Образец выполнения лабораторной работы № 2

(Решение нелинейных уравнений. Метод итерации.)

 

Постановка задачи. Найти корень нелинейного уравнения методом итерации с точностью .

Решение задачи. Отделим корень уравнения на отрезке графическим методом. Для этого табулируем функцию на данном отрезке.

	0,0001,
	-1,		20,
	4,		0,25.

 

-1	-4,274412954	1,620906918
-0,75	-3,79491628	2,195066607
-0,5	-3,188276616	2,632747686
-0,25	-2,492211878	2,906737265
	-1,75
0,25	-1,007788122	2,906737265
0,5	-0,311723384	2,632747686
0,75	0,29491628	2,195066607
	0,774412954	1,620906918
1,25	1,096953858	0,945967087
1,5	1,24248496	0,212211605
1,75	1,201957841	-0,534738167
	0,97789228	-1,24844051
2,25	0,584219591	-1,884520868
2,5	0,045416432	-2,403430847
2,75	-0,605017024	-2,772907136
	-1,326639976	-2,96997749
3,25	-2,074585404	-2,982389028
3,5	-2,802349683	-2,809370062
3,75	-3,464683956	-2,461678072
	-4,020407486	-1,960930863

 

Выделим отрезок , где находится корень, и уточним его методом итерации.

Получим равносильное уравнению уравнение . Функцию будем искать в виде , где .

	0,		1,620906918		3,
	1,				,

 

1,620906918,

3.

При таком выборе функция удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности , , где .

Тогда получим следующее значение , условие остановки итерационной последовательности , при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения .

Если свести результаты в таблицу получим

 

					Условие остановки итерации
	0,5
	0,603908	0,603908	0,10390779	0,08840638	нет
	0,619378	0,619378	0,01546994	0,01316207	нет
	0,622182	0,622182	0,00280474	0,00238631	нет
	0,622706	0,622706	0,00052329	0,00044523	нет
	0,622804	0,622804	0,00009814	0,00008350	да
	0,622822	0,622822	0,00001842	0,00001568	да
	0,622826	0,622826	0,00000346	0,00000294	да
		0,622826	0,00000065	0,00000055	да

 

Приближенное решение , погрешность , число итераций .

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ:

 

Лабораторная работа №5. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Гаусса

Цель: Ознакомиться с численными методами решения систем линейных уравнений и их реализацией в MS Excel.

Теоретические сведения

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными

 

(1)

 

Если система имеет единственное решение, то значения могут быть найдены по известным формулам Крамера, но этот способ неудобен и приходится применять приближенные или численные методы решения.

Наиболее распространенным является метод Гаусса, согласно которому путем последовательного исключения неизвестных система (1) приводится к треугольному виду:

 

(2)

 

Приведение матрицы системы к виду (2) называется прямым ходом. Вычисление неизвестных – обратным ходом. Необходимость округлять в промежуточных вычислениях приводит к тому, что возникает очень большая погрешность округления, искажающая результат. Существует несколько видов вычислительных схем метода Гаусса, в различной степени уменьшающих погрешность округления. Наиболее эффективной является “схема с выбором главного элемента”.

 

Прямой ход

Исключение неизвестных в прямом ходе осуществляется по этапам. На каждом i-м этапе (i=1, 2, …, n) среди коэффициентов при неизвестном выбираем наибольший по абсолютной величине – “главный элемент”. Строка, его содержащая, называется главной. Затем главную строку прибавляем ко всем остальным строкам, предварительно умножив ее на специально подобранные числа так, чтобы коэффициенты при во всех строках, кроме главной, обратились бы в нуль.

Главная строка i-го этапа в дальнейших преобразованиях не участвует, поэтому для приведения системы (1) к виду (2) нужно проделать исключение неизвестных.

 

Обратный ход

Вначале из уравнения в последней строке находится , затем это значение подставляется в предыдущее главное уравнение, которое разрешается относительно , и т.д.

 

Контроль и точность вычислений

Для проверки расчета полезно найти невязки

 

.

 

Если они велики, то это означает грубую ошибку в расчете.

 

Контроль прямого хода совершается с помощью контрольных сумм. У исходной матрицы системы находят сумму всех элементов i-ой строки и соответствующего свободного члена

 

.

 

При прямом ходе над контрольными суммами производятся те же действия, что и над другими элементами матрицы. При отсутствии случайных ошибок контрольные суммы, найденные на каждом этапе, должны совпадать в пределах погрешности округления с аналогичными строчными суммами . Если это условие нарушено, то при вычислении i-й строки допущена ошибка.

 

Контроль обратного хода. В треугольную матрицу, подготовленную для обратного хода, вместо столбца свободных членов подставляем столбец контрольных сумм и выполняем обратный ход. При этом будут найдены значения . Если , то обратный ход совершен верно.