Предпосылки построения классической нормальной линейной модели

В этой модели предполагается, что связь между показателями является корреляционной. Результат y представляет собой совокупность случайных величин. Для каждого значения фактора х своя случ. величина.

Ряд требований:

1) случ. величина yi распределена по нормальному закону (мода, медиана, мат. ожидание. Дисперсии случ. величин yi и yj одинаковы. Случ. величны независимы для любых ij)

2) фактор х предполагается неслуч. величиной. Если их несколько в модели, то они независимы друг от друга).

3) Объем наблюдений, необходимый для оценки параметров регрессии, должен быть в 6-10 раз больше кол-ва параметров ур-ия без учета своб. члена а.

4) Выровненные значения результата y^ лежат на прямой линии.

 

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе.

Относительный показатель силы связи – только для множественной линейной регрессии – стандартизированный коэффициэнт регрессии. Предположим, что была проведена операция стандартизации исходных переменных (x,y).

y-y¯/σy=ty Операция стандартизации по Y

y¯=112,6 txр=xр-xр¯/σxр

σy=57,2

tx1=x1-x1¯/σx1 tx2=x2-x2¯/σx2

Для этих новых стандртизированных переменныхможно построить уравнение регрессии

ty=α+β1tx1+β2tx2...βрtxp+δ

α=0, всегда (свойство стандартизированных переменных)

ty=β1tx1+β2tx2...βрtxp+δ – уравнение в стандартизированной форме или стандартизированном масштабе, а исходное – в натуральной форме.

Параметры β1, β2, βр называются стандартизированными коэффициэнтами регрессии. Их можно найти методом наименьших квадратов – это трудоемко. 2 способ – βi=bi*σxi/σy

 

Понятие «статистическая значимость» параметров уравнения регрессии.

В эконометрике все исходные данные рассматриваются как выборочные => можно предположить, что если бы была возможность повторять одно и то же статистическое наблюдение, то полученные данные различались бы друг от друга и отличались бы все показатели по ним рассчитанные.

Опыт 1 Опыт 2. Опыт 3.

Y^=a1+b1x Y^=a2+b2x Y^=a3+b3x

R²1, b1>0 R²2, b2>0 b3<0

 

Если много экспериментов, то могут быть противоречивые результаты почти по всем коэффициентам регрессии приблизительно равным 0 в среднем. Если такой исход возможен, то говорят, что коэффициент регрессии незначителен.

Параметр называется незначительным, если с большой долей вероятности его величина в генеральной совокупности = 0.

Значимость уравнения регрессии –само уравнение регрессии – тождество чисел.

Незначимость ур-я регрессии означает, что все параметры при факторах одновременно с высокой долей вероятности м.б. равны «0» в ген.сов-ти. Незначимость ур-я регрессии означает также незначимость коэф.детерминации, т.е его равенство «0» с высокой степенью вероятности в гень сов-ти.

Значимость параметров -означает их отличие от 0 с высокой степенью вероятности, а параметра – все параметры при факторе одновременно не = 0. Для того, чтобы оценить значимость параметров и парного линейного коэффициента корреляции, используют критерий Стьюдента (t-критерий).

Для оценки значимости ур-я регрессии в целом используется критерий Фишера.

 

13. Понятие «статистическая значимость» уравнения регрессии в целом.

В эконометрике все исходные данные рассматриваются как выборочные, значит, можно предположить, что при повторе статистического наблюдения полученные данные отличались бы друг от друга, а, значит, отличались бы и показатели по ним рассчитанные.

Если много наблюдений, могут быть противоречивые результаты и коэффициент регрессии 0, если такой исход возможен, то говорят что коэффициент регрессии незначим.

Значимость уравнения регрессии:

Незначимость уравнения регрессии означает, что все параметры при факторах одновременно с высокой долей вероятности могут быть равны 0.

= > или

Незначимость уравнения регрессии, означает незначимость коэффициента детерминации, то есть его равенство 0 с высокой степенью вероятности в генеральной совокупности.

Уравнение значимо если все параметры при факторах одновременно не равны 0.

Значимость уравнения говорит о том, что все факторы в уравнении оказывают влияние на результат.

Для оценки значимости уравнения регрессии в целом используют критерий Фишера или F-критерий.

 

Критерий Стьюдента.

Используется для оценки значимости параметров уравнения регрессии.

Алгоритм оценки значимости по критерию Стьюдента:

1. Рассчитывается средняя ошибка оцениваемого параметра (или стандартная ошибка) -

2. По таблице находят табличное значение t-критерия (при ); число степеней свободы = n-m-1, где n- число наблюдений, m- число факторов. - это число степеней свободы, на пересечении альфа и df находят t- табличное

3. Фактическое значение t-критерия:, т.е. параметр делим на ошибку параметра

4. Сравнивается фактическое и табличное значение t-критерия, если tфакт> , то, говорят, что параметр значим с вероятностью 1-α, при этом tфактич. Берется по модулю!

ИЛИ:

5. после пункта 2: Находим границы доверительного интервала для оценки параметра:

, b- параметр

Этот доверительный интервал характеризует значения оцениваемого параметра, которые он может принимать в различных опытах с высокой долей вероятности.

Длят того чтобы параметр был значим, необходимо,чтобы 0 не входил в доверительный интервал, если входит то говорим что параметр незначим в вероятностью 1-α, если не входит, то параметр значим с вероятностью 1-α.

Формула средней ошибки параметра зависит от того какой параметр оценивается. Общая для всех параметров уравнения регрессии формула:

Где, i=0,1,2…p;

- диагональный элемент с N ii матрицы , причем i=0,1,2…p

Стандартная ошибка регрессии:

В большинстве случаев приведенную формулу можно упростить, если есть парное линейное уравнение регрессии, то ошибка рассчитывается

в числителе SSост.

 

А для свободного члена

Для множественной регрессии формула ошибки одного из коэффициентов регрессии:

- СКО

R^2- коэффициент детерминации по всему уравнению

- коэффициент детерминации для уравнения регрессии в котором в качестве результатирующего признака входит xi, a в качестве признака остальные факторы входящие в уравнение регрессии.

=

- ошибка парного лин.коэф.корреляции