Образец выполнения лабораторной работы №10-11

(Численное интегрирование)

Задание: Дан интеграл , где .

1) Найти приближенное значение интеграла по формулам левых и правых прямоугольников с точностью .

2) Найти приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников с точностью .

3) Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеции с точностью .

4) Найти приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с точностью .

5) Сравнить полученные результаты.

Отрезок разобьем на частей и найдем значения ,

, , , , .

	0,1
	0,6			0,019231

 

0,100	0,998334166	0,997998614	0,033300012	0,332333928	0,199286177
0,119	0,997632354	0,997235407	0,039687119	0,331912938	0,198985508
0,138	0,996807795	0,996349542	0,046065422	0,33141836	0,198632301
0,158	0,995860673	0,995341215	0,052433508	0,330850325	0,198226656
0,177	0,994791196	0,994210649	0,058789965	0,330208983	0,197768691
0,196	0,993599604	0,992958095	0,065133385	0,329494503	0,197258537
0,215	0,992286159	0,991583832	0,071462363	0,328707075	0,196696341
0,235	0,990851153	0,990088163	0,077775498	0,327846905	0,196082265
0,254	0,989294904	0,98847142	0,084071394	0,326914221	0,195416485
0,273	0,987617757	0,986733962	0,090348659	0,325909269	0,194699192
0,292	0,985820084	0,984876173	0,096605905	0,324832315	0,193930593
0,312	0,983902283	0,982898466	0,10284175	0,323683642	0,193110909
0,331	0,981864778	0,980801277	0,109054818	0,322463554	0,192240375
0,350	0,979708021	0,978585072	0,115243738	0,321172373	0,191319242
0,369	0,97743249	0,97625034	0,121407148	0,319810439	0,190347774
0,388	0,975038688	0,9737976	0,127543689	0,318378112	0,18932625
0,408	0,972527144	0,971227392	0,133652011	0,31687577	0,188254965
0,427	0,969898415	0,968540287	0,139730772	0,315303808	0,187134225
0,446	0,967153082	0,965736877	0,145778637	0,313662641	0,185964354
0,465	0,964291751	0,962817784	0,151794279	0,311952701	0,184745686
0,485	0,961315056	0,95978365	0,15777638	0,310174441	0,183478572
0,504	0,958223652	0,956635148	0,16372363	0,308328327	0,182163376
0,523	0,955018225	0,953372972	0,16963473	0,306414846	0,180800475
0,542	0,95169948	0,949997841	0,175508388	0,304434503	0,179390261
0,562	0,94826815	0,946510502	0,181343324	0,302387819	0,177933139
0,581	0,944724993	0,942911722	0,187138267	0,300275332	0,176429526
0,600	0,941070789	0,939202295	0,192891957	0,2980976	0,174879855

 

 

, , , .

1) Вычислим значение интеграла и его погрешность методом левых прямоугольников используя выражения

, .

Тогда получим ; .

Так как , то число верных знаков равно . Следовательно , ,

.

Таким образом оставшиеся цифры в записи числа верные.

Ответ: .

Вычислим значение интеграла и его погрешность методом правых прямоугольников

, .

Тогда получим ; .

Так как , то число верных знаков равно . Следовательно , ,

.

Таким образом оставшиеся цифры в записи числа верные.

Ответ: .

2) Методом средних прямоугольников вычислим значение интеграла и его погрешность

, .

Тогда имеем ; . Так как , то число верных знаков равно . Следовательно , , . Так как , то число верных знаков равно , тогда , , . Очевидно, что .

Таким образом оставшиеся цифры в записи числа верные.

Ответ: .

3) Используя формулу трапеции и соответствующую ей оценку погрешности

,

получим ; .

Так как , то число верных знаков равно . Следовательно , ,

.

Таким образом оставшиеся цифры в записи числа верные.

Ответ: .

4) Используя формулу Симпсона и соответствующую ей оценку погрешности

,

получим ; .

Так как , то число верных знаков равно . Следовательно , ,

. Таким образом оставшиеся цифры в записи числа верные.

Ответ: .

5) Сравнение результатов.

Лабораторная работа № 12-14

Тема: Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Задание: Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии используя

1) метод Эйлера;

2) усовершенствованный метод ломаных;

3) метод Эйлера-Коши;

4) метод Эйлера с уточнением;

5) метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Для тестовых примеров найти относительные погрешности и сравнить полученные результаты. Построить графики точного и численного решений.

Оценить погрешность приближенного решения заданного уравнения в выбранной точке, построить график численного решения.

Вопросы самоконтроля.

1) Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Геометрическая иллюстрация.

2) Основные положения метода Эйлера. Геометрическая интерпретация.

3) Основные положения метода Эйлера-Коши. Геометрическая интерпретация.

4) Основные положения метода Эйлера с уточнением. Геометрическая интерпретация.

5) Метод Рунге-Кутта. Оценка погрешности метода на шаге.

6) Какой метод является более точным, какой менее точным?