Указания по технике вычислений

1. Все промежуточные вычисления следует заносить в бланк расчета.

2. Производя расчет, следует широко использовать возможности современных ЭВМ: запоминание постоянного множителя, накопление сумм и т.п. – чтобы избежать лишних записей (если вычисления на микрокалькуляторе).

3. В промежуточных вычислениях следует сохранить значащих цифр на две больше, чем дано в исходных данных. При записи ответа нужно оставить только один запасной знак.

Пример 1. Методом Гаусса по схеме с выбором главного элемента в столбце решить систему

 

Решение представлено в бланке расчета.

Таблица 1

 

	Раз-дел		Коэффициенты при неизвестных	Свобод- ные члены	Контроль
Прямой ход		-0,200 -0,150 -0,500	2,000 0,400 0,300 1,000	1,000 0,500 -1,000 0,200	-0,100 4,000 1,000 2,500	0,100 -8,500 5,200 -1,000	2,700 21,900 -3,900 9,900	5,700 18,300 1,600 12,600	0,0005 0,0007 0,0001 0,0058
	0,261   -0,261		0,300 -1,150 -0,300	4,020 1,015 2,550	-8,520 5,185 -1,050	21,360 -4,305 8,550	17,160 0,746 9,750	17,160 0,745 9,750
	-0,533			4,285     2,235	-7,167     -2,403	20,236     9,673	17,354     9,556	17,354     9,555
					1,420	-1,113	0,306	0,307
	i		Коэффициенты	Свобод- ные члены	Контроль
Обратный ход		-0,047	2,000	1,000	-0,100	0,100	2,700	5,700	0,953
	3,214		-1,150	1,015	5,185	-4,305	0,745	4,214
	3,410			4,285	-7,167	20,236	17,354	4,410
	-0,785				1,420	-1,113	0,306	0,215

 

1. Порядок заполнения таблицы

 

Прямой ход

В первом столбце поставим номера разделов.

Раздел первый

 

2. В графы, отведенные для матриц, записываем коэффициенты при неизвестных и свободные члены, приписывая в качестве двух запасных значащих цифр нули.

3. В каждой строке вычисляем алгебраическую сумму коэффициентов и свободного члена и записываем в столбец контрольных сумм. Так, например, для первой строки

.

4. Среди элементов первого столбца выбираем наибольший по абсолютной величине, подчеркиваем строку, в которой он стоит и выписываем ее в качестве первой строки в таблицу для обратного хода. Здесь главной будет первая строка, главный элемент равен 2,000.

5. Элементы всех строк первого столбца, кроме главного, делим на него и результат с противоположным знаком записываем в столбец , так, , , .

 

Раздел второй

6. Исключаем элементы первого столбца, кроме главного. Для этого главную строку, умноженную на , прибавляем к i-й неглавной строке, результат записываем в раздел второй. Так, первая строка второго раздела получается из первой неглавной строки первого раздела:

 

 

=

 

.

7. Контроль: складываем полученные коэффициенты при неизвестных и свободный член . Строчная сумма совпадает с контрольной , значит, эта строка найдена без ошибки.

8. Аналогично вычисляем вторую и третью строки второго раздела

+

 

=

 

.

+

 

=

 

.

 

9. Проводим контроль, как в п. 7.

 

10. Среди коэффициентов при неизвестном выбираем главный (-1,150), подчеркиваем главную строку и записываем ее в качестве второй в таблицу для обратного хода.

Далее, делим на главный элемент все числа, стоящие с ним в одном столбце (0,300 и -0,300), результаты записываем с противоположным знаком в качестве . Затем производим исключение коэффициентов при , как в пп. 6 – 8.

 

11. Третий раздел будет иметь две строки. Главный элемент выбираем среди коэффициентов при и поступаем, как в п. 6. Получаем строку последнего четвертого раздела. Записываем ее в таблицу обратного хода, сделав предварительно контроль, как в п. 7.

 

Обратный ход

1. Последняя строка таблицы соответствует уравнению . Отсюда находим .

2. Контроль: вместо свободного члена берем , находим . Проверяем выполнение условия :

.

 

3. Найденное значение подставляем в следующее уравнение, соответствующее третьей главной строке: , отсюда

 

.

 

Контроль: ,

 

.

4. Найденные значения и подставим в следующее уравнение, получим . Также по известным получим .

 

5. Из первого уравнения получим .

Проверка. Значения неизвестных подставим в каждое из уравнений исходной системы и подсчитаем невязки (см. разд. 3):

 

 

 

Значения невязок малы, т.е. нулей до первой значащей цифры больше, чем было знаков после запятой в исходных данных, значит, вычисления проведены верно. Невязки запишем на свободное место в столбец первого раздела.

Ответ: Решением данной системы будет вектор (в ответе оставляем только 1 запасную цифру).

 

1. Матричные функции Excel

Для решения задач линейной алгебры используются матричные функции Excel из категории математические:

МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) – возвращает произведение матриц.

МОБР(<матрица>) – возвращает матрицу, обратную к данной.

МОПРЕД(<матрица>) – вычисляет определитель исходной квадратной матрицы.

Порядок обращения к матричным функциям:

Ø выделить блок, где будет размещен результат матричной операции;

Ø в мастере функций выбрать нужную категорию и нужную функцию;

Ø убрать окно соответствующей функции (с помощью кнопки) или отбуксировать его в сторону от исходных данных;

Ø выделить исходную матрицу (бегущая пунктирная линия);

Ø одновременно нажать клавиши Shift+Ctrl+Enter.

1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel

Пример 1.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

, (1.8)

используя алгоритм метода Гаусса.

 

Последовательность действий:

Возьмем чистый лист Excel, назовем его Гаусс. Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.1.1 в ячейки А3:D5.

Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной.

1. Поделим элементы первой строки на а_{11 .}Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ (*смотри сноску) и скопируем ее вправо до конца строки.

2. Умножим элементы первой строки на (-а₂₁) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки.

3. Умножим элементы первой строки на (- а₃₁ ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х₁ из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-ый шаг рис.1.1).

4. Осталось исключить неизвестное х₂ из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-ой шаг рис.1.1).

 

Рис.1.1.

На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной.

Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G12:G14 запишем формулы:

G4=D13/C13 (для вычисления x ₃);

G3=D12-C12*G4 (для вычисления x₂);

G2=D11-C11*G4-B11*G3 (для вычисления x₁).