Образец выполнения лабораторной работы № 8

(Интерполирование функций. Полином Лагранжа)

 

Постановка задачи. Дана функция своими значениями , где , . Найти интерполирующую функцию определенного класса , такую что , для .

Задача интерполяции заключается в нахождении значения функции при , для чего полагают, что .

А) Рассмотрим решение задачи интерполяции для функции заданной таблично, используя метод Лагранжа для не равноотстоящих узлов.

 

	0,200000	0,306000	0,468180	0,716315	1,095963	1,676823	2,565539
	1,020067	1,047184	1,111613	1,267713	1,663140	2,767751	6,542271

 

Найти , при .

	0,200000	0,306000	0,468180	0,716315	1,095963	1,676823	2,565539
	1,020067	1,047184	1,111613	1,267713	1,663140	2,767751	6,542271

 

2,10

Замечание. В дальнейшем промежуточные значения будут представлены в тексте с четырьмя знаками после запятой, хотя все вычисления будут проводиться с шестью знаками после запятой.

 

1,9000

1,7940

1,6318

1,3837

1,0040

0,4232

-0,4655

Таблица разностей

	0,2000	0,3060	0,4682	0,7163	1,0960	1,6768	2,5655
0,2000		0,1060	0,2682	0,5163	0,8960	1,4768	2,3655
0,3060	-0,1060		0,1622	0,4103	0,7900	1,3708	2,2595
0,4682	-0,2682	-0,1622		0,2481	0,6278	1,2086	2,0974
0,7163	-0,5163	-0,4103	-0,2481		0,3796	0,9605	1,8492
1,0960	-0,8960	-0,7900	-0,6278	-0,3796		0,5809	1,4696
1,6768	-1,4768	-1,3708	-1,2086	-0,9605	-0,5809		0,8887
2,5655	-2,3655	-2,2595	-2,0974	-1,8492	-1,4696	-0,8887

 

Таблица значений

	-16,9245	-6,0848	-2,6799	-1,1206	-0,2865	0,1968	-17,4407090	-17,7906917
-17,9245		-10,0618	-3,3723	-1,2710	-0,3087	0,2060	49,1657194	51,4855547
-7,0848	11,0618		-5,5763	-1,5993	-0,3501	0,2220	-54,3186589	-60,3813274
-3,6799	4,3723	6,5763		-2,6447	-0,4406	0,2517	31,0373295	39,3464261
-2,1206	2,2710	2,5993	3,6447		-0,7285	0,3168	-10,5296185	-17,5122296
-1,2865	1,3087	1,3501	1,4406	1,7285		0,5238	2,9651590	8,2068217
-0,8032	0,7940	0,7780	0,7483	0,6832	0,4762		0,1207786	0,7901663
							4,1447200

 

Графическая интерпретация исходных значений и результата дают следующую картину, где точкой показан получаемый результат . Из данного рисунка можно сказать, что полученное приближенное решение задачи интерполяции вполне отвечает исходным данным.

Оценка погрешности приближения .

Оценим погрешность приближения с помощью выражения , . Одним из возможных способов оценки погрешности является способ сведения задачи интерполяции в не равноотстоящих точках к задаче на равноотстоящих точках, что позволит оценить с помощью выражения . Для этого необходимо найти конечные разности в равноотстоящих узлах , , , . С помощью интерполирующего многочлена Лагранжа найдем , , затем составим конечные разности:

 

	0,2000	0,5943	0,9885	1,3828	1,7770	2,1713	2,5655
	1,0201	1,1819	1,5297	2,1184	3,0407	4,4423	6,5423

 

1,0201	0,1618	0,1860	0,0549	0,0378	0,0152	0,0052
1,1819	0,3478	0,2409	0,0927	0,0530	0,0204
1,5297	0,5887	0,3336	0,1457	0,0734
2,1184	0,9223	0,4793	0,2191
3,0407	1,4016	0,6984
4,4423	2,1000
6,5423

 

Если обозначить через , где , то .

 

-1,1808	-0,1808	0,8192	1,8192	2,8192	3,8192
						0,00002474

 

Получим решение: , 0,00002474.

Определим число верных знаков. Так как 0,00005, то при имеем . После округления получим , , . Так как , то . Следовательно, в полученном результате все знаки верные.

 

Ответ: .

Лабораторная работа 9.: Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2) Оценить погрешность полученного значения.