Законы вариации и коэффициент асимметрии.

Изучение вариации имеет смысл в пределах однородной совокупности, но в статистике образование таких групп затруднено. Бельгийский статистик Кетле обнаружил, что вариации массовых явлений подчиняются нормальному закону распределения. По этому закону колеблемость индивидуальных значений признака находится в пределах ± 3 σ. Ассиметричное распределение встречается чаще, чем симметричное, причём асимметрия может быть право- или левосторонней. При симметричном распределении х,мода и медиана равны между собой. Если этого равенства нет (х =Мо=Ме), значит распределение ассиметричное. Коэффициент асимметрии опр-ся: К_а= (х – Мо)/σ. Если полученное значение отриц. – левосторонняя асимметрия и Мо>Ме> х; если полученное значение положит. – правосторонняя асимметрия и Мо<Ме< х. В ассиметричных рядах предпочтение отдаётся медиане, т.к. она нах-ся между среднеарифм-им и модой.

 

ТЕМА 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ.

ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ НАБЛЮДЕНИИ.

Сплошное наблюдение даёт точную инфо изучаемой совокупности, но это достаточно дорого и не всегда возможно. С другой стороны, и при не сплошном наблюдении мы получаем ха-ки, близкие к ха-кам всей совокупности единиц. Основным видом не сплошного наблюдения явл-ся выборочное – такое наблюдение, при котором изучению подвергается часть единиц совокупности, отобранных в случайном порядке, а сведения о ней распр-ся на всю совокупность единиц. Вся совокупность единиц назыв. генеральной (N) (ГС)и все её обобщающие показатели назыв. генеральными.Совокупность отобранных единиц назыв. выборочной (n) и все её показатели назыв. выборочными. Доля единиц, обладающих тем или иным признаком ГС назыв. генеральной долей (р); выборочная доля (w).

Нужно отметить, что при выборочном распределении присутствует ошибка репрезентативности, т.е. выборка не точно представляет всю совокупность. Однако, при соблюдении принципа случайности и эти ошибки случайны; их можно определить пользуясь математической теорией выборки и в этом находит проявление закон больших чисел.

ВИДЫ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ.

Важным условием формирования выборочной совокупности явл-ся соблюдение принципа случайности. Способы отбора единиц: 1)случайный: отбор происходит из всей массы единиц ГС, т.е. каждой единице представлена одинаковая возможность попасть в выборку; достигается это путём жеребьёвки или исп-ем таблицы случайных чисел; случайный подбор может быть повторным и бесповторным; 2) повторный: каждая выборочная единица вновь возвращается в ГС и может снова попасть в выборку; при бесповторном отборе единица может быть выбрана только один раз (лучше, чем повторный, т.к. даёт более точные результаты); 3)механический (систематический): выборка производится в механическом порядке из ГС, расположенной, к примеру, в алфавитном порядке; промежуток, через который выбирают единицы зависит от % отбора (напр, при 20% - каждая 5-ая единица, при 25% - каждая 4-ая единица); начало отсчёта определяется случайно или приурочивается к середине интервала; этот способ удобен при неограниченной ГС (напр, исследование покупателей в магазине); 4)типический (расслоный): это такая выборка, при которой ГС делится на группы по типичному признаку, а затем отбираются единицы из каждой группы; отбор может быть пропорц-ым и непропорц-ым; единицы из каждой группы выбираются случайно или механически. При серединной (гнездовой) выборке выбирают целые группы, серии или гнёзда; д/выбранных серий производится сплошное наблюдение; отбор может быть повторный и бесповторный. Комбинированная выборка предполагает исп-ие нескольких видов. Можно комбинировать серийную выборку и случайную, т.е. из отобранных серий выбираем случайные единицы. К малым выборкам отн-ся выборки, с объёмом до 30 единиц. При монофазной выборке выбирают, напр., 50% единиц и изучают по упрощённой программе, из них выбирают 30% и изучают по более сложной программе. При моментном наблюдении фиксируется наличие отдельных элементов изучаемого процесса; прим-ся д/изучения использованного рабочего времени работников и времени работы машин/оборудования.

ПОНЯТИЕ ОБ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРОВ.

При выборочном наблюдении данные выборки относятся к ГС. Сделанные выводы относительно надёжны, но расхождения между выборочной и генеральной совок-ями есть. Состав выборки случайный, потому и выводы могут быть ложными. С увеличением объёма выборки увеличивается вероятность правильности выводов. Поэтому всякому решению, принимаемому по статистической оценке параметра стараются поставить в соответствие вероятность, хар-ую степень достоверности принимаемого решения. Всякую однозначно определённую ф-ию, с помощью которой судят о значении параметра назыв. оценкой параметра. Т.к. состав выборки случаен, то и оценка параметра является случайной ве-ной. Всякая случайная ве-на определяется законом распределения и числовыми ха-ками. Оценки па-ра делятся на: 1)точечные: определяется одним числом (лучше); 2) интервальные: определяется 2умя числами, являющимися началом и концом интервала, накрывающего оцениваемый параметр.

ТРЕБОВАНИЯ К ОЦЕНКАМ.

Д/оценки параметра могут исп-ся любые оценки. Д/того, чтобы выбрать лучшую из них, нужно иметь критерий сравнения оценок (они также могут быть разными в зависимости от цели д/которой строится оценка).Любой критерий определяется выбором меры близости оценки к истинному значению оцениваемого параметра, т.е. рассеивание случайной ве-ны х около х должно быть наименьшим. Оценки бывают:1) несмещённые: математическое ожидание параметра равно оцениваемому параметру, т.е. параметр распределения выборки и ГС совпадают; в противном случае имеем смещённую завышенную/заниженную оценку; предпочтение отдаётся той, которая имеет наименьшее рассеивание около оцениваемого параметра; 2) эффективная: это несмещённая оценка, имеющая наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок; 3) состоятельная: оценка, которая подчиняется закону больших чисел, т.е. при достаточно большом числе наблюдений с вероятностью близкой к 1 можно утверждать, что разность между параметром распределения выборки и ГС небольшая. (т.е. при ↑ числа единиц выборки становится менее вероятной возможность значительной ошибки в оценке неизвестного параметра); 4) достаточная: оценка, исп-щая всю инфо относительно оцениваемого параметра, содержащуюся в выборке.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ВЕРОЯТНОСТИ.

Задача интервальной оценки: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала нах-ся оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно нужно при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надёжна. Доверительный интервал – интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью p=1-α можно сказать, что он содержит неизвестное значение параметра. Чем ↓ этот интервал, тем точнее оценка неизвестного параметра и наоборот. Вероятность p=1-α, назыв. доверительной вероятностью (α – уровень значимости). Выбор доверительной вероятности не является строгой математической задаче, а определяется конкретно решаемой проблемой. Нельзя в рамках мат. теор. не интересуясь характером выпускаемых изделий решить вопрос о том, мала или велика вероятность α. На практике α обычно принимают α=0,01 или α=0,05

ОШИБКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ.

При случайном отборе каждая единица имеет равную возможность попасть в выборку. В случайной выборке ошибка, которая имеет ту же вероятность, что и выборочное среднее → нужна оценка выборочных данных. Ошибки выборки: средняя, предельная. Дисперсия выборочной средней в n раз меньше дисперсии ГС: , если дисперсия ГС известна, можно применить формулу д/выборочной дисперсии: ; однако: . Соотношение между и : , но при большом n → 1, следовательно, ошибка выборки приближённая. Предельная ошибка выборки: , µ - средняя ошибка выборки, Т – коэффициент доверения (зависит от вероятности определения ошибки, теории выбранного метода и др.). Теория Чебышева: при большом числе наблюдений ошибка будет незначительной. Теорема Бернулли: при достаточно большом объёме выборки вероятность расхождения между ω (доля признака выборочной совокупности) и р (доля признака в ГС) → 1: ; средняя ошибка д/альтернативного признака: ; средняя ошибка доли признака: . Все приведенные формулы применяют к повторному, а чаще бесповторному отбору: , если пренебречь единицей при больших N/ этот множитель всегда меньше 1, но предельная ошибка выборки бесповторного отбора всегда меньше, чем при повторном отборе.