструкція, то вихідна і додаткова потужності показуються окремо.

Умови, необхідні для задачі перспективного планування:

.

 

Додаткові позначення:

− собівартість одиниці продукції виробника ;

− питомі капітальні витрати;

− питомі транспортні витрати по відповідному маршруті;

− нормативний коефіцієнт ефективності капітальних вкладень.

Розв’язання задачі повинне визначити оптимальний варіант розміщення виробництва і перевезень продукції, що забезпечує мінімізацію суми усіх витрат на будівництво, виробництво та перевезення.

(7.6)

Система обмежень:

;	(7.7)
;	(7.8)
.	(7.9)

Відкрита модель транспортної задачі перетвориться в закриту введенням умовного споживача. В оптимальному плані робляться висновки: ті постачальники (виробники), до яких прикріпився умовний споживач, недоцільні для використання. Якщо це проект, то він відкидається як невигідний; якщо це виробництво – рекомендується його закривати.

Можливі проблеми − частина потреб умовного постачальника забезпечується реальним виробником, а частина деяким проектом. При розв’язанні доводиться вибирати варіанти, близькі до оптимального.

Приклад. Маємо два діючих підприємства А і Б, потужності яких 120 тис. і 180 тис. од. продукції відповідно. Мається 3 споживачі з відповідними обсягами потреб - 155 тис., 130 тис., 390 тис. од. продукції.

120+180=300 тис. од. продукції (потужності);

155+130+180=375 тис. од. продукції (потреби).

Планується збільшення виробничих потужностей на 75 тис. од. продукції.

Розглянемо два варіанти − реконструкція підприємства Б і будівництво нового підприємства. Задано матрицю наведених витрат на

одиницю продукції

 

 

Постачальники продукції	Споживачі продукції
Підприємство А
Підприємство Б
Реконструкція (В)
Будівництво (Г)

 

Результати розв’язання:

 

Постачальники продукції	Споживачі продукції	Виробництво
			4 ум.
Підприємство А	105	^3		^3		^7		^0
Підприємство Б		^6		^5		^8		^0
Реконструкція (В)		^8		^7		^10		^0
Будівництво (Г)		^9		^11		^8		^0
Потреби

Висновок: реконструкція підприємства Б недоцільна, вигідне будівництво нового підприємства.

Потужності проектовані і реконструйовувані можуть бути не фіксованими, а задаватися в деяких інтервалах. У цих інтервалах питомі капітальні витрати і собівартість є змінними. Однак цільова функція може бути збережена в лінійній формі.

Контрольні питання

1. Як ставиться економічна задача поточного планування (транспортна задача)?
2. Яка математична форма цієї задачі?
3. Який алгоритм розв’язування транспортної задачі?
4. Які можливі висновки після закінчення розв’язування?
5. Яка економічна постановка однопродуктової задачі перспективного планування?
6. Яка математична форма цієї задачі?
7. Які можливі висновки після закінчення розв’язування?

Лекція 8
Моделі управління запасами

 

1. Загальна постановка задачі управління запасами

2. Однопродуктова модель Уїлсона: умови і параметри

3. Оптимальний розв’язок в моделі Уїлсона і його властивості

4. Однопродуктова модель з дефіцитом

 

Загальна постановки задачі

Мається деякий склад для збереження найменувань товарів. Відомий щоденний попит на кожен вид товарів Відома загальна ємність (місткість) складу . Потрібно визначити процедуру завезення товарів на склад, при якій попит задовольняється і витрати мінімальні. Нехай – обсяги партій відповідних товарів. Їхню суму позначимо через ,

 

У моделі без дефіциту витрати двох видів:

1. витрати за замовленням і доставкою товарів;

2. витрати збереження;

Задача має тривіальне рішення.

Недоліки цього рішення:

1. склад працює як перевалочна база;

2. неможливість реалізації рішення на практиці:

а) для багатьох видів товарів існують мінімальні обсяги партій;

б) загальний обсяг може бути занадто великий для одночасної доставки (транспортне обмеження).

Висновок: для реального працюючого складу (оптової бази) практично неможливе одноразове завезення за всією номенклатурою товарів.

Формулювання однієї з конкретних задач – визначити графік доставки товарів у такій черговості й у такій кількості, щоб при безумовному задоволенні попиту середньої обсяг (рівень) запасів був мінімальним.

Математичні методи розв’язання подібних задач створюють теорію управління запасами.

 

Однопродуктова модель Уїлсона:

1. на складі зберігається один товар (продукт);

2. попит на товар є постійним (рівень запасу товару зменшується з постійною швидкістю) ;

3. у той момент, коли запас вичерпаний, подається заявка на доставку нової партії товарів;

4. виконання заявки (замовлення) здійснюється миттєво;

5. накладні витрати, пов'язані з замовленням і доставкою товару постійні і не залежать від кількості товарів (обсягу партій) ;

6. щоденна вартість збереження одиниці товару
постійна С₁.

Схема роботи складу

– максимальна кількість товару на складі; – час; – інтервал часу між точками замовлення.

;

3.Плануємо роботу складу на деякий період Т

Розраховуємо кількість замовлень: .

Загальні витрати за замовленням і доставкою:

Середній рівень запасу:

Витрати на збереження в одному періоді: .

Загальні витрати на збереження:

Загальні витрати в плановому періоді S:

,

(8.1)

 

Знайдемо мінімум складеної функції витрат.

; ; .

Формула Уїлсона:

(8.2)

Можна перевірити, що Q * - це точка мінімуму:

(8.3)

 

(8.4)

Висновок: у точці мінімуму витрати збереження дорівнюють витратам на замовлення і доставку.

 

(8.5)

Знайдемо інтервал між замовленнями.

(8.6)

 

Практичні труднощі при використанні моделі Уїлсона:

1. теоретична оптимальна величина не завжди може бути реалізована на практиці. Округлення в будь-яку сторону приводить до збільшення витрат порівняно з мінімально теоретично можливими.

2. оптимальне також може бути практично не реалізованим.

 

Напрямки ускладнення моделі Уїлсона:

1. Модель з дефіцитом.

2. – змінний детермінований попит.

3. Моделі з випадковим попитом

4. Багатопродуктові моделі.