Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных  уравнений.

 

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.Будем считать, что искомая функция вместе со своими производными являются оригиналами. Обозначим искомую функцию , а ее изображение .

Определим изображения всех компонент дифференциального уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала определим изображения производных. Получим

                         

Подставим эти изображения в данное дифференциальное уравнение. Получим вспомогательное (операторное) уравнение .

Из этого уравнения найдем .

.

Чтобы определить оригинал (решение уравнения) , представим полученную рациональную дробь в виде суммы простейших рациональных дробей.

= .

Две дроби с одинаковыми знаменателями тождественно равны, когда равны их числители, т.е. .

Это равенство является тождеством. Оно верно при любых значениях .

При  получим

При  получим

При  получим .

Итак, = .

По таблице, пользуясь формулами (1) и (4), определим искомое частное решение данного дифференциального уравнения: .

Пример. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений , удовлетворяющее начальным условиям

 

 

Решение.Предположим, что искомые функции и их производные являются оригиналами. Пусть

Составим вспомогательную систему уравнений.

                          

Решим полученную систему линейных уравнений по правилу Крамера.

По полученным изображениям определим оригиналы  и .Для этого представим полученные рациональные дроби в виде суммы простейших дробей.

Пусть

     

    

 Итак, .

Пользуясь таблицей, определим .

Пусть

    

,     

.

Искомое частное решение данной системы дифференциальных уравнений имеет вид:

                 ,

                  .

Передаточная функция.

Понятие передаточной функции широко используется в теории автоматического регулирования.

Пусть требуется найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях. Ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Найдем частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

  Будем считать, что искомая функция вместе со своими производными являются оригиналами. Обозначим искомую функцию , а ее изображение .

По теореме о дифференцировании оригинала определим изображения производных:    

 

       

Подставим эти изображения в данное дифференциальное уравнение. Получим вспомогательное (операторное) уравнение.

Функцию  называют передаточной функцией данного дифференциального уравнения. Изображение решения этого уравнения с помощью передаточной функции можно записать в виде: . Пусть  - оригинал, для которого изображением служит передаточная функция. Тогда по теореме свертывания оригиналов , т.е. .

Пример.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение. Составим передаточную функцию . Тогда . Искомое решение равно:

 

Литература: /2, глава IX § 32-34/ или /3, глава II § 11-18/ или /4, глава 14 § 16-17 /.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется функцией – оригиналом и ее изображением?

2. Найдите изображения единичной функции, показательной функции , тригонометрических функций .

3. Сформулируйте следующие свойства преобразования Лапласа:

а) свойство линейности,

б) теорему подобия,

в) теорему запаздывания,

г) теорему смещения.

4. Если , то какие изображения имеют производные

5. Как определить оригинал по известному изображению?

6. Изложите суть операционного метода решения дифференциальных уравнений и их систем.

3.9. Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения.

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2.Найти частное решение системы дифференциальных уравнений.

;

;

;

;

.

3. С помощью передаточной функции найти частное решение дифференциального уравнения.

1) ,

2) ,

3) .