Векторная авторегрессия (VAR)

VAR – модель, в которой несколько зависимых переменных зависят от собственных лагов и лагов других переменных. Используется при эконометрическом моделировании и прогнозировании как в макро-, так и микроэкономике.

VAR(p) – векторная авторегрессия порядка p – определяется векторным уравнением порядка p следующего вида: где t – дискретное время.

N-наблюдений за состоянием экономической системы в момент времени t.

- значение i-й наблюдаемой эндогенной переменной в момент времени t.

– вектор-столбец констант.

- матрица коэффициентов авторегрессии, s=1,…,p, соответствующую величине лага s.

- векторный белый шум со следующими свойствами:

,

Ковариационная матрица одновременных ошибок диагональна. Приведем покомпонентную запись в виде системы авторегрессионных уравнений:

i –номер уравнения, t –номер наблюдения, i=1,..,N. – линейная комбинация констант и p первых лагов всех N переменных.

Рассмотрим пример двумерного вектора и 1 лага.

- темп роста денежной массы.

– дефлятор ВВП.

VAR(1):

Или:

=

VAR(p):

=

Обозначим:

, , ,

…

Представим VAR(1) в виде бесконечного скользящего среднего: .

Чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его члены затухали; чтобы в пределе при последовательность матриц , а для этого надо, чтобы собственные значения матриц А лежали внутри единичного корня: .

Чтобы временной ряд VAR(p) был стационарным (т.е. мат.ожидание не зависело от времени)

, а его ковариационная матрица не зависела от сдвига начала отсчета времени: . Достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А являлись корнями уравнения лежали внутри единичного круга.

Модели бинарного выбора.

Пусть имеем n переменных,наличие/отсутствие признака

y_i = . y_i= β₁x_i1+…+ β_px_ip+ ε_i,где x_i1,…, x_ip – объясняющие переменные, β_1.. β_p- неизв.параметры,кот.подлежат оценке, ε_i- случ.ошибки, отраж. влияние неизв.факторов.

E(ε_i | x_i)=i E(y_i | x_i)= x_i`β. Условное мат.ожид. приx_i: E(y_i | x_i)=P(y_i=1| x_i).

xβ= P(y_i=1| x_i), 0<= x_i`β<=1. При y<sub>i</sub>=1 ε<sub>i</sub>=1- x<sub>i</sub>`β, при y_i=0 ε_i=- x_i`β.

Т.о. при фиксир. x_i отклонение случ.ошибки принимают только 2 значения, вер-сти кот.:

P{ ε_i=1- x_i`β| x<sub>i</sub> }=P{ y<sub>i</sub>=1| x<sub>i</sub> }= x<sub>i</sub>`β

P{ ε_i=- x_i`β| x<sub>i</sub> }=P{ y<sub>i</sub>=0| x<sub>i</sub> }=1- x<sub>i</sub>`β.

Соотв-но случ.величина при фиксир. x_i и меет мат.ожид.:

E(ε_i | x_i)=(1- x_iβ)* P(ε_i=1- x_i`β| x<sub>i</sub>)+(-x<sub>i</sub>`β P(ε_i=- x_i`β| x_i)=0.

Дисперсия D{ ε_i | x_i }=E{ ε_i ²(x_i)}- (E(ε_i | x_i))²=(1- x_i`β)<sup>2</sup> x<sub>i</sub>`β+(- x_i`β)(-x<sub>i</sub>`β)=-x_i`β(1- x<sub>i</sub>`β).

Модель бинарного выбора y_i=Ф(α+ βx_i)+ ε_i.

Оценки параметров = =1/ . Если применить МНК: F(α, β)=S(y_i-Ф(*))=>min, но Ф нелин.по параметрам. При применении МНК к нел. ф-ции сталкиваемся с проблемой гетероскед-сти. Можно использовать взвешенную МНК: веса w_i=1/D(ε_i | x_i).Поэтому для оценивания неизв.параметров ф-ции Ф исп-ся метод максим. правдоподобия(ММП).

В общем случае исп-ся n переменных: y_i=G(β₁x_i1+…+ β_px_ip)+ ε_i.

Обычно в качестве ф-ции G(z) исп-ся след.ф-ции:

Пробит-модель Ф(z)=1/Ö2п dt – ф-ция чтанд.норм.распределния N(0;1)

Логит-модель l(z)=e^z/1+e^z – станд. логистич.распределение.

Гомпит-модель G(z)=-exp(-e^z) – ф-ция станд.рспределения экстрем. значений 1-го типа.

Показатели качества модели бинарного выбора:

R²=RSS/TSS=1-ESS/TSS - коэф.детерминации.

Рассмотрим «тривиальную модель»,кот. в качестве объясн-щей переменной вкл. единственную переменную=1,т.е.своб.член y_i= β_i+ε_i. , x_i1=1

= -ср.значение. = = => ESS=TSS R²=0.Если в правой части добавляется новая объясняющая переменная => R² возрастаеи, а max, если вып-ся соотношение y_i= x_i`β.

Одна из возможных характеристик, определ-щих качество подобранной модели-сравнение кол-в неправ.предсказаний, получ-но выбран.модели и по модели, в кот. в кач-ве объясн-щей переменной выступает константа(«тривиальные модели»).

Если y_i=1,то G(x_i` )>1/2- ф-ция нормального распредления, когда x<sub>i</sub>` >0.

Прогнозное значение =

Количество неправильных предсказаний по выбранной модели: n_w,1=S| y_i - |²

Доля неправ.предсказаний ϑ_w,1=(1/n)S| y_i - |².Если рассм.тривиальную модель y_i= β_i+ε_i, то для нее y_i=1 предсказывается для всех i, когда >1/2 или >1/2. Т.е. значения y_i=1 наблюдается более, чем в половине наблюдений, а y_i=0 не более чем ½ наблюдений.

При этом ϑ_w,0= .

В качестве показателя качества модели можно взять R²_predict=1- ϑ_w,1/ ϑ_w,0=1-S(y_i - )²/ ϑ_w,0

Пусть L₁-max ф-ции правдоподобия для выбран.модели, L₀- для тривиальной модели.

При этом L₀<= L₁<=1. lnL₀<=lnL₁<=0. Pseudo R²=1-((1/1+2(lnL₁- lnL₀)/n).

McFaddenR²=1-(lnL₁/(lnL₀) LRI-индекс отношения правдоподобия.