Математика и естествознание.

 

 

При упоминании о Гегеле «математики и естествоиспытатели не могут найти достаточных слов для выражения своего ужаса» [6, 326].

Энгельс.

 

Гегелю ничего не оставалось, как анализировать ЛОГИКУ объяснений. Естествознание, - напомним замечание Энгельса, - во времена Гегеля не давало практически никакого материала.

Гегель идет по пути выявления в теории Ньютона нелогичных звеньев. Одно из таких он увидел в необоснованном перенесении в физическую реальность математических абстракций.

Это опять о силах, о конструировании, как их называет Гегель, - пресловутых сил, - только уже на математической основе, чем как бы подчеркивается научность подобного конструирования.

 

«следует особенно предостеречь … против подмены линий, которыми геометрия пользуется для доказательства своих теорем, силами или направлениями сил» * [1, 238].

Гегель.

 

На математике приходится останавливаться особо.

 

Грехопадение математики.

«Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, - тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. [26, 84-85].

Энгельс.

Эта мне математика, сослать бы ее в «Примечания», как Гегель природу [1]. Поймают ведь нобелевские лауреаты, и набьют морду. Одно утешение, - можно будет похвастаться, - однажды тебя спутали с самим Гегелем!

Фритьоф Капра [i], кстати, то же самое пишет.

 

Вот Фейнман: «Философы пытаются рассказать о природе без математики. Я пытаюсь описать природу математически. Но если меня не понимают, то не потому, что это невозможно. Может быть… кругозор этих людей чересчур ограничен» [12, 59].

Вот Гегель: «Лишь вялость мысли, желая избавиться от труда определения понятий, прибегает к формулам…» [9, 58].

Так кругозор узок, или… вялость мысли у…, - не будем уточнять?

 

Обнародовать сейчас мысли Гегеля, это идти просто против течения, - за спиной век восторгов по поводу математики, и восторгов заслуженных. Сбылись, поистине, слова Энгельса, что введение переменных величин в математику открыло ей путь к гигантским успехам, и этим успехам мы от души рукоплескали. Не заметили только второй половины, - одновременно был

открыт путьк заблуждениям.

Это в математике-то, и к заблуждениям? Да они что, - того?

Но уже за полвека до Энгельса Гегель бьет тревогу, - «Очень важно осознать, что физическая механика затопляется» натурфилософскими конструкциями, противоречащими опыту и уже накопленному знанию и имеющими «источником единственно лишь… математические определения» [9, 94].

Бог математики не всесилен.

Было бы несправедливо видеть целью обращения Гегеля к математике, что он у Ньютона выявил ошибки. Не Гегеля это дело, пусть разбираются с ошибками сами. Гегель философ и сфера его деятельности, - общие вопросы. Конкретноеслужит только примером, лишь иллюстрацией вопроса о месте математики в системе научного знания и о ее возможностях.

Мысль, которую несет Гегель научному сообществу, - Бог математики не всесилен. Власть его простирается лишь до определенных пределов, вне которых человек должен брать ответственность на себя. Далее этих границ выводы из «математических рассуждений» не могут уже считаться непогрешимыми.

На примере «математических рассуждений» Ньютона Гегель и показывает, к чему приводит слепая вера во всесилие математики, когда для этого нет уже никаких оснований.

Цитировать Гегеля порой просто неловко, - все же кажется, что он переходит границы дозволенного. Или в те времена еще не раздавали направо и налево должностей «Гениев всех времен и народов» и критика в науке считалась нормой?

Говоря бесцеремонней, Гегель, хотя и в свойственной ему деликатной манере, но произносит страшное слово, - подлог.

Наверное, за математику его и предали анафеме.

Да он такое пишет. Здесь не то, что писать, повторять страшно. Позвольте все-таки, как это уже было в случае с «неслыханной метафизикой», изложить мысли Гегеля на современном языке. А то могут и не понять, ну ведь не поняли же 200 лет.

Перевожу на современный:

Дурят они, - нет в «математических рассуждениях» никаких доказательств.

«математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, …математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия» [24, 358].

Гегель.

 

Очки втирают, пользуясь тем, что язык математики (в некоторых ее областях) доступен лишь ограниченному кругу специалистов. И еще большой вопрос, - понимают ли они его сами, или просто… привыкли пользоваться?

Надо сказать, что подобные мысли порой проскальзывают и сегодня, но очень уж осторожно.

 

«Квантовая механика основана на математическом формализме довольно высокого уровня, который в свое время представлял трудности даже для самих основателей теории» [66, 9].

Ф. Каройхази.

 

А Гегель не церемонится, - идет подгонкаформул с целью придать видимость доказанности каким-то своим идеям, скорее всего бредовым, - иначе чего же фокусничать?

А как еще понимать, когда по поводу доказательств Ньютона, - это Великого-то Ньютона! – употребляются такие выражения, как - «жонглерство доказательствами»?

Как - «удивительный прием Ньютона…- изобретенная им остроумная уловка»?

Как - «фокусничество»?

Это же все равно, что заявить такое об Эйнштейне в 60-х, - из партии бы исключили! Сожгли бы на костре, как Пастернака, - и каждый из коллег подбросил бы хворосту.

Действительно начинает доходить, почему это «математики и естествоиспытатели не могут найти достаточных слов для выражения своего ужаса»? - Энгельс [6, 326].

Подлог, обман, слышится в словах Гегеля, но снизим обвинительный тон, - обман не сознательный. Это самообман, основанный на неоправданной вере во всесилие и непогрешимость математики в тех областях, где она не обладает ни первым, ни вторым.

 

Гегель анализирует истоки этой веры, пытается определить границы непогрешимости математики, - те самые, за которыми, по выражению Энгельса, открывается в математике путь к заблуждениям.

Еще задача, - определить способы пользования математикой за этими границами.

 

Автор считает необходимым ознакомить читателя непосредственно с мыслями Гегеля, надо же нам взглянуть его глазами на современные физические конструкции, - не являются ли хотя бы некоторые их них той самой неслыханной метафизикой, имеющей основания не в реальности, а всего лишь в математических определениях?

Поводов для сомнений, надо сказать, высказывается достаточно.

 

«Клаузиус весьма элегантно облек термодинамику в функциональную форму, содержащую набор математических соотношений между результатами наблюдений; однако если опустить их, то окажется, что нет и предмета для обсуждения.

Больцман придал термодинамике не менее красивую статистическую форму (ее основное соотношение выгравировано на его надгробии). Однако и в этом случае ее содержание в большей мере также сводится к уравнениям, без которых по существу нет предмета для анализа» [69, 21].

П. Эткинс.

«Материя исчезла, остались одни уравнения» [55, 326].

Ленин.

 

К Эйнштейну по этому вопросу обратимся позже.

 

Понятие.

«Естествоиспытатели должны знать, что итоги естествознания суть понятия» [11, 393].

Ленин.

 

Надо разбираться, в конце концов, что это за панацея такая, -

 

определение понятий?

 

И как это с ней, видите ли, и без математики можно?

 

Да, да, Гегель так и говорит, -

 

«для выражения более богатых понятий эти средства (пространственные фигуры и числа – Л.Ф.) оказываются совершенно недостаточными, так как внешний характер их сочетаний и случайность их связи делают их вообще неадекватными природе понятия и приводят к тому, что становится совершенно неясным, какие из многочисленных отношений, возможных в составных числах и фигурах, должны быть приняты нами во внимание» (выделено мной – Л. Ф.) [9. 57-58].

 

То же ведь и Энгельс, хотя и осторожнее, -

 

«там, где дело идет о понятиях, диалектическое мышление приводит, по меньшей мере, к столь же плодотворным результатам, как и математические выкладки» [6. 67].

И снова Гегель.

 

«Если хотят применить числа, степени, математически бесконечное и тому подобное не в качестве символов, а в качестве форм для философских определений и тем самым в качестве самих философских форм, то следовало бы, прежде всего, вскрыть их философское значение, т. е. их понятийную определенность. А если это сделают, то они сами окажутся излишними обозначениями…» (выделено мной – Л. Ф.) [24, 417].

 

Что же это такое, - понятие?

Понятие есть идеальный образ объекта действительности.

 

Понятие - одна из центральных категорий гегелевской философии. Природа состоит для человека (субъекта) из объектов, сознание же есть свойство головного мозга отражать эти объекты в виде идеальных образов, - понятий. Ни дома, ни горы, и ни самолеты «складируются» в нашей голове (в сознании) и функционируют в процессе мышления, - их идеальные образы,- понятия.

«…вещь может быть для нас не чем иным, как нашим понятием о ней» [24, 87].

Гегель.

Сознание человека, тем не менее, не отражает объекты действительности адекватным образом, - мир донаучногознания есть мир еще не понятий, а представлений.

В представлении знание об объекте в основе своей субъективно, оно может быть поверхностным, неглубоким, может быть и ложным. В процессе научного познания, в процессе всестороннего рассмотрения объекта и вырабатывается о нем понятие, - отобразить объект во всем многообразии его действительных свойств и отношений есть по Гегелю определить понятие.

Совпадение понятия с объектом есть истина.

 

“...мы называем истиной согласие предмета с нашим представлением. Мы имеем при этом в качестве предпосылки предмет, которому должно соответствовать наше представление о нем” [17, 126].

Гегель.

 

Если предметом науки являются законы и категории ее о бъекта, то основные понятия науки – это и есть ее категории.

Определение понятий есть основная задача науки.

Если какой-то объект или явление действительности стали предметом научного изучения, - представления о них возведены, таким образом, как бы в ранг научной категории, то это, увы, еще не говорит о достижении истины, или, - гегелевским языком, - что понятие данного объекта определено.

Вопрос этот, - определения понятий, - чего уж скромничать, иначе как больным и не назовешь. Особенно для физики. Сегодня мы не можем объяснить толком даже такие вещи, как электричество? Не можем сказать, что такое поле? Что же касается понятия атома, то слова Тейяра де Шардена, пожалуй, как нельзя лучше характеризуют степень его определенности:

 

«Нынешние представления об атоме в значительной мере всего лишь временное графическое средство, позволяющее ученым группировать все более многочисленные «эффекты», проявляемые материей, и проверять их непротиворечивость» [13, 43].

Тейяр де Шарден.

 

Обратить внимание на лексику, - у де Шардена об атоме - «представление», - не понятие.

Это и есть, - понятие не определено.

Из-за вялости мысли, господа, прошу прощения, это не я, а Гегель.

 

И это мы говорим о понятиях, которым по сотне лет, а что же тогда говорить о кварках, глюонах, и … несть им числа?

Трудно цитировать Гегеля, без предварительных отступлений в гегелевское мировоззрение цитаты порой выглядят абсурдными, думается, однако, что в нашем случаемы можем несколько сузить сферу рассматриваемого, и не касаться вопроса о месте понятия в гегелевской системе объективного идеализма. Для нашего вопроса, - о невозможности перевода «математических рассуждений» Ньютона (и Эйнштейна) на язык физических моделей, сказанного вполне достаточно.

Ввиду большой простоты и, если так можно выразиться, - прозрачности содержания первичных математических символов, категории «понятие» и «идеальная модель», - «физическая форма» у Гегеля, - на данном уровне углубления в мир математики практически совпадают. Чем, например, «понятие треугольника» отличается от «идеальной модели треугольника»? Или понятие круга от его мысленной модели?

Казалось бы, - в чем тогда вопрос? Увы, далеко не все математические определения обладают наглядностью физической модели. Учитель не раз услышит от ученика, - ну, не могу я себе представить бесконечность [2].

Но бесконечность в математике, - это только первые шаги к потере наглядности. В математике, в той ее части, что неспециалист относит обычно к «высшей математике», есть масса определений, за которыми не просматривается никакого физического смысла. Сможете Вы, например, представить наглядно [3] хотя бы корень квадратный из минус единицы?

 

«…только один непризнанный великий математик письменно жаловался Марксу, будто я дерзновенно затронул честь ».

Энгельс *.

 

Слава Богу, в математике есть сфера, где наглядность присутствует.

Эта ситуация как бы естественной определенности первичных математических символовотнюдь не привилегия только математики, с подобным мы встречаемся везде, как только речь заходит о хорошо известных объектах, - на языке Гегеля, - об объектах, понятия которых определены.

Содержание, например, категории «понятие дома» и «модель дома» (идеальная, разумеется), говоря словами поэта, - не столь различны меж собой. Различие здесь не в сути, а лишь в конкретности. Это же не философские категории, - «модель материи», или «модель возможности», - как-то и не выговоришь, - и не понятия естественных наук, для определения которых еще не хватает опытных данных.

Приходится добавить, что и не понятия математики, выходящие за ту самую сферу первичных математических символов.

 

Мы в наших рассуждениях вращаемся (пока еще) в этой сфере, - в кругу понятий, которые определены. Определены в том смысле, что круг, или треугольник мы физически осязаем, для нас не стоит вопроса, - что это? В силу этого мы не прегрешим против истины, если будем приравнивать содержание терминов понятие и мысленная модель.

В русле наших рассуждений мысль Гегеля должна звучать так, - «Лишь вялость мысли, желая избавиться от труда определения понятий (построения идеальных моделей изучаемого процесса – Л.Ф.), прибегает к формулам…».

Не считая возможным обойтись без цитирования самого Гегеля, автор набрался смелости излагать его мысли с небольшими комментариями, - в вольном, так сказать, переводе с идеалистического на материалистический, стараясь, тем не менее, от текста по возможности не отходить.

Мы говорили об использовании в познании математических методов.

 

«…остается несомненным, что понятие (наглядная модель изучаемого процесса – Л.Ф.) обосновывает более определенное осознание, как руководящих принципов рассудка, так и порядка и необходимости этого порядка в арифметических операциях и в положениях геометрии.

Было бы …излишним и неблагодарным трудом пользоваться для выражения мысли таким неподатливым и неадекватным материалом, как пространственные фигуры и числа, и насильственно (выделено мною, - Л.Ф.) трактовать этот материал так, чтобы он подходил для этой цели. Простейшие первые фигуры и числа могут, не вызывая недоразумений быть применены в качестве символов благодаря их простоте; они, однако, всегда оказываются для мысли чужеродным и малоудовлетворительным способом выражения [9, 57].

Гегель.

Гегель просматривает и саму историю появления этих двух специфических способов объяснения, - языком математической символики и языком понятий. Восходит она к Древней Греции, к младенческому, как говорит Гегель, периоду философствования, когда люди уже пользовались словами для обозначения тех или иных вещей, но еще не углублялись в их изучение, не обладали еще искусством объяснять, - что это такое?

Полковники Циллергуты тех времен еще не достигли вершин своего искусства *, и яблоко ели, не ломая голову, - что есть яблоко?

 

«Именно в младенческом периоде философствования числа… употреблялись, например, Пифагором для обозначения общих, сущностных различий. Это было подготовительной ступенью к чистому мыслящему пониманию; лишь после Пифагора были изобретены, т. е. были осознаны особо, сами определения мысли. Но возвращаться от последних назад к числовым определениям – это свойственно чувствующему себя бессильным мышлению, которое в противоположность существующей философской культуре, привыкшей к определениям мысли, присовокупляет к своему бессилию смешное желание выдавать эту слабость за нечто новое, возвышенное и за прогресс» [24, 416].

Гегель.

Вера во всемогущество математики, показывает Гегель, держится на том, что –

всегда было правильно.

 

Увы, здесь не учитывается, что вера эта вырабатывалась в период, когда наша умственная деятельность вращалась в кругу первичных математических символов, круг которых можно условно ограничить сферой, где понятия были еще определены.

Определены, - еще без науки, самой повседневной практикой.

 

Мы начинаем считать, - вычитать и складывать, - когда не умеем еще не то что читать, не умеем и мыслить. И здесь, - и это главное, - мы прибавляем не абстрактные числа, а конкретные предметы, - камушки, яблоки, конфеты. Наше математическое взросление наполнено смыслом, и наши знания в этой сфере усложнялись, не отрываясь от этого самого физического смысла, - здесь и вырабатывается непоколебимая вера в могущество и непогрешимость математики.

Но именно на основе того, что всегда правильно, благодаря вере в это – правильно, вырабатывается и механическое, не контролируемое сознанием пользование математическими операциями. Пока круг используемой символики не выходит за границы первичных математических символов, то все опять - правильно, и это все более и более укрепляет нашу веру в непогрешимость математических вычислений.

Увы, за границей сферы первичных математических символов нас ждет математическая символика, которая не дает оснований для выполнения механических, не контролируемых сознанием, как их называет Гегель, «математических рассуждений», но у нас уже выработалась вера, что в математике всегда все правильно.

Здесь, за пределом круга первичных математических символов в уже бессознательной, механической цепи математических рассуждений появляются звенья, которые содержат в себе возможность неоднозначного толкования и открывают путь к заблуждениям.

Гегель связывает эту границу с переходом к употреблению таких сложных «математических определений… как бесконечное, его отношения, бесконечно-малое, множители, степени и т. д.» которые «…берутся там вне понятия (вне всякой связи с физическими моделями – Л.Ф.) и часто даже бессмысленно» * [9, 58].

Энгельс связывает переход этой границы, где все еще возможно механическое, бессмысленное использование математической символики с периодом, «когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого … Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушла в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный» (выделено мною – Л.Ф.) [26, 84-85].

Стоит заметить, что указание о трудностях при обращении к «бесконечному», что так упорно ухитрялись не замечать у Гегеля естествоиспытатели, «просачиваются» в естествознание даже и вопреки «природного отвращения естествоиспытателей к философии» [4].

Увы, - за все приходится платить, - с запозданием в два столетия.

 

«Физики не зря не любят бесконечностей. Везде, где появляются бесконечности, появляются трудности: формулы теряют смысл, законы неприменимы, пространственно-временные описания невозможны» [79, 36].

Рафаил Нудельман.

 

Математическое бесконечное.

Как пример выхода математики за сферу круга, где еще возможно механическое использование математических операций, можно привести рассуждения Гегеля о понятии математического бесконечного, которое, по его словам,достойно внимания «ввиду расширения [сферы] математики и ввиду великих результатов, достигнутых благодаря введению его в математику» [24, 321]. Но, как показывает Гегель, математическое бесконечное - не определено [ii], мы пользуемся им не отдавая себе отчета, а что же это такое?

 

«Еще не удалось посредством понятия… обосновать правомерность его (математического бесконечного – Л.Ф.) применения. Все обоснования зиждутся в конечном счете на правильности результатов, получающихся при помощи этого определения, правильности, доказанной из других оснований, но не на ясности предмета и действий, благодаря которым достигнуты эти результаты; более того, признается даже, что сами эти действия неправильны.

Это уже само по себе недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он влечет за собой еще и тот вред, что математика, не зная природы этого своего орудия из-за того, что не справилась с его метафизикой и критикой, не могла определить сферу его применения и предохранить себя от злоупотребления им» [24, 321].

Гегель.

 

Результатом такого ненаучного образа действий и является, что мы не можем разобраться с физическим смыслом результатов собственных «математических рассуждений», и вместе с гением заявляем:

 

«Ньютонова формулировка закона тяготения – это сравнительно простая математика. Но она становится все менее понятной и все более сложной по мере того, как мы продвигаемся вперед. Почему? Не имею ни малейшего понятия» [12, 39].

Фейнман.

 

Это нобелевский лауреат-то, который «описывает природу математически» [12, 59], - и не имеет понятия?

А как же нам, Рафаил *?

Пару слов о педагогике.

Гегель, по его собственным словам, был прежде всего «школьным учителем» [80, XI ].

Мих. Лифшиц.

 

Считая, что цитирование критического анализа Гегелем «математических рассуждений» Ньютона сильно утяжелило бы изложение, приведу все же небольшую выдержку.

«Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона… - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного (выделено мною, - Л.Ф.) отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов…

(идут математические формулы, что автором опускается – Л.Ф.)

…Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно…

(математические формулы)

…Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень» [24, 346-347].

Гегель.

 

Имеем ли мы аналоги подобного анализа математических рассуждений творцов современных физических теорий?

Вот что было бы надо изучать в физико-математических школах. Тогда, фээмшата *, - очень способный народ! - научившись свободно ориентироваться как в математике, так и философии, прочтут может быть математические рукописи естествоиспытателей, вознесенных на философский Олимп.

Боюсь, что приговор будет тот же, - неслыханная метафизика, от которой бы открестилось даже Средневековье.

 

А Гегель-педагог переживает, - открывается страница бессмысленной педагогики, - педагогики, делающей упор на механическое заучивание.

Вся жизнь Гегеля была связана с педагогикой, и для него

 

обучение есть приобщение ученика к духовному миру учителя.

 

«Число, - пишет Гегель, - нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями – нечувственное занятие»; оно «имеет большое, но все же одностороннее значение», ибо «указанная работа становится бессмысленной, механической.Требуемое ей напряжение состоит главным образом в том, чтобы удержать то, что чуждо понятию (мысленному образу, - Л.Ф.), и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием здесь служит пустое «одно»; подлинное содержание нравственной и духовной жизни и индивидуальных ее форм, которое, как благороднейшая пища, должно служить средством воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательным «одним». Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и основным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию опустошается и притупляется. [24, 292].

Как далеко мы ушли на этом поприще, вряд ли мог представить даже и Гегель.

 

Но вот чего не понять, - о каких «машинах, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия», идет речь в 1812 году?

 

Так как счет есть...механическое занятие, то оказалось возможным изобрести машины, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о природе счета было известно хотя бы только это обстоятельство, то одним этим был бы решен вопрос, какова ценность мысли сделать счет главным средством воспитания духа и этим подвергать его пытке – усовершенствовать себя до такой степени, чтобы стать машиной» [24, 292].

Гегель.

 

Наверное, все-таки понятие «совершеннейших» машин для 1812 года, и для 2003-го, - вещи разные.

 

Математика и наука.

Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» [24, 417].

Гегель.

Дальнейшее движение вперед по пути познания с использованием математических рассуждений становится, по мнению Гегеля, возможным только при выходе на передний план физической модели.

 

«…поскольку математические формулы обозначают мысли и различия понятия, это их значение должно быть сначала указано, определено и обосновано в философии» [24, 291].

Гегель.

«…самому применению (математических формул – Л. Ф.) должно было бы предшествовать осознание их ценности, и их значения; но такое осознание дается лишь рассмотрением с помощью мысли, а не авторитетом, который эти формулы приобрели в математике» [24, 292].

Гегель.

«…до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и чистоты» [24, 359].

Гегель.

«Если хотят применить числа, степени, математически бесконечное и тому подобное не в качестве символов, а в качестве форм для философских определений и тем самым в качестве самих философских форм, то следовало бы, прежде всего, вскрыть их философское значение, т. е. их понятийную определенность. А если это сделают, то они сами окажутся излишними обозначениями; понятийная определенность сама себя обозначает, и ее обозначение – единственно правильное и подходящее. Применение указанных форм естьпоэтому не что иное, как удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» (выделено мной – Л. Ф.) [24, 417].

Гегель.

«Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления, выдается за торжество науки…

Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства только на том основании, что то, что получалось, всегда было заранее известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это заранее известное, создавало, по крайней мере, видимость остова доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто как фокусничество и жонглерство доказательствами и причисляю к такого рода фокусничанью даже Ньютоновы доказательства [iii] …

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта, находится вне ее сферы» [24, 358].

Гегель.

 

Следует все-таки отметить, что есть мыслители, которые и сегодня смотрят на эту проблему подобным взглядом.

 

«Основная черта математического описания – абстрактность. Оно является… системой понятий и символов, представляющих собой карту реальности. На этой карте запечатлены лишь некоторые черты реальности; мы не знаем, какие именно, поскольку мы начали составление своей карты в детстве без критического анализа. Поэтому слова нашего языка не имеют четких определений. У них несколько значений, большая часть которых смутно осознается нами и остается в подсознании, когда мы слышим слово…

Научный метод абстрагирования очень продуктивен и полезен, но за его использование нужно платить. По мере того, как мы все точнее определяем нашу систему понятий и делаем все более строгими правила сопоставлений, она все больше отдаляется от реального мира» [14, 27-29].

Фритьоф Капра.

Мысли Фритьофа Капра просто невозможно не проиллюстрировать словами Фейнмана о ньютоновской теории.

 

«Со времен Ньютона и до наших дней никто не мог описать механизм, скрытый за законом тяготения, не повторив того, что уже сказал Ньютон, не усложнив математики или не предсказав явлений, которые на самом деле не существуют» [12, 39].

Фейнман.

Отмечая что «в физике познание представляет собой трехступенчатый процесс научного исследования» [14, 26]: сбор экспериментальных данных, выработка математической модели и третий этап – создание физической модели, - взгляд на структуру научного исследования фактически переплетающийся со взглядами Галилея, - Фритьоф Капра проводит мысль о крайней ограниченности возможностей математических методов исследования, если они не дополняются языком физических моделей.

 

«Научное исследование безусловно, в первую очередь, состоит из рационального знания и рациональной рефлексии, но не сводится к этому. Бесполезной была бы рациональная часть исследования, если бы за ней не стояла интуиция *, которая одаривает ученых новыми открытиями и таит в себе их творческую силу. Озарения обычно приходят неожиданно и, что характерно, не в минуты напряженной работы за письменным столом, а во время загородной прогулки, на пляже, или под душем. Когда напряженная умственная работа сменяется периодами релаксации, интуиция словно берет верх, и порождает кристально ясные откровения, привносящие в процессе научного исследования неповторимое удовольствие и наслаждение.

Однако физика не может использовать интуитивные прозрения, если их нельзя сформулировать последовательным математическим языком и

дополнить описанием на обычном языке» * * [14, 27].

Фритьоф Капра.

Как видим, Гегель не одинок в своих опасениях о несовершенстве и ограниченности в научном исследовании математического метода.

Процесс перенесения центра исследований исключительно в область математики и игнорирования модельного слоя, во времена Энгельса, вероятно, еще только набирал силу. У Энгельса то и дело вырывается раздражение, - «В книге этих двух шотландцев мышление запрещено; здесь разрешается лишь производить вычисления» [5]. Или, - по прочтении Кирхгофа, - он «способен не только вычислять, но и диалектически мыслить» [6, 78]. А вот из статьи «Мера движения. – Работа», - вычисления настолько отучили механиков от мышления, что они в течение ряда лет измеряют меру движения (энергию) то через mv ², то через mv ² /2, совершенно не замечая путаницы [6, 80-81].

Сегодня уже никто не возмущается, но чем-то это напоминает эффект насыщения, вроде того как… когда у Гамлета поехала крыша, его собирались отправить в Англию, - там мол будет незаметно.

Вот о современной физике пишет В. Ацюковский: математически трудности теории «научились обходить, а физический смысл уравнений, похоже, перестал интересовать многих теоретиков. «Подумаешь, парадокс!.. В этом странном микромире еще и не такое бывает…» …Современная физика стала все более склоняться ко всякого рода абстракциям, не имеющим никакого отношения к реальной действительности» [15, 67].

С. Зигуненко ему продолжит, - «современная теоретическая физика микромира стала во многом напоминать некую религию. Но с религией, по крайней мере, дело обстоит значительно честнее: там сразу говорится, что некоторые дела и помыслыГосподни нам понять не дано. И точка» [15, 67].

 

Много нетрадиционного мог бы найти исследователь, сделавший взгляды Гегеля на математику предметом своего интереса. Сама, например, постановка вопроса о статусе математики. Развитие духа имеет у Гегеля как бы две ступени, - разум, и ей предшествующая, более низкая ступень – рассудок.

Математика относится Гегелем к наукам рассудка *.

На этом уровне, - говорит Гегель, - «разум, ограничивают познанием только субъективной истины, только явления, только чего-то такого, чему не соответствует природа самой вещи; знание низведено до уровня мнения» [24, 98]. В то время как «Разум ищет не своего, а истинного» [17, 80].