Показатели центра распределения.

Д/обобщающей ха-ки значения признака в вариационном ряду исп-ся среднее арифметическое, мода, медиана.

Д/дискретного ряда распределение среднего рассчит-ся: Х =∑х/n; X =∑xf/∑ f

Д/интервального ряда: Х = ∑х_цf/∑f, где Х_ц – середина интервала.

Мода и медиана являются описательными средними; они ха-ют ве-ну варианта, занимающую определённое значение в ранжированном вариационном ряду.

Мода – наиболее часто встречающаяся ве-на признака в данной совокупности. Если встречается 2 моды → бимодальное распределение. Д/интервального ряда с равными интервалами мода определяется по формуле: ,

где Х_M0 начальное значение интервала, содержащего моду; i - величина интервала; F_M…- частоты интервалов модального, предшествующего модальному и следующего за модальным.

Медиана -значение признака, стоящего в середине ранжированного ряда: N_me = (n+1)/2 = (f+1)/2; где n,f число единиц.

Д/интервального вар.ряда с равными интервалами медиана определяется по формуле: ,

где - начальное значение интервала, содержащего медиану; i – величина равного интервала; - сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному; -частота медианного интервала; ∑f =n – число единиц

Моду и медиану можно определить графически???????

Мода применяется при планировании массового выпуска одежды и обуви, при изучении товарооборота рынка, наиболее распространённых размеров зарплаты и т.п.

Медиана применяется при экспертных оценках, при контроле качества продукции

В симметричных рядах мода и медиана равноправны т.к. Х= моде (Мо) = медиане(Ме). Д/ассиметрических рядов лучше Ме, т.к. она находится между Х и Мо.

 

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ.

Размах вариации: Х_max – X_min; зависит только от крайних значений, поэтому применим только д/достаточно однородной совокупности; нужны показатели, учитывающие колеблемость всех значений признака.

Среднее линейное отклонение – среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений всех значений признака от средней (d): d = ∑|x- x| /n; d = ∑|x- x| f /∑f

Дисперсия (σ²): σ²= ∑(x- x) ²/n; σ²= ∑(x- x)²f/∑f; д/альтернативного ряда: σ²= р(1-р)=р*q, где р – доля единиц, обладающих определённым признаком, q - доля единиц, не обладающих определённым признаком.

Среднее квадратичное (= стандартное отклонение) (σ): σ = корень из ∑(x-x)²/n; σ =корень из ∑(x- x)²f/∑f; д/умеренно ассиметричного распределения: σ=1,25d, d=0,8σ

Среднее линейное и квадратичное отклонения – ве-ны именованные, но даже если они равны между собой, а средние арифм-ие различны, то д/каждой совокупности они имеют различное значение. Поэтому отдельно рассчитывается коэффициент вариации: 1) коэффициент осцилляции: V=(R/ x)*100%; коэффициент линейного отклонения: V=(d/ x)*100%; коэффициент вариации: V=(σ/ x)*100%. Коэффициент вариации исп-ся не только д/сравнительной оценки вариации, но и д/ха-ки однородности совокупности. Если он меньше 33%, то совокупность однородна и её можно ха-ть средней ве-ной. Если совокупность неоднородна, но нужно рассчитывать показатель вариации. Показатель вариации является мерой надёжности средней. Чем меньше d, σ², V тем однороднее изучаемая совокупность и надёжнее полученное среднее. Согласно правилу 3ёх σ (сигм), в нормально распределённых или близких к ним рядах распределения отклонение не превосходит 3 σ встреч в 997 случаях из 1000, не > 2 σ в 954 случаях из 1000, не > 1 σ 683 из 1000.

ДИСПЕРСИЯ И ЕЁ СВО-ВА.

Сво-ва дисперсии:

· Дисперсия постоянного числа равна 0

· Если все значения признака уменьшить или увеличить на какое-либо число А, то дисперсия от этого не изменится, т.е. дисперсию можно вычислить по отклонениям от какого-либо постоянного числа А

· Если все значения признака уменьш/увел-ть в К-раз, то дисперсия от этого изменится в К²-раз, т.е. можно все значения признака уменьшить в К-раз, вычислить дисперсию, а затем умножить её на это постоянное число в квадрате.

· Дисперсия признака равна разности среднего квадрата значений признака и квадратом их средней: σ²₌ х² – х ²_­; x² =∑x²f/∑f

· Расчёт дисперсии (способ моментов или от условного нуля): σ²=∑(x-a)²*f/∑f -(x -a)²

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ.

Общая вариация в совокупности является результатом действия всех причин и измеряется общей дисперсией: σ²= ∑(x- x)²f/∑f. Вариации групповых средних измеряются отклонением групповых средних от общей средней, и отражает влияние фактора, по которому произведена группировка: σ²= ∑(x_i - x)/n = ∑(x_i - x)²*f/∑f, где x_{i –} групповые средние. Остаточная или внутригрупповая вариация выражает отклонение отдельных значений признаков в каждой группе от их групповых средних, и отражает влияние всех прочих факторов, кроме положенного в основу группировки. Остаточная вариация будет отражать среднее из групповых дисперсий: δ_i²= ∑(x_i- x_i)²/n_i; σ_i² = ∑ σ_i²f_i/∑ f_i

Общая вариация признаков совокупности определяется как сумма вариаций группировочных средних и остаточные вариации: σ²= δ²+ σ_i². Суть равенства: общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов должна быть равна сумме всех дисперсий, возникающих за счёт факторов группировки и под влиянием прочих факторов; это равенство известно как правило сложения дисперсий; оно позволяет находить общую дисперсию по групп-ым показателям.

Коэффициент детерминации (отношение межгрупповой дисперсии к общей) = δ²/ σ²; его значение максимально и равно 1 если δ²=σ²; его значение минимально и равно 0, если δ²=0