Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема3. Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображения. Свойства преобразования Лапласа. Таблица оригиналов и изображений. Нахождение оригиналов по заданным изображениям в простейших случаях. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем дифференциальных уравнений. Методы операционного исчисления с успехом применяются в инженерной практике при изучении переходных явлений в электрических цепях, в расчетах различных систем автоматического регулирования процессов и т. д. Правила операционного исчисления созданы английским инженером – электриком О. Хевисайдом (1850-1925) без достаточно строгого математического обоснования. Однако эти правила позволили легкими и эффективными приемами находить решение дифференциальных уравнений, которые получались при изучении явлений в различных областях техники. В настоящее время операционное исчисление является самостоятельной отраслью математического анализа. Методы операционного исчисления предполагают следующую схему решения задач. Допустим, что необходимо найти решение заданного дифференциального уравнения. 1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям. Определяют изображения всех составляющих данного уравнения 2. Составляют вспомогательное, так называемое операторное, уравнение, из которого легко находят изображение неизвестной функции. 3. Получив результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям. Хорошей аналогией с операционным исчислением может служить применение логарифмов к вычислению значений выражений. В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к ее изображению, будем применять преобразование Лапласа. 3.1. Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображения. Пусть - действительная функция действительного переменного. Поставим ей в соответствие функцию комплексной переменной следующим образом (1) Функция называется изображением функции . Интеграл, стоящий в правой части равенства (1), называется интегралом Лапласа. Нахождение изображения для данной функции называется преобразованием Лапласа. Интеграл (1) является несобственным и существует не для всех функций . Поэтому на функцию накладывают определенные ограничения и называют ее при этом оригиналом.
Определение. Функцией – оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим условиям: 1) при 2) при функция может иметь на каждом конечном отрезке лишь конечное число точек разрыва первого рода; 3) при функция имеет ограниченную степень роста, т.е. существуют такие числа и , что для всех t будет выполняться неравенство . Это значит, что модуль функции не может возрастать быстрее показательной функции. Число называется показателем роста функции. Если , функция называется ограниченной. Требования, предъявляемые к функции , вполне объяснимы с точки зрения физики. Обычно t – время, наблюдения начинаются с момента t =0. Отметим, что на основании пункта (2) оригиналами не могут быть функции, которые при некоторых значениях обращаются в бесконечность. Например, и др. Для оригинала и изображения будем применять сокращенные обозначения: ( является изображением оригинала ). Можно показать, что интеграл Лапласа сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной , удовлетворяющих условию , где - показатель степени роста оригинала, т.е. сходится в полуплоскости . Пример.Найти изображение показательной функции Решение. Данная функция является оригиналом. По определению
, если Таким образом, Пример. Найти изображение единичной функции Решение. Данная функция является оригиналом. Поэтому
Таким образом, Пример. Найти изображение функции Решение. Данная функция является оригиналом. Поэтому
.
3.2.Свойства преобразования Лапласа. Свойство линейности. Если и , то при любых комплексных постоянных и справедливо соотношение Свойство вытекает из основных свойств интеграла. Оно говорит о том, что изображение суммы нескольких слагаемых равно сумме изображений отдельных слагаемых, при этом постоянный множитель можно выносить за знак изображения. Пример.Пользуясь свойством линейности, найти изображение функции Решение. 2. Теорема подобия. Если , то для любого постоянного справедливо соотношение: т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
Доказательство. По определению имеем . Заменим при t =0 u =0, при . Следовательно, , что и требовалось доказать. Пример.Найти изображение функции . Решение.Мы показали, что . По теореме подобия имеем . 3. Теорема запаздывания (оригинала). Если , то для любого положительного справедливо соотношение , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения функции на величину . Доказательство. Найдем изображение функции . Первый интеграл равен нулю, так как при , во втором интеграле сделаем замену переменной. , что и требовалось доказать. Пример.Найти изображение функций Решение. ;
Теорему запаздывания удобно применять при отыскании изображений функций, заданных несколькими аналитическими выражениями. Функция называется обобщенной единичной функцией. Так как , то . С помощью этой функции запаздывающую функцию можно представить в виде: . Пример. Найти изображение функции . Решение. Данная функция равна нулю при . В момент времени «включается» функция, равная 1, а в момент она «снимается». С помощью единичной функции можно записать: . Пример. Найти изображение функции . Решение. Функция, при . В момент времени «включается» функция, равная , а в момент она «снимается» и «включается» функция , которая «снимается» в момент . Поэтому . Чтобы найти изображение этой функции с помощью теоремы запаздывания, ее нужно представить в виде: . Имеем: . Так как , , , то, применяя теорему запаздывания, получим искомое изображение: . Теорема смещения (изображения). Если , то для любого комплексного числа имеет место соотношение . Пример.
3. Дифференцирование оригинала. Если и функции являются оригиналами, то
Доказательство. Докажем первое соотношение. По определению изображения находим . По формуле интегрирования по частям, обозначив , получим , что и требовалось доказать.
4. Дифференцирование изображения. Если , то ; ; .
5. Интегрирование оригинала. Если функция непрерывна при всех значениях в интервале и , то .
6. Интегрирование изображения. Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции , т.е. . Таблица оригиналов и изображений. Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между часто встречающимися на практике оригиналами и их изображениями. Таблица оригиналов и изображений.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 42; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.147.215 (0.029 с.) |