Изменение скорости и высоты со временем

Пример выполнения задания

Задача. Парашютист спрыгивает с высоты h₀ и раскрывает парашют на высоте h₁. Определить, будет ли скорость приземления безопасной.

Цель моделирования. Определить конечную скорость движения тела и сравнить ее с безопасной (10 м/с).

Формализация. Будем считать, что форма человека близка к сферической, форма парашюта – полусферической. Тело характеризуется массой m, радиусом (r- человека и r₁ – парашюта) и площадью поперечного сечения ( S и S₁ соответственно). Среда характеризуется плотностью ρ и вязкостью μ. В ходе движения меняются время t, скорость v и высота h. Задача состоит в том, чтобы определить v_кон в момент времени, когда h станет близкой к  нулю.

Построение математической модели. Воспользуемся моделью (2):

Выбор метода исследования. Применим для решения системы дифференциальных уравнений метод Эйлера:

; ;

Построение компьютерной модели и ее проверка Выберем для моделирования среду табличного процессора Excel. Для проверки модели на адекватность рассмотрим движение без сопротивления среды (k₁=0 и k₂=0)

 Свободное падение тела

Параметры движения

Параметры тела

Параметры среды

Коэффициенты

Время t0

Масса m

Вязкость

0,0182

k1

0,000

Скорость v0

Радиус r

0,3

Плотность

1,2

k2

0,000

Высота h0

Радиус r1

1,5

 

 

 

 

Высота h1

Площадь S

0,053

 

 

 

Шаг ∆t

0,5

Площадь S1

7,069

 

 

 

 

 

 

Коэффициент с

0,40

 

 

 

 

 

 

Коэффициент с1

0,55

 

 

 

 

Рис. 2 Исходные данные задачи о свободном падении (сопротивление среды не учитывается)

 

t

v

h

0,5

4,9

1000,0

9,8

997,6

1,5

14,7

992,7

19,6

985,3

2,5

24,5

975,5

29,4

963,3

3,5

34,3

948,6

39,2

931,4

4,5

44,1

911,8

49,0

889,8

5,5

53,9

865,3

58,8

838,3

t

v

h

6,5

63,7

808,9

68,6

777,1

7,5

73,5

742,8

78,4

706,0

8,5

83,3

666,8

88,2

625,2

9,5

93,1

581,1

98,0

534,5

10,5

102,9

485,5

107,8

434,1

11,5

112,7

380,2

117,6

323,8

12,5

122,5

265,0

 

В отсутствие сопротивления среды скорость растет со временем по линейному закону, что соответствует аналитическому решению уравнений

 

Добавим силу сопротивления ( и )