Интегрирование функции комплексного переменного.

 Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой  с началом в точке  и концом в точке  определена непрерывная функция .

Разобьем кривую  на  частей (элементарных дуг) в направлении от  к  точками . На каждой элементарной дуге  выберем произвольную точку  и составим интегральную сумму , где . Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется интегралом от функции  по кривой (по контуру)  и обозначается .

Интеграл существует, если  – гладкая кривая, а  - непрерывная однозначная функция.

Обозначим  Подставим эти выражения под знак интеграла. Получим

.

Полученная формула показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных.

Свойства интеграла в комплексной области аналогичны свойствам криволинейного интеграла.

Пример. Вычислить , если , контур  – ломаная  с вершинами в точках

Решение. По условию , следовательно, , .  Искомый интеграл принимает вид: .

 

 

 

 

Рис.6                           

  Разобьем контур интегрирования на две                                        части . и . Вычислим интеграл по этим контурам.

1)  .  

2) .

3)  

Теорема Коши для односвязной области. Если функция  является аналитической в односвязной области и ее производная непрерывна, то для всех кривых , соединяющих любые две заданных точки, интеграл  имеет одно и тоже значение.

Доказательство. Мы показали, что . Необходимым и достаточным условием аналитичности функции являются условия Эйлера – Даламбера (Коши – Римана):  Из математического анализа известно, что условиями независимости криволинейного интеграла  от контура интегрирования является равенство:  Справедливость этого равенства подтверждается условиями Эйлера – Даламбера, т.е. криволинейные интегралы  и  не зависят от контура интегрирования, а зависят только от начальной и конечной точек.

Следствие. Если функция  является аналитической в односвязной области и ее производная непрерывна, то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю: .

Теорема Коши для многосвязной области. Если функция  является аналитической в замкнутой многосвязной области, то ее интеграл вдоль границы этой области равен нулю, если обход производить так, чтобы область оставалась с одной стороны (например, слева).

 

 

Рис.7

Следствие. Для аналитической функции в многосвязной области интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам при условии, что интегралы по внешнему и внутренним контурам берутся в одном направлении.

.

Для аналитической в замкнутой области функции    интеграл от нее не зависит от контура интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. В этом случае пользуются обозначением: . Если зафиксировать точку , а точку менять, то указанный интеграл будет функцией от : . Можно доказать, что для аналитической в замкнутой области функции  функция  также является аналитической, причем . Функция  называется первообразной для функции . Совокупность всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом: . Легко показать, что справедлива и формула Ньютона-Лейбница: .

Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. Например, .

Интегральная формула Коши. Если функция  является аналитической в замкнутой, ограниченной контуром , области и - любая внутренняя точка области, то , где контур обходится так, что область остается слева.

Эта формула позволяет вычислить некоторые интегралы, к которым не применима теорема Коши.

Пример.Вычислить по формуле Коши , если  – окружность а) , б) .

Решение.  

а) Точка , в которой подынтегральная                           функция не является аналитической, лежит вне круга . Поэтому по следствию из теоремы Коши для односвязной области интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

б) Точка , в которой подынтегральная                           функция не является аналитической, лежит внутри круга .

 По формуле Коши имеем:

        

                       

Литература: /1, глава II §1-5 / или /2, глава IIIV § 28,29/ или /3, глава 1 § 2,5/.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение области на комплексной плоскости. Какая точка называется граничной? Как определяется граница области?

2. Дайте определение степенной функции на комплексной плоскости.

3. Как определяется показательная функция на комплексной плоскости? Сохраняются ли ее свойства? Какое новое свойство она приобретает? Выведите формулу Эйлера. Запишите комплексное число в показательной форме.

4. Как определяются тригонометрические функции  на комплексной плоскости?

5. Дайте определение логарифмической функции на комплексной плоскости.

6. Сформулируйте определения предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке.

7. Дайте определение производной функции комплексного переменного. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия аналитичности функции.

8. Как определяется интеграл от функции комплексного переменного?

9. Сформулируйте теоремы Коши для односвязной и многосвязной области и следствия из них.

10. Как применяется формула Коши для вычисления некоторых интегралов?

2.8. Задачи для самостоятельного решения.

1) Вычислить интеграл , если контур  –а)  ломаная  с вершинами в точках  б) отрезок, соединяющий точки

2) Вычислить интеграл , если контур  –а) отрезок, соединяющий точки  б) часть параболы , соединяющей эти точки.

3) Вычислить интеграл , если контур  –а) отрезок, соединяющий точки  

4) Вычислить по формуле Коши: а) , если  – окружность а) , б) ,

б) , если  - , в) , если  - ,

г) , если  - .

 

 

 2.9. Особые точки.

Определение. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми.

Точка  называется изолированной особой точкой, если существует окрестность этой точки, в которой функция является аналитической, за исключением самой точки.

Отметим, что это определение справедливо только для односвязной области.

Различают три типа изолированных особых точек.

1) Точка  называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

2) Полюсом порядка К называется такая изолированная особая точка , в которой . Если , полюс называется простым.

3) Точка  называется существенно особой точкой, если при  функция  не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного).

Пример 1. . Точка является устранимой особой точкой, т.к.

.                                             

Пример 2. . Точка  является полюсом второго порядка, а точка является простым полюсом.

Пример 3. . Точка является существенно особой точкой, т.к. а

Задачи для самостоятельного решения.

Установить вид особых точек для следующих функций:

1) ; 2) ; 3) .

Вычеты.

Понятие вычета является одним из важнейших понятий теории функций комплексного переменного. Если функция  является аналитической в односвязной области, то , где - любой замкнутый контур, лежащий в этой области. Если внутри контура есть единственная изолированная точка  функции , то этот интеграл, вообще говоря, не равен нулю. Значение интеграла не зависит от контура интегрирования. Условились величину указанного интеграла, умноженную на , называть вычетом.

Определение. Вычетом функции  в изолированной особой точке  называется число, равное , где - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке , в которой функция является аналитической.

Обозначается вычет: .

 

Теорема 1. Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство. Пусть является устранимой особой

точкой. Доопределим функцию так, чтобы она стала аналитической во всех точках окрестности, ограниченной контуром .

. Тогда по теореме Коши . На контуре функция . Поэтому и . Следовательно, .

Теорема 2. Если функция  имеет в точке  простой полюс, то .

Доказательство. По определению простого полюса . Отсюда следует, что в окрестности точки  функция  является аналитической. По теореме Коши имеем . Принимая во внимание то, что на контуре , получим

.

 

Пример. Найти вычет функции  относительно особой точки .

Решение. Заданная точка является простым полюсом. Поэтому

.

Теорема 3. Если функция  имеет в точке  полюс порядка К, то .

Например, для полюса второго порядка эта формула принимает вид: .

Для полюса третьего порядка .

Пример. Найти вычет функции  относительно точки .

 

Решение.  - полюс третьего порядка. Поэтому

.

Найдем производную второго порядка данной функции.

.

С учетом этого результата получим:

.

 

Теорема 5. Основная теорема о вычетах. (Коши, 1825г.).

Если функция  является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, кроме конечного числа изолированных особых точек внутри области D, то интеграл по замкнутому контуру L равен произведению числа на сумму вычетов относительно особых точек, лежащих внутри контура L.

Доказательство. По теореме Коши для многосвязной области

, где  - особые точки, - окружности достаточно малых радиусов с центрами в этих точках. Применяя определение вычетов, каждый интеграл правой части можно заменить произведением  на соответствующий вычет. Получим:

.

Пример.Вычислить , где L – окружность .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки:  - полюс 2 порядка и  - простой полюс. По основной теореме о вычетах имеем: .

1)

.

2) .

3) .

2.11. Задачи для самостоятельного решения.

1) Определить вычеты функции относительно ее особых точек:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2) С помощью вычетов вычислить интегралы:

а) , где L: ,

б) , где L: ,

в) , где L: ,

г) , где L: ,

д) , где L: ,

е) , где L: .