Основной закон динамики для вращательного движения

 

В случае, если момент инерции тела в процессе вращения остается постоянным, “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (2.11)

Описание установки

и метода определения момента инерции

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из втулки 1, четырех спиц 2, укрепленных на одном из концов втулки. На спицах размещены грузы 3. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4, на который наматывается нить-шнур. К свободному концу шнура привязан груз 5. Под влиянием этого груза маятник приходит в ускоренное вращательное движение вокруг непо­д­вижной оси. Трение между втулкой маятника и осью практически сведено к нулю установленными на ось подшипниками. Для установки груза 5 на определенной высоте предусмотрен указатель 6. Исходным уравнением для определения момента инер­ции I маятника является уравнение (2.11), из которого следует, что

, (2.12)

где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис.2.4); - угловое ускорение маятника. Мо­мент силы берется отно­сительно оси вращения, а потому

М = T R, (2.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона. записанного для груза 5:

ma = mg - T,

где m - масса груза 5; а - ускорение, с которым он опускается, откуда

Т = m (g - а). (2.14)

Таким образом, подставляя (2.14) в (2.13), получим

М = m(g - a) R. (2.15)

Угловое ускорение e связано с тангенциальным ускорением точек на ободе колеса следующим соотношением:

.

В свою очередь, совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 5. Следовательно,

. (2.16)

Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза 5 на определенную высоту h. Действительно

,

а потому

. (2.17)

Подставляя (2.17) в (2.16) и (2.15), а затем в (2.12), получим

 

, (2.18)

где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (2.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

. (2.19)

Формула (2.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде

 

I = I _в + I _ш + 2 I _сп + 4I _гр, (2.20)

 

где: I _в - момент инерции втулки; I _ш - момент инерции шкива; I _сп- момент инерции спицы; I _гр - момент инерции одного груза 3. (Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.)

Так как ,

где l и m _пс- общая длина (рис.2.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 3 находятся на концах спиц,

I _гр = m _гр l ₁²

(груз - материальная точка), где l ₁- расстояние от центра масс груза до оси, а m _гр - масса груза 3, то

 

I = (I _в + I _ш ) + 1/6 × m _пс l² + 4 m _гр l ₁². (2.21)

 

Порядок выполнения работы

 

1. Внесите в таблицу данные о массе груза 5 и ускорении свободного падения для широты г. Пермь (написаны на приборе).

2.Установите грузы 4 на концы спиц, причем так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

3. Наматывая нить на шкив, установите груз 5 так, чтобы основание груза совпало с указателем 6 (см. рис.2.4), (следите за тем, чтобы витки нити на шкив наматывались в один слой, а нить намоталась бы с внешней стороны маятника). В этом положении маятник придерживайте рукой за одну из спиц.

4. Измерьте время t ₁падения груза 5 с установленной высоты до пола. Для чего отпустите маятник без толчка, включив одновременно секундомер. Опыт повторите не менее 7 раз. Результаты занесите в таблицу.

5. Передвиньте грузы 3 примерно на середину спиц и установите их так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

По п. 4 измерьте время t ₂ движения груза в этом случае. Результаты запишите в таблицу.

6. Измерьте диаметр шкива d и высоту падения груза h, оцените ошибкиD d иD h в измерении этих величин. Данные занесите в таблицу.

7. Вычислите < > и < > и по формуле

< I > = ,

вычислите среднее значение моментов инерции и (для того и другого расположения грузов 3).

8. Определите абсолютную и относительную погрешности в определении момента инерции (только для или только для , так как погрешности будут приблизительно одинаковыми).

Для чего:

 

Номер опыта		t2	t1i - < t1>	(t1i - <t1>)^2	Другие данные
. . .					g = … ± … d =… ± … h =… ± … a = D t1 =
	=	=	S (t1i - < t1>)^2 =

 

а) задайтесь надежностью a (от 0,90 до 0,97), выберите коэффициент Стьюдента , оцените D t _пр для секундомера;

б) вычислите абсолютную погрешность в измерении времени:

;

в) вычислите относительную погрешность в определении I (например, I ):

г) вычислите абсолютную погрешность:

;

д) результаты запишите в виде

, при %,

. a =...

9. Сравнивая I и I , сделайте вывод (касающийся связи величины момента инерции и расположения грузов 3).

10. Измерьте l и l (лучше 2 l ) (см. рис.2.5) и по формуле (2.20) вычислите момент инерции как аддитивную величину I ₁^ад (m _иc, m _гр и (I _в + I _ш ) должны быть даны). Значения всех этих величин внесите в тетрадь.

11. Найдите расхождение в процентах между значениями I ₁ и I ₁^ад, полученными из опыта и вычисленными по формуле (2.21).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси, моментом инерции твердого тела относительно оси?

В каких единицах измеряется момент инерции?

2. В чем состоит теорема Штейнера? Приведите пример ее использования.

3. Что называется моментом силы относительно оси? В каких единицах он измеряется?

4. Что такое плечо силы?

5. Что называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения, моментом импульса твердого тела относительно оси вращения? В каких единицах измеряется момент импульса?

6. Как связаны между собой момент импульса и момент инерции тела, вычисленные относительно оси вращения?

7. Маятник Обербека: устройство и теория метода определения его инерции.

8. Порядок выполнения работы. Выводы.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.