Кинетическая энергия в обобщенных координатах

Для нестационарных связей радиус – вектор зависит от всех обобщенных координат и времени t.

; ;

(1)

i=1,2,…,s

В пустых скобках выражение (1)

В общем случае кинетическую энергию материальной системы можно представить суммой квадратичной , линейной и нулевой форм относительно обобщенных скоростей.

- нулевая ступень обобщенных скоростей

- линейная функция обобщенных скоростей

- квадратичная степень обобщенных скоростей

Для стационарных связей:

Одна степень свободы:

Две степени свободы:

 

Уравнение Лагранжа II рода

Из формулы :

Связи идеальные:

Силы только потенциальны:

(кинетический потенциал, функция Лагранжа)

Обыкновенное однородное ДУ 2-го порядка (с нулевой правой частью):

“2S”

Число уравнения равно числу степеней свободы.

 

Виртуальная работа

Виртуальная работа – работа сил на виртуальных перемещениях системы

Пусть система материальных точек занимает в некоторый момент

времени t какое-то положение. Обозначим через F_k силы, приложенные к точкам системы. Из данного положения при фиксированном времени t, сообщим системе виртуальное перемещение δr_k. Будем считать, что на этом перемещении силы F_k, приложенные к системе, не изменяются.

Составим сумму работ этих сил на вирт. перемещении δr_k

 

14. Интеграл движения: обобщенный интеграл движения

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.

Системы уравнений (1) может иметь не более “2S” – первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа II-го рода бывают 2-х видов:

1)Обобщенные интегралы энергии.

2)Циклический интеграл.

L от времени не зависит

(2) - обобщенный интеграл энергии или интеграл Якоби

Допущение:

- обычный интеграл

Консервативная система – система, которая обладает обычным интегралом энергии.

Из (2) сумма отбрасывается: первый интеграл получается из (2):

 

Принцип возможных перемещений

При равновесии механической системы с идеальными связями, виртуальная работа всех активных сил равна нулю.

- Система будет находиться в равновесии.

В положении равновесия все обобщенные силы равны нулю

Теорема: Для того чтобы система материальных точек, подчиненная идеальным стационарным, голономным и удерживающим связям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы работа всех активных сил на любом виртуальном перемещении системы и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю.

 

15. Интеграл движения: циклические интегралы

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.

Системы уравнений (1) может иметь не более “2S” – первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа II-го рода бывают 2-х видов:

1)Обобщенные интегралы энергии.

2)Циклический интеграл.

Циклическая координата – обобщенная координата, которая не входит в функцию Лагранжа, но входит явно в соответствующая ей обобщенная скорость

- циклическая координата

Позиционные координаты – обобщенные координаты, которые явно входят в функцию Лагранжа.

Из (1) для циклической координаты:

- циклическинтеграл

 

Канонические переменные. Функция Гамильтона

Если ввести “S” новых переменных и предположить, что эти зависимости могут быть разрешены относительно обобщенных скоростей , то система уравнений приводится к системе “2S” ДУ 1-го порядка.

- форма Лагранжа; - переменные Лагранжа.

- форма Гамильтона; y, z – переменные Гамильтона

- “2S” переменные Гамильтона

- функция Гамильтона -- это

характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты и обобщенные импульсы

Можно показать, что , тогда функция Гамильтона

Для стационарных задач (допущение):

,

допущение (частный случай):

- Совпадает с обобщенным интегралом энергии.