Обмеження за загальною вартістю запасу

 

Додатково уведемо вектор - ціни товарів і підрахуємо максимальну вартість усіх товарів на складі.

,

де поправочний коефіцієнт (нормувальний множник), враховує нерівномірність постачань товарів.

Обмеження має вигляд: чи .

Складається функція Лагранжа (зручно повернутися до колишніх позначень).

(9.12)

Одержуємо наступний розв’язок.

(9.13)

 

(9.14)

− відношення двох видів витрат.

Розміри партій зменшуються, витрати збільшуються

 

Обмеження витрат на здійснення замовлень

 

,

(9.15)

 

де Y – загальна вартість накладних витрат, пов'язаних з розміщенням замовлень на товарів і їхньою доставкою для одного планового періоду.

(9.16)

 

Мінімальні витрати:

;

(9.17)

Порівняно з моделлю без обмеження, обсяги партій збільшуються, витрати також збільшуються.

 

Модель зі спільними замовленнями

Вважаємо, що можна робити спільне замовлення на кілька товарів, що дозволяє зменшити загальні витрати.

Для індивідуальних замовлень були отримані наступні формули:

 

, - інтервали між замовленнями.

 

(9.18)

 

Припустимо, що на всі товари можливе спільне замовлення з константою . Нас цікавить – інтервал між замовленнями.

Число замовлень .

Загальні витрати замовлень: .

Загальні витрати:

+

(9.19)

 

Точка мінімуму:

(9.20)

 

(9.21)

 

Мінімальні витрати при спільному замовленні:

(9.22)

 

Порівнюючи витрати при різних системах замовлення, можна вибирати так звану політику (стратегію) замовлень.

; чи

(9.23)

 

Якщо а<1, вигідні спільні замовлення, для – індивідуальні.

Розглянута нелінійна детермінована багатопродуктова модель управління запасами.

 

Контрольні питання

1. Яка загальна постановка задачі управління запасами для багатопродуктового складу?

2. Як знаходиться оптимальний розв’язок в задачі без обмежень?

3. Який загальний метод розв’язання задач з обмеженнями?

4. Як знаходяться оптимальні розв’язки в конкретних задачах з обмеженням?

5. Як впливають обмеження на обсяги партій товарів і оптимальні витрати?

6. Як розв’язується задача з дозволеними спільними замовленнями?

 

Лекція 10
Ймовірнісні моделі управління запасами
Основні поняття теорії ігор

1. Ймовірнісні моделі управління запасами: основні поняття

2. Розрахунок резервного запасу для ймовірнісної моделі

3. Основні поняття теорії ігор

4. Матриця гри

 

 

Моделі з випадковим попитом

Існує однопродуктовий склад. Вважаємо, що попит випадковий і доставка відбувається протягом деякого часу; тривалість доставки. У момент – повинно бути подане замовлення, щоб до моменту вичерпання запасу замовлення було доставлено.

Припустимо, що – випадкова величина, для якої відоме середнє значення , тоді .

Якщо подавати заявку в той момент, коли на складі залишилося одиниць товару, то в 50% випадків до моменту доставки товарів запас буде вичерпаний.

Аналогічна ситуація, якщо є випадковою величиною з деяким середнім значенням

Щоб зменшити ймовірність дефіциту, необхідне створення резервного запасу, тобто замовлення подається тоді, коли наявний запас товарів більше середньої потреби за середній час доставки.

- випадкова величина, це потреба в товарі за час його доставки.

2. Будемо вважати, що ця величина має нормальний розподіл; () – параметри нормального закону. Вводимо в розгляд коефіцієнт ризику К и позначимо через – резервний, страховий запас.

– кількість товару, що повинен бути на складі на момент замовлення.

 

(10.1)

Для зручності розрахунку проведемо нормування випадкової величини .

 

Щільність для цієї випадкової величини задається формулою:

(10.2)

R(К) – знаходиться за таблицею з умови . Після цього величину резервного запасу можна знайти за наступною формулою:

(10.3)

 

Обсяг партії товару розраховується за формулою Уїлсона.

(10.4)

 

Витрати збільшаться.

(10.5)

 

Якщо відмовитися від вимоги бездефіцитності, потрібно вводити штрафи за непостачання товарів.

Основні поняття теорії ігор

Теорією ігор називається теорія математичних моделей, у якій враховуються різні інтереси учасників.

Зіткнення протилежних інтересів приводить до виникнення конфліктних ситуацій. Спрощена модель конфліктної ситуації називається грою. Конфлікт розвивається за певними правилами (правила гри). Природною базою теорії ігор є конкретні ігри: шашки, шахи, карткові ігри. Використовується термінологія: гравці (сторони конфлікту), виграш (результат конфлікту).

Невизначеність результату гри викликається різними причинами:

1. Розмаїтість варіантів (шахи).

2. Вплив випадкових факторів.

Якщо результат гри є невизначеним винятково через випадкові фактори, такі ігри називаються азартними.

3. Відсутність інформації стосовно дій супротивника і його планів – стратегічні ігри.

Розглянемо більш докладно стратегічні ігри. Якщо учасників двоє, то гра називається парною, якщо більше двох – множинною.

Зміст гри: послідовність дій, за чітко сформульованими правилами. Ці дії прийнято називати ходами.

Правила гри – можливі варіанти дії гравців, інформація однієї сторони про дії іншої, результат гри після виконання послідовності ходів.

Хід гравця – вибір одного з дозволених правил дій і його здійснення.

Послідовність ходів буде називатися стратегією.

Оптимальною стратегією називається така стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри, забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш.

Припустимо, що інтереси учасників гри описується кількісно, тобто результатом гри є число (виграш).

4. Найпростішим видом стратегічної гри є парна скінченна гра з нульовою сумою. Гра складається з двох ходів: гравець вибирає одну зі своїх можливих стратегій , , гравець вибирає одну зі своїх можливих стратегій , ; при повному незнанні вибору іншого гравця.

Задаються дві функції:

– виграш гравця А.

– виграш гравця В.

.

Залишимо одну функцію .

Мета гри: для гравця А - одержати max φ, а для гравця В – одержати min φ.

; ; .

- матриця гри чи платіжна матриця.

Приклад.

Гравець А грає "рядками", а гравець У – "стовпцями".

 

Контрольні питання

1. Які випадкові величини присутні у ймовірнісних моделях управління запасами?

2. Яка мета резервного запасу? Як розрахувати цей запас?

3. Що називається грою? Що таке хід, стратегія, виграші?

4. Що таке матриця гри для скінченної парної гри з нульовою сумою?

Лекція 11
Матричні ігри

 

1. Розв’язання матричної гри

2. Ігри в змішаних стратегіях

3. Розв’язання гри в змішаних стратегіях для квадратної матриці другого порядку

4. Графічний метод розв’язання гри.

Рішення матричної гри

1.Розглянемо скінченну парну гру двох гравців Задана функція , , .

− матриця гри (платіжна матриця). Припустимо, що гравець вибрав стратегію , тоді в найгіршому варіанті гри його виграш складе мінімум .

Передбачаючи таку можливість, гравець намагається одержати максимально можливий виграш.

(11.1)

Така стратегія , що забезпечує величину виграшу називається максимінною, число називається нижньою ціною гри. Якщо гравець зробив вибір у найгіршому варіанті він програє величину . Передбачаючи це, гравець намагається зменшити свій можливий програш.

(11.2)

Стратегія , по якій досягається ця величина, називається мінімаксною, а число називається верхньою ціною гри.

Фактично виграш гравця (програш гравця ) обмежений нижньою і верхньою ціною гри при розумних діях партнера (інтервал ).

Якщо , то це спільне значення позначається буквою .

(11.3)

 

Це значення гри, а сама гра називається цілком визначеною.

Для матриці це число називається сідловкою точкою.

(11.4)

 

Якщо один із гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для іншого гравця відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Розглянемо приклад конкретної матриці, для якої знайдемо значення гри та оптимальні стратегії гравців.

 

Приклад.

Знайдемо нижню ціну гри:

гарантований виграш при правильній грі складає 2 од.

Знайдемо верхню ціну гри:

гарантований програш гравця .

; гра цілком визначена, – сідловка точка; оптимальні стратегії –