Кинетика лазера в режиме свободной генерации для трехуровневой схемы

Рассмотрим временной ход генерации при следующих упрощающих предположениях:

а) В лазере возбуждается один собственный тип колебания – мода TEM₀₀₀ с большим числом квантов (n>>1). В этом случае отпадает необходимость учитывать влияние на временной ход генерации неоднородностей распределения инверсной населенности в объеме активного элемента и связанное с этим то обстоятельство, что каждая мода имеет собственный временной масштаб развития.

б) Импульс накачки постоянной интенсивности начинает действовать в момент времени t=0. Потери при этом не зависят от времени.

в) Заселенность состояния 2 остается близкой к нулю из-за большой вероятности релаксационного перехода W₂₃, и поэтому он быстро опустошается (см. рис. 1).

г) Лазерным переходом является переход из состояния 3 в состояние 1.

д) Начальное распределение возбуждения (инверсной населенности) в активном элементе однородно (равномерно) по его объему.

Обозначим N_j – число частиц в единице объема, находящихся на j-ом уровне. Так как N₂=0, будем искать заселенности N₁ и N₃, а также плотность содержащихся в полости резонатора фотонов n(t). В соответствии с пунктом “в” N₁+N₃≈N, где N – общее число активных (примесных) атомов. Плотность мощности в резонаторе равна , где V – объем полости резонатора, E(t) – комплексная амплитуда электрической напряженности электромагнитного поля в резонаторе.

Задача заключается в нахождении зависимостей n(t) и N₃(t). По сравнению с периодом световых колебаний 1/ω изменение величины n(t) и N₃(t) мало. Это видно из уравнения для изменения разности населенностей. Характерные времена больше 1/ω. В то же время величина n(t) очень велика (10⁵÷10¹⁸). Известно (см. [1]), что при большом числе квантов (n>>1) поле можно описывать классически. Сказанное характерно для большинства лазерных задач. И в нашем случае мы воспользуемся квазиклассическим подходом, когда электромагнитное поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла, а среда – квантовомеханически. Воспользуемся также упоминавшейся выше “медленностью” функций n(t) иN₃(t), что в отношении амплитуды поля E(t) называется приближением “медленных” амплитуд. Этот общеизвестный прием позволяет понизить порядок уравнений для поляризации и электрического вектора, перейти к так называемым укороченным уравнениям, которые в нашем случае будут иметь вид:

, (1)

, (2)
где - вероятность рабочего (лазерного) перехода в поле содержащегося в резонаторе излучения, B₃₁ – коэффициент Эйнштейна для индуцированного перехода из состояния 3 в состояние 1, g(ν) – форм-фактор линии рабочего перехода (описывающий форму линии и нормированный на единицу). Из уравнения (2) видно, что при подходящих значениях входящих в него величин может оказаться, что . Это означает, что в лазере выполнились условия самовозбуждения электромагнитных колебаний для частоты на максимуме рабочего перехода. Из условия dn/dt=0 определяется параметр, имеющий смысл порогового значения населенности верхнего лазерного уровня . Из условия баланса мощности накачки и мощности излучения, что также соответствует порогу самовозбуждения, для простейшего случая, когда учитываются только потери на излучение лазера, находится в виде , где Q=2πν_ooqτ_эфф – добротность моды TEM_ooq резонатора, а τ_эфф – время жизни фотона hν_ooq в резонаторе.

Уравнение (1) и (2) впервые были получены и исследованы Статсом и де Марсом в 1960 г. [2] и носят их имя. Эта система описывает нестанционарный режим работы лазера. Первый член в (1) описывает изменение скорости заселенности уровня 3 за счет накачки, второй – за счет спонтанного распада инверсной населенности, третий – за счет индуцированных фотонами в резонаторе лазерных переходов. В уравнении (2) первый член описывает скорость роста интенсивности электромагнитного поля за счет индуцированных (резонансных) переходов, а второй – за счет спонтанных переходов. Последний член очень мал по сравнению с первым, однако именно он обеспечивает начало развития генерации с уровня спонтанного шума. Мы исходили из предположения (см. пункт “б”) о начале накачки в некоторый момент t=0. С момента роста инверсной населенности растет уровень спонтанного шума. На этом этапе происходят и индуцированные спонтанными фотонами переходы. Однако различить их между собой невозможно. При достижении лазер самовозбуждается. Если бы поле к этому моменту в резонаторе отсутствовало, то, несмотря на выполнение этого условия, незатухающими колебаниями просто не с чего было бы начаться. Таким образом последний член в (2) учитывает уровень начального случайного поля, с которого в момент прохождения инверсной населенности порогового уровня растет когерентное поле.

Система уравнений (1)-(2) нелинейная, т.к. содержит члены типа . Ее решение возможно только путем численных расчетов. При реальных лазерных параметрах (N₃>> , T₁>>τ_эфф) эти расчеты показывают, что процесс развития лазерного излучения имеет колебательный характер. На рис. 2 изображены полученные путем численных решений системы уравнений (1)-(2) зависимости n(t) и N₃(t). Пунктиром показан соответствующий уровень стационарной генерации. Отметим, что решения имеют вид пульсаций затухающих к некоторому стационарному уровню (отмечен на рис. 2 пунктиром).