Нестационарные временные ряды.

Модель AR(1)(авторегр.1-го порядка): x_t=a₁x_t+ε_t стац,когда |a₁|<1, если a₁ изменяется от 0 до 1,1 =>белый шум. Модель x_t=x_t-1+ε_t:=случайное блуждание а=1. Представим эту модель в след.виде: x_t-x_t-1 =a₁x_t-1-x_t-1-ε_t=(a₁-1)x_t-1+ε_t. ∆x_t =φx_t-1+ ε_t-1 φ ₌ a₁-1. Возможно 3 ситуации:

1) а₁=1, φ=0 ∆x_t= ε_t =>белый шум.

2) а₁>1, φ= a₁-1>0. Условное мат.ожидание при фиксиров. x_t-1 :E(∆x_t| _xt-1)= φx_t-1. Это мат.ожид.имеет тот же знак, что и x_t-1 и приводит к очень быстрому удалениюот нач.значения.

3) 0<a₁<1, φ= a₁-1<0. E(∆x_t| _xt-1)= φx_t-1 имеет знак,противоп. x_t-1.

Рассм.случай блуждания со старт.знач. х₀:

x_t=(x_t-2+ ε_t-1)+ ε_t= (x_t-3+ ε_t-2)+ε_t-1=….= х₀+(ε₁+…+ ε_t) _. x_t= х₀+ => мат.ожид.

E(x_t| _x0)= x_0. Дисперсия D(x_t|x₀)=D(ε₁+…+ ε_t)=tD(ε_t)=td²_ε => получ.ряд нестационарен.

Cov(x_t, x_t-1)=(t-1) d²_ε, Corr(x_t, x_t-1)=

При x₀=0=> x_t= - модель стохастич.тренда. Мат.ожид. E(x_t)=, D(x_t)= td² _ε

 

Модели нестац.рядов: 1. Модель имеет вид 2. Модель . Для удаления тренда I рода приводят к: . При удалении тренда не всегда ряд приводится к стац. Привести к стац.если перейти от ур.ряда к ряду разности→процесс перехода: диф-ание. => для первого ряда: (MA (1)), где =>для второго:

Стац.относит-но детерминир-го тренда f(t)--- врем.ряд если ряд представл. собой разность между ; ----если ряд стац.относит. некоторого детермин. тренда, то говорят, что эот ряд принадлежит классу рядов стац.относ-но детерм.тренда или что он явл.TS-ряд. В класс TS рядов включ.стац.ряды не имеющ. детермин.ряда.

Интегрированные порядка k- врем.ряд если: 1. явл.TS рядом 2. Ряд получен в рез-те k-кратного диф-ния—явл.стац-ым. 3. ряд при (k-1) диф-ии не явл. TS рядом.

Разностностац.ряды (DS)- совок.интегрир.рядов разл.порядков k=1,2….. -ряд интегрир.порядка k (т.е. он не стац.ряд; -нестац.; -стац.) Подвергнем этот ряд k-кратному диф-нию и получ. стац.ряд типа ARIMA (p,q). Тогда ряд типа ARIMA (p,k, q). ARIMA (p,k,0)=ARI(p,k); ARIMA (0,k,q)=IMA(k,q).

 

TS ряд: ; DS ряд:

Для случ.блуждания: TS ряд: ; DS ряд:

Выводы: 1. Вычитание детерминир.составляющей TS ряда приводит к стац.ряду. 2.вычитание детерминир-ой составляющей DS ряда приводит к DS ряду. 3.диф-ание (послед.разность) TS ряда приводит к TS ряду. 4.k- кратное диф-ание ряда приводит к стац.ряду.

 

Проблема ложной регрессии. Коинтегрированные временные ряды.

1957-1966, показатели E C H

E=-2625,5+7,13H; C=-129,3+0,35H (0,87); E=23,9 +19,9 (0,99); C=-0,86+0,49E (0,99)

R²=r²xy - парная регрессия

y_t=2-1,04t+ x_t =1+0,2t+
y_t= + x_t+ y_t = 2+ x_t+

R₂=0,68 F=305 DW=2,15

y_t = + R₂=0,97 F=1922 DW=2,24

Связь порожд. наличием детерминированного тренда. Рассм-м случай стохастического тренда. ,

Если доступны стат. данные 50 – 100, то оценённые по этим моделям данные вида R₂=0,55

1 – 100: R2=0,004 F<1 DW 0

Там где присутствует детерминированный тренд – обнаруживается ложная регрессия.

Вывод: даже если временные ряды не обнаруживают явного противоречия в своём взаимодействии, то все равно может существовать ложная регрессия ввиду детермин. либо стохаст. тренда.

Пример при данных 50-100:

Y_t=8,616+0,598x_t+

H₀: t_кр=-3,46 t =-2,92

Вывод: Т. к. t , то гипотеза единичного корня не отвергается, ряд остатков нестационарен.

Вопрос о ложной или действительной линейной регрессионной связи между и , представляющих интегрированные ряды 1го порядка формируются след образом. Существует ли такое значение при которых ряд y- стационарен.

Если да, то ряды и коинтегрированы, если нет то нет.

Если переменные x и y коинтегрированны, то является оценкой того значении , при котором ряд стационарен.

Нестационарность этого ряда может являться причиной больших значений статистики.

Возможные варианты решения проблемы ложной регрессии.

1) Включить в правую часть уравнения лаговые значения переменных.

а)

б)

2) Перед оценив. моделью продиф-ть и рассмотрим модель кратности

=

3) Рассмотрим модель с автокорреляционными остатками

=

 

Коинтегрированные ряды.

Пусть

Если для : (ряд остатков является нестационарным), то регрессия y(x) является фиктивной.

В случае когда стац., то ряды и наз-ся коинтегрированными, а вектор (1, -b) – коинтегрирующий вектор.

и коинтегр., если вектор такой что . Если сущ-ет , то , C=const – также коинтегрирующий вектор.

В эконом-й теории значит-е место занимает понятие равновесия – состояния экономической системы при котором взаимодействие разнонаправленных сил взаимопогашается таким образом, что наблюдаемые свойства системы остаются неизменными.

Пусть имеется n-мерный случайный вектор x компоненты нестационарного ВР.

Если (эк. переменные) взаимосвязаны, то их изменения во времени должны быть определённым образом согласованы.

Если экон-й системы сущ-ет сост-е равновесия, то эти переменные должны удовлетворять определённым ограничениям: (лин-я комб-я д. б. =0), - вектор параметров.

Это тождество описывает зависимость м-ду переменными, кот-е имеют место в долгосрочной перспективе в сост-ии равновесия.

В конкретный момент времени t может иметь место случайное отклонения от равновесного состояния, кот-е выр-ся следующим образом: , - случайная величина, обусловленная действием в момент времени t краткосрочных факторов, она называется неравновесной ошибкой.

Относительно выдвигаются следующие предположения:

Говорят что компоненты вектора x являются коинтегрированными порядка d,b. Обзначаются

Если

а) все компонентиы вектора x являются

б) сущ-ет вектор : b>0

– коинтегрирующий вектор.