Понятие предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке.

Допустим, что функция  однозначно определена в окрестности точки . В этом случае на функцию комплексного переменного можно распространить определение предела для функции действительного переменного, т.е. существует при , если существуют пределы:  и .

При этом

Исключительно важно отметить, что в соответствии с данным определением функция стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки  к точке  в комплексной области, т. е., если предел существует, то он один и тот же при  любым способом (по любому пути).

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в самой точке и ее окрестности и

Для непрерывности функции  в точке  необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были непрерывны в точке .

 Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

 2.4. Дифференцирование функции комплексного                   переменного. Условия Эйлера – Даламбера.

   Пусть задана функция  в некоторой комплексной области. Придадим  приращение . Получим приращение функции .                                                            Составим отношение .

Определение. Производной функции  в комплексной области называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

             .

Причем предполагается, что этот предел имеет одно и то же значение независимо от способа стремления приращения аргумента к нулю.

Сформулируем исключительно важное условие дифференцируемости функции .

Теорема. Если функция  определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке функции  и  дифференцируемы, то для дифференцируемости функции комплексного переменного  в точке  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

Эти соотношения называются условиями Эйлера – Даламбера или условиями Коши - Римана. Докажем необходимость этих условий.

Предположим, что существует предел .

Так как этот предел не зависит от направления стремления приращения  к нулю, выберем для простоты направления, параллельные осям координат.

1. Предположим, что точка  приближается к точке   по прямой, параллельной действительной оси .

В этом случае

.

2. Предположим теперь, что точка  приближается к точке   по прямой, параллельной мнимой оси .

 В этом случае

Результаты для первого и второго случаев должны быть равными, т.е.

 отсюда следует, что

Полученные равенства являются не только необходимыми, но и достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного.

Определение. Функция , дифференцируемая в каждой точке комплексной области, называется аналитической в этой области.

   Условия Эйлера - Даламбера можно рассматривать как необходимые и достаточные условия аналитичности функции в заданной области. Следует помнить, что под аналитической функцией всегда понимается однозначная функция.

Отметим, что все элементарные функции являются аналитическими за исключением отдельных точек. Например, для  исключаются значения , для которых

С учетом условий Эйлера – Даламбера производную дифференцируемой функции можно найти по одной из формул:

            

                

            

Можно доказать, что дифференцирование элементарных функций комплексного переменного можно производить по тем же формулам, по которым дифференцируются соответствующие функции действительного переменного.

Пример. Проверить аналитичность функции  и доказать справедливость формулы

Решение. По определению .

Действительная часть функции - , мнимая -

Найдем частные производные этих функций.

    

Из полученных результатов видно, что условия аналитичности выполнены.

Производную функции найдем по формуле

2.5. Задачи для самостоятельного решения.

1. Даны комплексные числа . Найти , , , , , . Построить эти числа на комплексной плоскости.

2. Построить области на комплексной плоскости:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

3. Вычислить .

4. Найти действительные корни уравнения .

5. Решить уравнение .

6. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие условию: .

7. Найти образы точек при указанных отображениях.

,

,

.

8. Дана функция . Вычислить .

9. Записать в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

10. Записать в показательной форме числа:

, , .

11. Даны комплексные числа , . Найти . Записать результат в алгебраической форме.

12. Вычислить , .

13. Найти все значения . Изобразить корни на комплексной плоскости.

14. Найти: , , .

15. Дана функция . Вычислить , , .

16. Доказать справедливость равенств:

,

,

,

,

 на комплексной плоскости.

17. Найти .

18. Найти решение уравнения на комплексной плоскости.

19. Доказать тождество .

20. Найти действительную и мнимую часть числа , функции , функции .

21. Показать, что функция  является аналитической на всей комплексной плоскости. Найти ее производную в точке

,

,

,

.

22. Доказать справедливость формулы .

23. Показать, что функция дифференцируема только в точке .

24. Найти аналитическую функцию по ее действительной части:

а) , б) , если .