Изучение основных закономерностей

ГИДРОДИНАМИКИ И РЕОЛОГИИ

ТЕОРИЯ

Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности струи

Гидродинамика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами. В гидродинамике различают понятия идеальной и реальной жидкостей.

Идеальной называют воображаемую жидкость, лишенную вязкости и теплопроводности.

Для описания движения жидкости используют понятия «линия тока» и «трубка тока». При установившемся течении все частицы жидкости движутся по определенным траекториям с определенными скоростями.

Линия тока – это линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы направлен по касательной (рис.1.).

 

 

Рис.1

 

 

Рис.2

 

Понятие линии тока позволяет изобразить поток жидкости графически. Условились проводить линии тока так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте. Там, где линии проведены гуще, скорость течения больше, и наоборот (рис.2).

В общем случае величина и направление вектора в каждой точке пространства могут изменяться со временем, поэтому и картина линий тока будет меняться.

Возможно течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одной и той же скоростью. Течение принимает стационарный характер.

Стационарным называют такое течение, при котором в данной точке вектор скорости не изменяется с течением времени.

Трубка тока – это объем жидкости, ограниченный линиями тока (рис.3).

S ₁ и S ₂ – два произвольных сечения трубки тока;

и _– скорости течения жидкости в этих

сечениях.

Рассмотрим сечение S трубки тока, перпендикулярное скорости (рис.4).

Рис. 4

За время t через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает расстояние l = V t. Поэтому за время t через сечение S пройдет объем жидкости

V = S , (1)

а за единицу времени объем

. (1)

Теорема о неразрывности струи: при стационарном течении идеальной жидкости произведение площади поперечного сечения S трубки тока на скорость сечения жидкости V есть величина постоянная для любого сечения трубки тока, т.е.

S·V= const.

 

Рис. 5

Для доказательства возьмем трубку тока настолько тонкую, что в каждом сечении скорость можно считать постоянной (рис.5.) Жидкость абсолютно несжимаема, т.е. ее плотность во всем объеме жидкости одинакова и неизменна. Тогда количество жидкости между сечениями S и S будет оставаться постоянным, а это возможно только при условии, что объем жидкости, протекающей через сечение S и S за время одинаков, т.е. V = V или, учитывая (1), можно записать

S V = S V . (2)

Приведенные рассуждения справедливы для любой пары сечений трубки тока, поэтому величина S×V для любого сечения трубки тока должна быть одна и та же.

Условие неразрывности струи применимо и к реальным жидкостям и газам, если их сжимаемостью можно пренебречь.

На рис.4 буквами р и р обозначены статические давления (давления напора) по обе стороны выделенного объема жидкости V = S×l.

Чтобы скорость течения была направлена, как показано на рисунке, необходимо выполнение условия р > р . Тогда работа А по перемещению выбранного нами объема жидкости будет совершаться за счет разности сил давления F - F = р S - р S:

А = .

Учитывая, что , можно записать

. (3)

 

Уравнение Бернулли и примеры его практического использования

Уравнение Бернулли позволяет решить задачу о полном давлении в любом сечении трубки тока и о составляющих этого давления.

Рис.6

Рассмотрим трубку тока, расположенную наклонно в поле тяготения (рис.6). Выберем два произвольных сечения и , находящихся на разных высотах по отношению к линии горизонта, и - статические давления, соответственно, слева от сечения и справа от сечения . Допустим, что > . Полная энергия некоторой массы жидкости слагается из кинетической энергии и

потенциальной энергии . Поэтому можно записать .

Изменение полной энергии при перемещении массы жидкости из сечения в сечение определится выражением

- (4)

В нашем случае полная энергия увеличивается, т.к. увеличивается и потенциальная энергия (жидкость поднимается до ), и кинетическая (жидкость втекает в сужение, и ее скорость возрастает от V ₁ до V ₂).

Перемещение жидкости осуществляется вследствие разности давлений . Работа по перемещению жидкости определяется соотношением (3).

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что увеличение полной энергии равно работе , совершенной за счет разности сил давления, поэтому можно записать

, (5)

или после деления (5) на объем получим

,

где - плотность жидкости.

Сгруппируем члены с одинаковыми индексами по обе стороны равенства, получим

. (6)

Так как сечения выбраны нами произвольно, равенство (6) можно записать для любых сечений трубки тока и т.д. Поэтому (6) можно представить в виде

.

 

Полученное уравнение носит название уравнения Бернулли.

Уравнение выведено в 1738 году Даниилом Бернулли (1700-1782), швейцарским математиком, членом Петербургской Академии наук.

Первое слагаемое называют гидродинамическим давлением, оно возникает вследствие движения жидкости со скоростью ; слагаемое - давление, обусловленное положением частиц жидкости в гравитационном поле Земли; слагаемое р – статическое давление (напор). Сумма получила название гидростатического давления.

Уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом:

в стационарно текущей идеальной жидкости сумма гидростатического и гидродинамического давлений для любого сечения трубки тока есть величина постоянная.

Сумму гидростатического и гидродинамического давлений называют полным давлением. Таким образом, полное давление во всех сечениях трубки тока является одинаковым.

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из уравнения Бернулли, и примеры практического использования этого уравнения.

 

а) Пусть жидкость течет так, что во всех точках скорость течения имеет одинаковую величину ().

Тогда уравнение (6) принимает вид

,

или

(8)

т.е. распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

 

б) Для горизонтальной трубки тока уравнение (6) принимает вид

, (9)

или

(10)

Из условия (10) следует, что статическое давление р больше там, где меньше динамическое , и наоборот. Таким образом, статическое давление всегда меньше в узких частях трубки ( ~ ~ ).

Если давление в широкой части трубки атмосферное, то в узкой части, где большая скорость, оно меньше атмосферного. Струя тогда будет оказывать засасывающее действие. На засасывающем действии суженной струи основана работа целого ряда физических и технических приборов – водоструйных насосов, ртутных насосов, инжекторов, пульверизаторов, ингаляторов, карбюраторов и т.д.

Важное практическое применение уравнения Бернулли нашло в приборах для изменения давления и для определения скорости потока.

Поместим в стационарный поток жидкости изогнутую под прямым углом манометрическую трубку 1 с отверстием, обращенным навстречу потоку (рис.7).

Рис.7

Такую трубку называют трубкой Пито. Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через центр сечения трубки Пито и «упирающуюся» в точку В.

Линию тока можно рассматривать как трубку тока с пренебрежимо малым сечением. Строго говоря, уравнение Бернулли будет справедливо для любой линии тока. Для линии АВ запишем его в виде

(11)

Скорость в точке A равна скорости стационарного потока жидкости V, а скорость в точке В равна нулю, поэтому уравнение Бернулли для линии АВ принимает вид

(12)

Следовательно, давление в точке В равно сумме динамического и статического р давлений в потоке жидкости и жидкость в трубке Пито поднимается до высоты , соответствующей сумме динамического и статического давлений. Таким образом, высота определяет полное давление в потоке.

Если в поток поместить трубку 2, сечение которой параллельно линиям тока (такую трубку называют зондом) (рис.7), то жидкость в ней поднимается на высоту , соответствующую статическому давлению в потоке. По разности можно определить величину динамического давления.

Прибор, сочетающий в себе трубку Пито и зонд (рис.8), получил название дифференциального манометра, или трубки Прандтля. Такой манометр позволяет определить статическое, динамическое и полное давления.

Рис.8

Аналогичные приборы используются для определения скорости потока жидкости (или газа).